Eine Einführung in die VaR-Berechnung Referent: Klaus Bohl Frankfurt MathFinance Institute, 20. Dezember 2000

1. Eine Einführung in die VaR-Berechnung Referent: Klaus Bohl Frankfurt MathFinance Institute, 20. Dezember 2000

2. Agenda • Fakten und Zahlen aus der Praxis • Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH) • VaR • Eine Alternative zum VaR

3. Organisationsstruktur in der Commerzbank Unternehmensbereich Konzernsteuerung Zentraler Stab Risikocontrolling (ZRC) Zentraler Stab Kredit (ZKA) Risk Commitee (RC) Fachbereiche Marktrisiko Bonds Marktrisiko Equities Marktrisiko Treasury Methoden und Policies Operationales Risiko Gruppen Marktdaten Marktgerechtigkeitsprüfung • Fachbereiche • Commercial Banking • Prophylaxe/ Work out • Investment Banking Zentraler Stab Recht (ZRA) Interne Revision Risikomanagement

4. Geschäftsberichte 1999 im Vergleich Deutsche Bank Dresdner Bank Commerzbank WestLB Balaba Helaba • Risikobericht erstmals pflichtmässig im Geschäftsbericht- Welche Risikoarten werden unterschieden? - Wie ist die Organisationsstruktur? • Angaben zu Marktpreisrisiken- Value-at-Risk bzw. Money-at-Risk Zahlen - Anerkennung für Internes Modell? • Angaben zu Operativen Risiken

5. Bilanzsummen 1999 im Vergleich

6. VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich

7. VaR- bzw. MaR-Zahlen 1999 im Vergleich

8. Internes Modell gemäß Grundsatz I Dt. Bank Für alle Marktrisikopositionen (allg. + spez. Kursrisiko) DreBa Für alle Marktrisikopositionen (allg.) seit 1998 Helaba Für Zinsänderungsrisiken (allg.) seit 1998 Commerzbank Ausbau des Konzepts (Prüfung geplant) WestLB Ausbau des Konzepts Balaba Ausbau des Konzepts Hinweise aus Traber-Artikel (WM Heft 20/2000) 1998 gab es 15 Anträge, davon wurden 9 Interne Modelle genehmigt Multiplikator liegt zwischen 3,1 und 5,0 (Median 4,4) (seit Frühjahr 2000: Eine Bank mit Multiplikator 3,0)

9. Risikomesssysteme – Drei Problemkreise IT Daten 40 % 40 % Mathematische Modellierung 20 % Vgl. Traber, Uwe [2000]

10. Bei der Betrachtung der Bestände sind die Begrifflichkeiten von Handelsrecht, MAH und Grundsatz I zu unterscheiden Geschäftsbestand Non- Trading- Book GS I Trading- Book Handels- bestand Handels- recht Nicht- Handels- bestand Handels- geschäfte Nicht-Handels- geschäfte MAH

11. Interne Modelle - organisatorische Anforderungen der Aufsicht • Anforderungen aus: • MaH • Grundsatz I • - BIZ Verantwortung der Geschäftsleitung Portfolio-struktur Interne Geschäfte Abwicklung Positions- abstimmungen Internes Modell Revision Personal • Angemessene Aufsicht durch Geschäftsleitung • Adäquates Risikomanagementsystem • Angemessenes Internes Kontrollsystem Ergebnis- ermittlung Ergebnis- überleitung zur GuV Markt-konformitäts-kontrollen

12. Wirtschaftlichkeit und interne Modelle • Zwischen den Kosten einer Informationsrechnung und dem Nutzen der durch sie vermittelten Informationen muss ein angemessenes Verhältnis bestehen. • (Aus: Busse von Colbe, W./Ordelheide, D.: Konzernabschlüsse, 6. Auflage, 1993, S. 42) • Zu erfassende Risikofaktoren gemäss GS I: • Bei der Bestimmung der potentiellen Risikobeträge sind alle nicht nur unerheblichen Marktrisikofaktoren in einer dem Umfang und der Struktur des Geschäftes des Instituts angemessenen Weise zu berücksichtigen. • (§ 35 Abs. 1)

13. Grundlagen interner Modelle (GS I, MaH) • MaH • GS I

14. MaH • Mindestanforderungen an das Betreiben von Handelsgeschäften der Kreditinstitute • 2.4 Qualifikation und Verhalten der Mitarbeiter • Absatz 3: • Die Gehälter der Mitarbeiter des Risiko-Managements und des Risiko-Controllings sowie der Abwicklung sollten so bemessen sein, dass qualifiziertes Personal gefunden und gehalten werden kann.

