1 / 60

Optimizasyon Teknikleri

Optimizasyon Teknikleri. Ders Notu – 3 TEK DEGİŞKENLİ OPTİMİZASYON Doç. Dr. Bilal ALATAŞ. İÇERİK. TEK DEGISKENLI OPTIMIZASYON METOTLARI GOLDEN SECTION METODU BISECTION METODU POLINOM METODU NEWTON-RAPHSON METODU SECANT METODU METOTLAR HAKKINDA GENEL DEGERLENDIRME.

eaton-watts
Download Presentation

Optimizasyon Teknikleri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Optimizasyon Teknikleri Ders Notu – 3 TEK DEGİŞKENLİ OPTİMİZASYON Doç. Dr. Bilal ALATAŞ

  2. İÇERİK • TEK DEGISKENLI OPTIMIZASYON METOTLARI • GOLDEN SECTION METODU • BISECTION METODU • POLINOM METODU • NEWTON-RAPHSON METODU • SECANT METODU • METOTLAR HAKKINDA GENEL DEGERLENDIRME

  3. f’(x) bulunamadığında veya f’(x) =0 eşitliğinin çözülemediği durumlarda tek değişkenli bir fonksiyonun daha önce anlattığımız yollarla çözülmesi zor olabilir. • Bu durumda tek değişkenli f(x) fonksiyonunun en iyi değerinin araştırılmasında tek değişkenli araştırma teknikleri kullanılabilir. Bu tekniklerin kullanılabilmesi için fonksiyonun tek modlu olması şarttır. • f(x) fonksiyonu a≤ x≤ b koşulu altında maksimize edilmek istensin. Bu problem genel gösterimle aşağıdaki gibi ifade edilir: • enb f(x), a≤ x≤ b

  4. f(x1)<f(x2) x2yeni alt limittir;x1de yenix2 dir. • f(x2)<f(x1)  x1yeni üst limittir;x2de yenix1dir.

  5. Initialize: x1 = a + (b-a)*0.382 x2 = a + (b-a)*0.618 f1 = ƒ(x1) f2 = ƒ(x2) Loop: if f1 > f2 then a = x1; x1 = x2; f1 = f2 x2 = a + (b-a)*0.618 f2 = ƒ(x2) else b = x2; x2 = x1; f2 = f1 x1 = a + (b-a)*0.382 f1 = ƒ(x1) endif x2 a x1 b

  6. I1 I2 = fI1 I2 = fI1 I3 = fI2 • Son Aralık: • GOLDEN SECTION’un temeli:

  7. Örnek-2 Minimize

  8. Java Animasyonu • http://www.cs.illinois.edu/~heath/iem/optimization/GoldenSection/

  9. BISECTION (İkiye Bölme) Metodu • Optimizasyonla kök bulma birbirine benzer. Her ikisi de bir fonksiyonun veya • türevinin sıfır olduğu yeri bulmaya çalışır. • Kök bulma: f(x)=0, • Optimizasyon: f‘(x) = 0 • O halde optimum çözüm, f’(x) = 0 probleminin kök bulma yöntemleri ile • çözümünden elde edilebilir (eğer fonksiyon türetilebilir ise). f ’ köklerinin bulunmasına eşdeğerdir… Minimumu sınırlayan iki nokta (xa, xü) bulunur. f’(xa)<0 ve f’(xü)>0

  10. f’ f • Golden sectiona benzer ancak türev kullanır

  11. HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi Genel olarak xa ve xü aralığında fks sürekli ve f(xa) ile f(xü)’nün işaretleri ters ise yani f(xa).f(xü) < 0 ise bu aralıkta bir kök vardır. y İkiye bölme yönteminde kökün bulunduğu aralık adım adım daraltılarak gerçek köke ulaşılmaya çalışılır. f(xü) y=f(x) xa x xü kök f(xa)

  12. y y=f(x) xa x xü kök xo HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi f(x) = 0 ’ı sağlayan kökün içinde bulunduğu aralığın altve üst değeri biliniyorsa bu iki değerin orta noktası için değeri bulunabilir.

