DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY

1. DERIVACE A MONOTÓNNOST,LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55

2. ROLLEOVA VĚTA:Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci c) (a) = (b)Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, v němž ´(c) = 0.  existence tečny rovnoběžné s osou x

3. LAGRANGEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, pro který platí:  existence tečny se stejnou směrnicí, jako tětiva spojující body A[a, (a)], B[b, (b)] V: Platí-li ´(x) = 0 pro každé x(a,b), potom  je konstantní funkce.

4. Monotónnost funkce a derivace V: Má-li funkce  v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce  v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.

5. Lokální extrémy Def: Funkce  má v bodě x0lokální maximum, existuje-li takové okolí U(x0) bodu x0, že pro všechna x z U(x0) a Df platí: (x) < (x0). Funkce  má v bodě x0lokální minimum, existuje-li takové okolí U(x0) bodu x0, že pro všechna x z U(x0) a Df platí: (x) > (x0). V: Má-li funkce  v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace ´(x0), pak platí: ´(x0) = 0.

6. Zdroje:Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005