EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung

1. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung Grundidee: • EL = Wert einer risikolosen Forderung – Wert einer analog ausgestatteten risikobehafteten Forderung

2. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung Annahmen: • Keine Marktfriktionen (keine Transaktionskosten, keine Bid/Ask-Spreads, kein Margining, keine Beschränkungen von Leerverkäufen, keine Steuern) • Endlicher Zeithorizont • v0(t,T): Preis einer risikofreien Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t, die eine GE im Zeitpunkt T mit zurückzahlt • r(t): Short Rate (Spot Rate, Geldmarktzins) im Zeitpunkt t (risikofrei) • Aufzinsung eines Geldmarktkontos: • Unter der Annahme eines arbitragefreien, vollständigen Marktes gilt: wobei die Erwartungswertbildung unter dem eindeutigen, äquivalenten Martingalmaß auf Basis der in t verfügbaren Informationen erfolgt. (zum Thema Martingalpricing vgl. z.B. Jarrow/Turnbull, Kap. 6 und Kap. 18)

3. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung • v(t,T): Preis einer risikobehafteten Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t, die eine GE im Zeitpunkt T mit zahlt. • Fällt der Emittent im Zeitpunkt T aus, so erfolge im Zeitpunkt T statt einer Zahlung von einer GE eine Zahlung von • wird als Wiedergewinnungsrate (Recovery Rate) bezeichnet • hängt typischerweise ab von der Struktur der Verbindlichkeiten des Emittenten (Rang, „Seniority“) und ggfs. von der Besicherung • Fällt der Emittent im zufälligen Zeitpunkt aus, so beträgt der Wert der risikobehafteten Nullkuponanleihe • Die Indikatorfunktion ist definiert als

4. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung • Der Preis der risikobehafteten Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt t ist der erwartete, diskontierte Wert eines risikobehafteten Cash Flows von einer GE im Zeitpunkt T. • Annahme: Der Ausfallprozess, der durch dargestellt wird, und die Short Rate r(t) sind unabhängig unter . Dann kann der Erwartungswert faktorisiert werden: • Dabei ist die Wahrscheinlichkeit unter dem äquivalenten Martingalmaß, dass der Ausfall erst nach dem Zeitpunkt T erfolgt (Überlebenswahrscheinlichkeit, survival probability). • Achtung: Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist entsprechend der Herleitung die Ausfallwahrscheinlichkeit in der „risikoneutralen Welt“. • Ausfallwahrscheinlichkeiten in der risikoneutralen Welt sind bei risikobehafteten Finanzinstrumenten für die Preisbildung an den Märkten von Bedeutung.

5. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung • Zerlegung des Ausdrucks für die Rückzahlung aus einer risikobehafteten Anleihe unter Betrachtung der Zustände Default (D) und kein Default (ND) • Eine risikobehaftete Anleihe lässt sich in eine risikolose Komponente mit Rückzahlung und eine risikobehaftete Anleihe mit Rückzahlung im Zustand ND und Rückzahlung 0 im Zustand D zerlegen. • Der erwartete Verlust in der risikoneutralen Wert, betrachtet zum gegenwärtigen Zeitpunkt t, ist D D D = + ND ND ND

6. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung Vgl. z.B. Hull, J.: Options, Futures & other Derivatives, 4th Ed., Ch. 23.1

7. EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung • In der realen Welt beobachtete Ausfallhäufigkeiten und die zugehörigen realen Ausfallwahrscheinlichkeiten sind typischerweise deutlich kleiner als risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten (Risikoaversion!!!). • Unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes Q beträgt der erwartete Verlust in der realen Welt • Die Verbindung zum erwarteten Verlust in der risikoneutralen Welt wird typischerweise durch Einführung einer deterministischen Funktion der Zeit, die die Risikoprämie repräsentiert hergestellt: • Der Ausdruck für den erwarteten Verlust in der realen Welt, betrachtet zum gegenwärtigen Zeitpunkt t, enthält die Dimensionen des Kreditrisikos, das aktuelle Exposure at Default, die Verlustuote bei Ausfall und die Ausfallwahrscheinlichkeit

8. PD Ausfalldefinition - allgemein • Was definiert einen Ausfall? • Ökonomische Betrachtung • Restrukturierung eines Kredits mit Barwertverlust • Zahlungsverzug • Hohe Wahrscheinlichkeit für finanzielle Probleme • Handelsrechtliche Betrachtung • Einzelwertberichtigung, Abschreibung • Insolvenzantrag durch Kreditnehmer oder –geber • Vergleichbares Verfahren (sonstiger Gläubigerschutz, z.B. Chapter 11) Achtung: Die Definition des Ausfalls ist wesentlich für die Bestimmung der PD, des LGD und des EAD. Um einen EL konsistent ermitteln zu können, muss die Definition des Ausfalls für die Schätzung von PD, LGD und EAD einheitlich sein.

