Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador

1. Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador Héctor Meneses Alcay y Eduardo González Olivares Grupo Ecologia Matemática, Instituto de Matemáticas Pontificia Universidad Católica deValparaísohmeneses@ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl ;http://ima.ucv.cl

2. INTRODUCCION En este trabajo analizamos un modelo predador – presa del tipo Gause con respuesta funcional de los depredadores del tipo Holling II y efecto Allee sobre los predadores. También consideramos la población de presas afectada por la inmigración o emigración. El comportamiento del sistema es altamente dependiente de este efecto y además mostramos la existencia de un único ciclo límite.

3. El modelo Hacemos un estudio del modelo propuesto por Kent, el cual asume el efecto Allee sobre la población de depredadores y su comporta- miento está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

4. El sistema está definido en el primer cuadrante y los parámetros tienen los siguientes significados biológicos. r es la tasa intrinseca de crecimiento de las presas K capacidad de soporte del medio  es la tasa de inmigración o emigración

5. Q tasa de conversion en nuevos depredadores por consumo de presas h tiempo de captura por cada presa encontrada P promedio de busqueda del depredador a = 1 / Qh es la cantidad de presas para alcanzar la mitad de Q ( tasa de saturación media )

6. El sistema no es del tipo Kolmogorov, excepto cuando  = 0 Los puntos de equilibrio del sistema son :

7. LEMA 1 El sistema es topologicamente a : y

8. En orden a analizar el sistema y simplificar los calculos hacemos una reparametrización dada por la función donde

9. y se tiene Es decir ,  es un difeomorfismo y el campo vectorial en el nuevo sistema de coordenadas es topologicamente equivalente al campo vectorial Y  =  o X y tiene asociado un polinomio de tercer grado al sistema de ecuaciones diferenciales

11. y los puntos de equilibrio son : La matriz Jacobiana es

12. Principales resultados Considerando en el sistema E > 0 , se tienen los siguientes resultados LEMA 2 b ) Las soluciones son acotadas

13. LEMA 3 El punto P1=(1 , 0 ) es a ) Un pun to silla si C < 1 b ) Un nodo atractor si C > 1, e implica la no existencia de un punto de equilibrio en el primer cuadrante En lo que sigue consideraremos que C < 1 , y para simplificar haremos E = A > 0, esto quiere decir que la interacción entre las especies está afectada por el fenómeno de la inmigración

14. Entonces tenemos el caso particular, con dos parámetros Dados por el sistema

15. LEMA 4 a ) Un punto de equilibrio atractor si y sólo si C > A > 1/ 2

16. b) Un punto de equilibrio repulsor si y sólo si C > A > 1 / 2 c ) Es un punto silla si y sólo si, A < 1 / 2 y A < C o bien A > 1 / 2 y A > C

17. LEMA 5 La singularidad ( C , 4C( 1 – C ) 3) es un punto de equilibrio atractor si y sólo si A + 2 C2 – C > 0

18. LEMA 6 a ) Si ( C , 4C ( 1- C ) 3 es un punto de equilibrio repulsor no puede coexistir con ( - A , 0 ) repulsor , atractor o bien punto silla cuando A > C y A > 1 / 2 b ) Un puntode equilibrio repulsor rodeado de un ciclo límite si y sólo si A + 2 C 2 – C < 0

19. A = 0.6 ; C= 0.7 b ) ( - A , 0 ) es silla si A < C y A > 1 / 2 , entonces puede coexistir con ( C , ( 1 – C ) 3 ) cuando es un punto de equilibrio atractor LEMA 7 Cuando el punto ( - A , 0 ) es un punto silla , esto es , si A < C y A < 1 / 2 , la variedad estable W s de este punto determina una curva separatríz en el plano de fase que divide el comportamiento de las trayectorias

20. TEOREMA 8

21. Consideremos ahora cuando hay emigración, es decir, si E < 0, y el sistema de ecuaciones diferenciales es :

22. Isoclina presas Isoclina predador Pe= ( ue , ve ) A E C y los puntos de equilibrio son : Es decir  < 0, y graficamente se tiene:

23. Consideraremos - E < C < 1, en los otros casos el punto no trivial queda en el IV cuadrante Principales resultados LEMA 9 Los puntos de equilibrio P1( 1 , 0 ) y PE ( - E , 0 ) son puntos silla

24. A=0.5 ; E=- 0.4 ; C = 0.5 Sea um donde la isoclina de las presas tiene un máximo relativo, entonces : LEMA 10 a ) Si - E < C < um entonces Pe= ( ue , ve ) es repulsor

25. A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.65

26. A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.7 b ) Si um < C < 1 entonces Pe= ( ue , ve ) es un atractor local

27. A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.67982 = um c ) Si C = um, entonces Pe(ue, ve) es un foco débil de primer orden.

28. Muchas Gracias por habernos invitado Un buen año para todos