8. Přednáška derivace

1. BRVKA 8. Přednáškaderivace Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)

2. BRVKA derivace funkce - úvod V dalším výkladu budeme rozlišovat: • DERIVACE FUNKCE V BODĚ … to je číslo • DERIVACE FUNKCE … to je funkce Souvislost mezi nimi: pokud určíme funkční hodnotu derivace funkce v bodě a, získáme derivaci v bodě a. Význam derivací: • Určování extrémů – minim a maxim, např. při daném povrchu tělesa získat maximální objem – „konzerva“ • Vyšetřování průběhu funkce – kreslení grafu funkce a určování vlastností • Fyzikální aplikace– např. rychlost je derivace dráhy podle času, zrychlení je derivace rychlosti podle času ….

3. BRVKA derivace funkce - zavedení Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Proměnnou a zvětšíme o hodnotu h, tím se zvětší funkční hodnota o f(a+h)– f(a). Průměrná změna funkční hodnoty je potom: Což je geometricky směrnice sečny: y f(a+h) f(a+h)–f(a) f(a) h a x a+h • Pokud zmenšujeme velikost h k nule h→0, stává se ze sečny tečna a zlomek nám určuje „okamžitou“ limitní změnu funkční hodnoty…a to už je derivace v bodě.

4. BRVKA derivace funkce - definice Definice: Mějme funkci f(x) definovanou v okolí bodu a. Derivace funkce f v bodě aje: Pokud počítáme limity zleva a zprava, jedná se o derivaci zleva a zprava. • Definice: Mějme funkci f(x) definovanou na intervalu I, která má v každém bodě tohoto intervalu vlastní derivaci. Derivace funkce fje funkce f ´(x), která každému x přiřadí derivace funkce f v bodě x. Pokud známe funkční předpis derivace, můžeme určovat derivaci funkce v bodě dosazením do předpisu. Věta o souvislosti derivace a spojitosti: Funkce je spojitá v každém bodě, ve kterém má vlastní derivaci.

5. BRVKA DERIVACE – SMĚRNICE TEČNY Pozn.: Směrnice tečny (někdy směrnice grafu) je tangens úhlu α, který tečna svírá s osou x (jejím kladným směrem). • Geometrický význam derivace funkce pro její graf: Směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v daném bodě a je rovna derivaci funkce f(x) v tomto bodě. y f(a) tg α = f ´(a) α a x Tečna ke grafu v bodě a má rovnici y = f ´(a).x + b. Koeficient b určíme dosazením za [x,y] = [a, f(a)].

6. BRVKA Tabulka derivací Funkcef,g mají derivace, c je konst. Funkceg○f je složená funkce, kde g je vnější a f vnitřní funkce.

7. BRVKA Derivace součtu a rozdílu • Typické zadání zní: „zderivujte“, tím se míní to, že hledáme předpis funkce, která je derivací zadané. • Většinou je potřeba předpis upravit tak, abychom mohli použít tabulku derivací.

8. BRVKA Derivace součinu • Derivace součinu NENÍ součin derivací! • V součinu derivujeme vždy jen jeden činitel, ostatní činitele necháme beze změny, členy po zderivování sčítáme.

9. BRVKA Derivace podílu • Vzorec je složitější a je nutno zachovat pořadí funkcí.

10. BRVKA Složená funkce • Laicky: Máme dvě funkce f(x) a g(x). Složená funkce vznikne, jestliže výsledek (funkční hodnotu) jedné funkce dosadíme do druhé funkce za x. Definice:Funkceh je složena z funkcí g, f, právě když platí: (def.obor funkce h je množina těch x z def.oboru f, pro které je jejich funkční hodnota z def.oboru funkce g) a pro každé x z D(h) platíh(x) = g ( f (x)). Složenou funkci h označujeme symbolem h = g ○f (čteme h se rovná g na f nebo g složeno s f). Skládání funkcí není komutativní ⇒ g ○f NENÍ f ○ g . Dodatek: Pokud platí h = g ○ f říká se někdy, že funkce f je funkce vnitřní a funkce g je funkce vnější.

11. BRVKA SLOŽENÁ FUNKCE - PŘÍKLADY • Především musíme v předpisu umět najít vnitřní a vnější funkci. Pro derivování je víceméně jedno, která je která, ale v zásadě platí: vnitřní je ta, kterou bychom do kalkulačky zadali dřív, kdybychom počítali postupně. • Najděte vnitřní (f) a vnější (g) funkce v předpisech:

12. BRVKA SLOŽENÁ FUNKCE - derivace • Derivujeme zvlášť vnitřní (f) a vnější (g) funkce a mezi sebou jejich derivace NÁSOBÍME. • Zderivujte předchozí funkce:

13. BRVKA Určení tečny - návod • Zadání většinou zní: „Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) vedené jejím bodem a.“ • Návod: • Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. • Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). • Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a), což je směrnice tečny. • Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny.

14. BRVKA Určení tečny - příklad • Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = 2x2 + 8x – 1 vedené jejím bodem a = –1. 1) Určíme funkční hodnotu f(a) dosazením čísla a do předpisu funkce. f(–1) = 2.(–1) 2 + 8.(–1) – 1 = –7 2) Zderivujeme funkci f(x), získáme funkci f ´(x). f ´(x) = 2.2x + 8 = 4x + 8 3) Do předpisu derivace f ´(x) dosadíme číslo a, máme f ´(a). f ´(–1) = 4.(–1) + 8 = 4 4) Do očekávané rovnice tečny y = f ´(a).x + b dosadíme za y = f (a) (získáno v bodě 1) a za x = a. Dopočítáme b a napíšeme rovnici tečny. y = 4x + b → –7 = 4.(–1) + b → b = –3 y = 4x – 3

15. BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.