Elementi di Logica, I

1. Elementi di Logica, I Le forme del ragionamento deduttivo Corso di Logica e Filosofia della scienza, a.a. 2012-2013

2. LOGICA Forme della razionalità (induzione/deduzione,...) Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...) Dimostrazione (fondamenti della matematica) Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)

3. Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come inferenza conseguenza deduzione ....

4. “Il punto di partenza della logica formale è la nozione tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o argomento valido. G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13

5. Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’). Esempi: l’espressione “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa” è un enunciato, mentre le espressioni “C’è nessuno in casa?” “Vietato fumare!” non sono enunciati.

6. Distinzione enunciato/proposizione Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è vera o falsa Proposizione = contenuto o senso di un enunciato «Paolo mangia la mela» «La mela è mangiata da Paolo» 2 enunciati, 1 proposizione

7. Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si incarica di rispondere: • Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un enunciato B? • Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A ‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simile implicazione?

8. Le analisi della logica a questo livello di generalità risultano, entro certi limiti, indipendentidal significatodegli enunciati coinvolti, cioè valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e delle relazioni che li collegano.

9. Nel caso di una generica implicazione A  B, la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

10. Alle origini della logica: Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege Concezione rappresentazionale del pensiero a partire dalla filosofia moderna (Cartesio, Locke): il pensiero e la conoscenza consistono in una adeguata manipolazione e trattamento di rappresentazioni. W.G. Leibniz: importanza centrale della logica come strumento di chiarificazione del pensiero rappresentazionale

11. “se si lodano gli uomini che hanno determinato il numero di corpi regolari, che non ha utilità alcuna, se non in quanto è piacevole a contemplarsi, quanto sarà più meritorio ridurre a leggi matematiche il ragionamento umano, che è ciò che di più eccellente e di più utile possediamo.” W.G. Leibniz

12. Logica come ‘calcolo del pensiero’ “Se dovessero sorgere controversie, le discussioni tra due filosofi non sarebbero più necessarie di quanto lo siano quelle tra due contabili. Basterebbe infatti che essi prendessero in mano le loro penne, si mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a vicenda: calcoliamo.” W.G. Leibniz

13. Punti fondamentali • Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di dimostrazione. • Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di algoritmo, una procedura inferenziale ‘meccanica’ che prescinde dalla comprensione del significato dei termini coinvolti.

14. “Progetto del seguente trattato è quello di indagare le leggi fondamentali di quelle operazioni della mente tramite le quali viene effettuato il ragionamento [...] Tali studi destano anche interesse di altro tipo, derivato dalla luce che essi fanno sulle facoltà intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui il linguaggio e i numeri servono come strumenti per i processi del ragionamento.” G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali sono fondate le teorie matematiche della logica e della probabilità (1854)

15. Riprodurre le operazioni logiche mediante operazioni algebriche: progetto di ‘algebrizzazione’ della logica (definizione della struttura nota come algebra di Boole) • Le operazioni introdotte in tale algebra - che rappresentano astrattamente operazioni logiche come la congiunzione (‘E’) o la disgiunzione non esclusiva (‘O’) - rappresentano il modello formale delle porte logiche di un circuito elettronico di un moderno calcolatore.

16. GottlobFrege, Ideografia (1879): prima formulazione di una logica dei predicati e della nozione logica di sistema formale (o teoria formalizzata).  Individuazione di condizioni che qualunque successione di simboli logici deve soddisfare per risultare una dimostrazione.  Definizione rigorosa della nozione di dimostrazione.

17. “L’ideografia deve dunque servire anzitutto a esaminare nel modo più sicuro la connessione di una catena deduttiva e a mettere in evidenza ogni ipotesi che voglia inavvertitamente insinuarvisi, affinché, successivamente, si possa indagare sulla sua origine. [...]

18. “Eliminando qualsiasi lacuna dal concatenamento dei ragionamenti, si riesce a porre in luce ogni assioma, ogni presupposto, ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così si raggiunge una base sicura dalla quale valutare la natura conoscitiva delle leggi dimostrate.” G. Frege

19. LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE) Elementi di base e prime definizioni informali Argomento(o argomentazione) Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare la correttezza di un altro enunciato (detto conclusione).

20. Esempi: Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale Giulio non era alla festa, quindi non può essere stato lui a rubarti la bicicletta.

21. Mondo possibile: una situazione o stato di cose alternativo a quello attuale ma logicamente concepibile (che avrebbe cioè potuto verificarsi senza determinare contraddizioni logiche).

22. Verità logica Un enunciato è logicamente veroquando è vero in tutti i mondi possibili, logicamente falsoquando è falso in tutti i mondi possibili, logicamentecontingentequando non è né logicamente vero né logicamente falso.

23. Conseguenza logica Un enunciato A è conseguenza logicadi un insieme S di enunciati (o Simplica logicamenteA) quando A è vera in tutti i mondi possibili nei quali sono veri tutti gli elementi di S.

24. Correttezza di un argomento Un argomento è correttose non esiste alcun mondo possibile nel quale le premesse sono vere e la conclusione è falsa (o, equivalentemente, se la conclusione è conseguenza logica delle premesse). Attenzione! Un argomento può essere corretto anche se una o più premesse non sono vere.

