线性代数辅导

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行列式的计算 • 1.二、三阶行列式的计算 • 对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角线法则）直接计算：也可以利用行列式的性质进行计算.

对比上式两边同次幂的系数，得：

从而的根，故有对比两边同次幂的系数，得：

从而利用矩阵乘法的结合律有：

2. n阶行列式的典型计算方法（n4） (1) 利用性质将行列式化为三角形行列式或降阶后计算

注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降阶，这种方法有助于计算行列式.注：一边化简行列式，一边将行列式按行或列展开将行列式降阶，这种方法有助于计算行列式.

这一行列式的特点是只有两个数，主对角线上的元素全为a,其他位置上的数全为b，根据这一特点，将第2至第n行(列)都加到第1行(列)上去，从而第1行(列)变成相同的数，进一步将该行列式化为三角形行列式求出其值. 对于这类题目，用这种方法是最简便的. 解I 此题可仿照例4，将第2列至第n列都加到第1列上去做.（略）

注：此题也可按第n行展开计算. 在行列式的计算中，这是一类比较典型的题目. (2) 利用递推关系计算

注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式值的递推式. 一般来说，递推式的形式多种多样，如例6、例8、例9中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点. 2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行（列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值.

(3) 利用范德蒙行列式的结果计算

注：范德蒙行列式是非常重要的，在实际计算行列式时，我们经常遇到的是变形了的范德蒙行列式，因此要学会将这种行列式还原成标准的范德蒙行列式.注：范德蒙行列式是非常重要的，在实际计算行列式时，我们经常遇到的是变形了的范德蒙行列式，因此要学会将这种行列式还原成标准的范德蒙行列式. (4) 利用矩阵理论计算行列式利用矩阵的一些性质，可简化方阵行列式的计算.

注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.注：一般而言，|A+B||A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.

(4) 直接利用行列式的定义或性质解与行列式有关的问题

(5)利用矩阵的特征值理论求行列式的值. 注：关于行列式的计算，一般而言有三大类方法：一是利用行列式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是利用矩阵的特征值理论. 因此，要求读者做到：熟练掌握这些基本知识，牢记公式，并通过多做练习提高计算行列式的能力.

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