  13. HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi • İşlem adımları • Kökün bulunduğu aralık için xa ve xüdeğerleri tahmin edilir ve f(xa).f(xü) < 0 şartı aranır. • Üst ve alt değerlerle orta değer (xo) hesaplanır. • f(xo) değeri hesaplanır • Eğer f(xo) =0 ise kökxo’dır. • Eğer f(xo) ≠ 0 ise işleme devam edilir • 4) f(xa) hesaplanır

  14. y y f(xü) f(xü) xa xo xa x x kök xü xü kök xo f(xa) f(xa) HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi • a) • f(xa).f(xo) > 0 ise • xayerine xo yazılarak işleme devam edilir • b) • f(xa).f(xo) < 0 ise • xü yerine xoyazılarak işleme devam edilir.

  15. HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi İşleme son verme f(xo)=0 olunca işleme son verilir Kök xo’dır. 1) 2) | εt |< εkise işleme son verilir.

  16. HATIRLAMA : İkiye Bölme Yöntemi İkiye Bölme Yöntemi Özet Adımlar

  17. Buradaki mantıkla f ’ köklerinin bulunması işi yapılır … Minimumu sınırlayan iki nokta (xa, xü) bulunur. f’(xa)<0 ve f’(xü)>0 ve işlemler f’ için açıklanan şekilde uygulanır…

  18. Türevsiz Algoritma

  19. Örnek

  20. Yeni nokta parabolun minimumunda değerlendirilir: ai+1 xnew bi+1 ai bi • Minimum için: a > 0! • Mevcut noktaya çok yakınsa xnewkaydır

  21. Üç nokta quadratik yaklaşım • Üç noktadaki fonksiyonun değerine ihtiyaç gösterir (x1,f1), (x2,f2), x3,f3) • q(x)=a0+a1(x-x1)+a2(x-x1)(x-x2) • x=x1→q=f1a0=f1 • x=x2→q=f2 f2=f1+a1(x2-x1) →a1=(f2-f1)/(x2-x1) • x=x3→q=f3 f3=f1+[(f2-f1)/(x2-x1)](x3-x1)(x3-x2) →a2=[(f3-f1)/(x3-x1)-(f2-f1)/(x2-x1)]/(x3-x2) • dq/dx=0 →x* (opt. noktayı buluruz)

  22. Örnek • f(x)=2x3+16/x 1≤x ≤5 • x1=1→f1=18 Formüllerle • x2=3→f2=23.33 a0=18, a1=2.67, a2=3.07 • x3=5→f3=53.2 • q(x)=18+2.67(x-1)+3.07(x-1)(x-3) • dq/dx=0 →x*=[(x2+x1)/2](-a1/2a2)=1.565 • Gerçek x*=1.5874

  23. y Eğim= f |(x) Po yo y=f(x) yo- 0 α 0 x x1 kök xo xo- x1 Hatırlama (Kök Bulma) Eğer kökün ilk tahmini xo ise, [xo, f(xo)] noktasındaki teğet uzatılabilir. Uzatılan teğetin x eksenini kestiği nokta genellikle kökün daha iyi bir tahminini verir. y= f(x) fks.nun xo değeri yo= f(x)’dır. Po noktasından çizilen teğetin eğimi tg(α) ’dır.

  24. y Eğim= f |(x) Po yo y=f(x) yo- 0 α 0 x x1 kök xo xo- x1 Hatırlama (Kök Bulma) Aynı zamanda xo noktasındaki eğim bu noktadaki fonksiyonun türevine eşit olacağından : Buradan x1 değeri ; Bir sonraki adımdaki değer: En genel şekilde:

  25. Hatırlama (Kök Bulma) • Newton-Raphson yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. 1. Bulunan x değeri için f(x) fks.nun değerinin 0’a yaklaşımına bakarak, 2. x değerinin bir önceki hesaplanan değerine εk kadar yaklaşmasına bakarak; • İterasyona son verilir.

  26. f’ xk+1 xk+2 xk xk+2 xk xk+1 NEWTON-RAPHSON METODU • Tüm metotların en iyi yakınsayanıdır: f’

More Related