25. Applicazione agli esempi visti prima L’argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale è corretto (perché le premesse implicano logicamente la conclusione) e le sue premesse sono vere.

26. L’argomento Tutti gli ippogrifi volano In Australia esistono gli ippogrifi quindi In Australia c’è almeno un animale che vola è corretto perché le premesse implicano logicamente la conclusione, ma almeno una premessa è falsa.

27. Attenzione! Una successione di enunciati può essere un argomento, anche se non è immediato riconoscerla come tale. Esempio: C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di morfina.

28. Argomento deduttivo Premesse ------------------> necessario Conclusione Argomento induttivo Premesse -------------------> non necessario Conclusione

29. Proposizioni composte e valori di verità Nella logica proposizionale, enunciati come “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa” esprimono fatti semplici, vale a dire non ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici. È naturalmente possibile introdurre enunciati composti(o molecolari), generati a partire da un certo numero di proposizioni atomiche.

30. L’enunciato “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo Calvino era nato a Cuba” rappresenta un enunciato composto, generato mediante l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”, “Italo Calvino era nato a Cuba”

31. Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che non sono provviste in sé di significato ma che permettono di formare enunciati composti a partire da enunciati atomici. Connettivi principali della logica enunciativa: - non(connettivo unario, si applica a un singolo enunciato) - e, o, se...allora(connettivi binari,si applicano a coppie di enunciati).

32. Se ‘’ rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione: se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo ‘’ è rappresentato in forma funzionalecome : {A, B}  AB dove il simbolo ‘AB’rappresenta l’enunciato molecolare.

33. Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e della nozione di verità, si pone allora in modo naturale il seguente problema: come si comporta la verità rispetto alla composizione di enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati atomici? : {A, B}  AB vero,falsovero,falso ?

34. Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (proposizionali) I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di verità dell’enunciato composto. : {A, B}  AB vero,falsovero,falsovero,falso

35. I connettivi della logica proposizionale sono verofunzionali: il valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di verità degli enunciati atomici che compongono P. Per comprendere più chiaramente la condizione di verofunzionalità, richiamiamo la definizione generale di funzione.

36. La nozione di funzione Una funzione f: S  T è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi di S associa uno e un solo elemento di T. Data la notazione f(x) = y, per xS e y T, x è detto l’argomento della funzione e y è detto il valore della funzione. L’insieme S è detto dominio della funzione, mentre l’insieme T è detto codominio della funzione. Attenzione: la definizione appena fornita consente il caso che S = T.

37. Esempio 1: Se S = insieme dei bambini di una scuola elementare (con maestra unica!) T = insieme delle maestre della scuola indichiamo con l’espressione ‘Maestra di’: S  T la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).

38. Esempio 2 La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni numero naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) nn, può essere rappresentata come ‘quadrato di’: N+  N+ In questo caso, dominio e codominio coincidono.

39. Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di argomenti. Esempio 3 La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di numeri: se N è l’insieme dei numeri naturali, la funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero naturale n + m. La notazione è la seguente: + : {N x N}  N + : {n,m} n+m

40. Riformuliamo allora a questo punto la condizione di verofunzionalità: un generico connettivo binario della logica proposizionale può essere interpretato come una funzione  : {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›}  {V, F} che a una qualsiasi coppia di valori di verità - corrispondenti ai possibili valori di verità di due proposizioni - associa uno e un solo valore di verità - corrispondente al valore di verità della relativa proposizione composta.

41. Il problema delle condizioni di verità • Quali sono le condizioni di verità di una generica proposizione di L1? • Come possiamo valutare queste condizioni? Possiamo rispondere a queste domande mediante le tavole di verità.

42. Le tavole di verità possono essere considerati semplici algoritmi per calcolare il valore di verità di enunciati. TAVOLA DI VERITÀ DI (congiunzione) A  B V V V V F F F F V F F F

43. TAVOLA DI VERITÀ DI A  B V V V V V F F V V F F F

44. TAVOLA DI VERITÀ DI A  B V V V V F F F V V F V F TAVOLA DI VERITÀ DI  A F V V F

45. TAVOLA DI VERITÀ DI (‘se e solo se’) A  B V V V V F F F F V F V F

46. Carattere algoritmico delle tavole di verità valore di A, valore di B   valore di (AB)

47. Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un semplice esercizio. Prima di tutto definiamo tautologiaun enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti. Poiché un’assegnazione di valori di verità agli enunciati componenti equivale a un ‘mondo possibile’, una tautologia risulta essere nient’altro che una verità logica.

48. Verifichiamo ora se un dato enunciato è una tautologia, calcolandone il valore di verità. In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati componenti. Sia dunque data un certa enunciato, per esempio (pq)(qp)

49. (p  q) ( q  p) V V V VF V VF V V F F VV F FF V F V V VF V VV F F V F VV F VV F Nella colonna del connettivo  (il connettivo principale dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.

50. Vediamo ora la proposizione (pq)(qp) (p q) (q p) V V V V V V V V F F F F V V F V V F V F F F V F V F V F Sotto il connettivo principale  non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti: l’enunciato dato non è una tautologia.