15. VaR • Definition des VaR • Die drei Klassen der VaR-Methoden • Beispiele

16. Statistische Grundbegriffe für MaR-Modelle Auf Basis der Analyse der Zinsentwicklung des letzten Jahres können wir mit 99%iger Wahrscheinlich- keitsagen, daß unser Verlust von heute in 10 Tagen nicht höher als x Mio EUR sein wird. • Haltedauer: Zeitraum, den man zur Liquidation bzw. vollständigen Ab- sicherung der Handelsposition braucht ( z.B. 1 Tag, 10 Tage). • Historischer Beobachtungszeitraum: Wie weit in die Vergangenheit werdendie Marktschwankungen (Volatilitäten) der Risikofaktorenanalysiert(z.B. 250 Handelstage)? • Konfidenzniveau: Beschreibt die Wahrscheinlichkeit (z.B. 99%), mit der eine nachfolgend zu berechnende, in Geldeinheiten gemessene Verlustobergrenze nicht überschritten wird. • Korrelationen: Das Gesamtrisiko des Portfolios ist geringer als die Summe derRisiken der einzelnen Positionen (Diversifikation)

17. VaR – Mathematische Definition • Seien die Risikofaktoren (Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Maß P) eines beliebigen Portfolios und • die dazugehörige Loss-Funktion in Abhängigkeit der Realisierungen der Risikofaktoren. Dann ist • der VaR zum Sicherheitsniveau von 99%. • Somit ist der VaR das kleinste 99%-Quantil der Verlustverteilung.

18. Verteilung der Delta-Gamma-Approximation Unter der Normalverteilungsannahme für die Risikofaktoren hat die Taylorapproximation 2.Ordnung eine Verteilung wie die Summe einer Linearkombination von unabhängigen nicht-zentral Chi-quadrat- und einer unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen. (Handbook of Statistics 1980)

19. Eine Alternative zum VaR • Definition des ML • Eigenschaften des ML

20. Maximum Loss – Mathematische Definition • Seien wie vorhin die Risikofaktoren und die betrachtete Loss-Funktion. Es wird nun die Loss-Funktion auf die volumenmäßig kleinste (meßbare) Konfidenzmenge im Faktorraum eingeschränkt und deren Maximum als Maximum Loss bezeichnet. • Ist C nicht eindeutig bestimmt, könnte das Supremum über alle C herangezogen werden. • Sind die Risikofaktoren gemeinsam normalverteilt, dann ist die Konfidenzmenge ein Ellipsoid.

21. Maximum Loss – Konfidenzellipsoid Im dreidimensionalen Faktorraum kann ein 99%-Konfidenzellipsoid so aussehen:

22. Maximum Loss – Subadditivität • Sind A und B zwei disjunkte Porfolios mit Loss-Funktionen LossA und LossB, dann gilt • Beweis:

23. Maximum Loss >= VaR • Das kleinste -Quantil der Verlustverteilung ist nicht größer als der Maximum Loss über einem –Konfidenzbereich. • Beweis:

24. Literaturhinweise Artzner, Philippe/Delbaen, Freddy/Eber, Jean-Marc/Heath, David: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, Vol.9, No.3 (July 1999), p. 203-228 www.GloriaMundi.org: All about Value-at-Risk by Barry Schachter. Grundsatz I. Rechtsverordnung zu §§10, 10a KWG. Hull, John: Options, Futures and other Derviatives. Fourth Edition, 2000 RiskMetricsTM-Monitor. First quarter 1996. RiskMetricsTM-Technical Document. Fourth Edition, 1996 Traber, Uwe: Die Prüfung und Zulassung bankinterner Marktrisikomodelle nach § 32 Grundsatz I, in: WM Heft 20/2000

25. Ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr wünscht ihnen im voraus Klaus Bohl, Frankfurt am Main, 20. Dezember 2000