70 likes | 253 Views
DERIVACE A MONOTÓNNOST, LOKÁLNÍ EXTRÉMY. Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko , Adámkova 55.
E N D
DERIVACE A MONOTÓNNOST,LOKÁLNÍ EXTRÉMY Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55
ROLLEOVA VĚTA:Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci c) (a) = (b)Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, v němž ´(c) = 0. existence tečny rovnoběžné s osou x
LAGRANGEOVA VĚTA: Mějme funkci , která má tyto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu ‹a,b› b) v každém bodě otevřeného intervalu (a,b) má derivaci Potom existuje v otevřeném intervalu (a,b) aspoň jeden bod c, pro který platí: existence tečny se stejnou směrnicí, jako tětiva spojující body A[a, (a)], B[b, (b)] V: Platí-li ´(x) = 0 pro každé x(a,b), potom je konstantní funkce.
Monotónnost funkce a derivace V: Má-li funkce v každém bodě intervalu (a,b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce v každém bodě intervalu (a,b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající, se nazývají intervaly monotónnosti.
Lokální extrémy Def: Funkce má v bodě x0lokální maximum, existuje-li takové okolí U(x0) bodu x0, že pro všechna x z U(x0) a Df platí: (x) < (x0). Funkce má v bodě x0lokální minimum, existuje-li takové okolí U(x0) bodu x0, že pro všechna x z U(x0) a Df platí: (x) > (x0). V: Má-li funkce v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace ´(x0), pak platí: ´(x0) = 0.
Zdroje:Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005