9. PD Ausfalldefinition Bankaufsichtsrecht (Solvabilitätsverordnung / Basel II) • Ausfall gilt als gegeben, wenn mindestens eines der folgenden Ereignisse eingetreten ist: • Mehr als 90 Tage Überfälligkeit (d.h. Zahlungsverzug und/oder Überziehung) bei einem wesentlichen Teil der Gesamtverpflichtung des Schuldners aus Kreditgewährung gegenüber dem Institut oder gegenüber einem gruppenangehörigen Unternehmen • Schuldner wird seinen Kreditverpflichtungen gegenüber dem Institut oder gegenüber einem gruppenangehörigen Unternehmen mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht ohne Rückgriff auf Sicherheiten in voller Höhe nachkommen; Indikationen hierfür sind • Vornahme einer Wertberichtigung aufgrund einer deutlichen Verschlechterung der Kreditqualität gegenüber dem Zeitpunkt des Eingehens der Transaktion • Verkauf einer Forderung mit erheblichem in Beziehung mit der Kreditgewährung stehenden wirtschaftlichen Verlust • Sanierungsumschuldung (Restrukturierung), sofern diese voraussichtlich zu einer verminderten finanziellen Verpflichtung führt (bedeutender Erlass oder Stundung von Tilgung, Zinsen oder Gebühren) • Insolvenzantrag hinsichtlich des Kreditnehmers (gestellt durch Kreditnehmer oder Bank)

10. PD Definition – ISDA-Dokumentation für Credit Default Swaps • ISDA: International Swaps and Derivatives Association • U.a. Erarbeitung standardisierter Vertragsdokumentationen für OTC-Derivatetransaktionen • Credit Default Swap • Swapgeschäft mit fester Seite und variabler Seite • Feste Seite: Margenzahlung als Kompensation für Risikoübernahme • Variable Seite: Bedingte Zahlung im Falle eines Ausfalls der der Transaktion zugrundeliegenden Adresse gemäß der in der Vertragsdefinition festgelegten Ausfalldefinition • „Sicherungsgeber“ bzw. „Risikokäufer“ erhält feste Margenzahlung und zahlt im Falle eines Ausfalls die nach definierten Kriterien zu ermittelnde Recovery auf das Nominal (cash settlement) bzw. erhält eine Schuldverschreibung der ausgefallenen Adresse (physical settlement) • „Sicherungsnehmer“ bzw. „Risikoverkäufer“ zahlt feste Margenzahlung und erhält im Falle eines Ausfalls die nach definierten Kriterien zu ermittelnde Recovery auf das Nominal bzw. eine Schuldverschreibung der ausgefallenen Adresse • Transaktion endet nach Ausfall, ansonsten nach vertraglich festgelegter Laufzeit

11. PD Definition – ISDA-Dokumentation für Credit Default Swaps • ISDA CDS Vertragsdokumentation („2003 Definitions“) • Mögliche „Default Events“ (typischerweise wird eine Auswahl der möglichen Kriterien vertraglich vereinbart) • Bankruptcy • Obligation Acceleration • Obligation Default • Failure to Pay • Repudiation/Moratorium • (Restructuring)

12. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Definition der Ausfallrate nach Moody‘s • Ausfallrate = • Die Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) wird geschätzt durch die Bestimmung der Ausfallrate. • Bei der Kohortenmethode werden alle Kreditnehmer/Emittenten in Gruppen (Kohorten) eingeteilt. • Dabei soll jede Kohorte eine homogene Gruppe von Kreditnehmern umfassen, d.h. eine Kohorte besteht aus Kreditnehmern, von denen man erwartet, dass sie eine gleiche Ausfallwahrscheinlichkeit aufweisen. • Die Homogenität der Kohorte kann z.B. dadurch erreicht werden, dass man für die Kreditnehmer ein Rating (d.h. eine Bonitätsbeurteilung) durchführt und Gruppen von Kreditnehmern mit gleichem Rating zu Kohorten zusammenfasst. #(ausgefallene Emittenten während eines bestimmten Zeitintervalls) #(Emittenten, die während dieses Zeitintervalls potenziell ausfallgefährdet sind)

13. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Moody‘s bestimmt die Ausfallrate dt einer Kohorte im Jahr t von Schuldnern mit identischem Initialrating nach der folgenden Formel: • Dabei sind die einzelnen Größen wie folgt definiert: • nt: # der Emittenten in der Kohorte zu Beginn des Jahres t • xt: # der Ausfälle von Emittenten im Jahr t • wt: # der Emittenten, die ihr Rating im Jahr t zurückziehen • Die Bildung der Kohorte erfolgt zu Beginn des ersten Jahres mit n1 Emittenten. • Die Anzahl der relevanten Kohortenmitglieder in den Folgejahren ergibt sich über die Beziehung • Die kumulierte Ausfallrate für den Zeithorizont T beträgt

14. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Beispiel: Eine Bank definiert zwei Kohorten: Investment Grade (IG) und Speculative Grade (SG). Ein Kreditnehmer wird bei Bildung der Kohorten entweder der Kohorte IG oder SG zugeordnet. Folgende Daten werden innerhalb der zwei Jahre nach Kohortenbildung gesammelt. • Wie hoch sind die PDs für ein bzw. zwei Jahre in den Kohorten IG und SG? IG: D(1)=1-(1-d1))=d1=0,997% D(2)=1-(1-d1)(1-d2)=1,849% SG: D(1)=1-(1-d1))=d1=1,446% D(2)=1-(1-d1)(1-d2)=3,507%

15. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Beispiel für mit der Kohortenmethode gewonnene Daten • Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen • Moody‘s Daten 2003, 2004 • Angaben in %

16. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Beispiel für mit der Kohortenmethode gewonnene Daten • Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen • Moody‘s Daten 1970-2004 • Mittelung über Kohorten der einzelnen Jahre, anzahlgewichtet • Angaben in %

17. PD Kohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung • Beispiel für mit der Kohortenmethode gewonnene Daten • Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen • Daten von Standard & Poor‘s 1981-1999 • Angaben in % • Genauigkeit der PD-Schätzung durch Ausfallraten nach der Kohortenmethode • PD(AA)=0,01% geschätzt aus ca. 8000 Beobachtungen • Wie hoch ist die Standardabweichung der Schätzung? • Annahme: Binomialverteilung

18. PD Term Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe • Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen und Zeithorizont (Moody‘s, 1920-2004)

19. PD Term Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe • In Zusammenhang mit der Beschreibung der Term Structure der PD sind folgende Begrifflichkeiten wichtig: • Kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeit pkum(n) (=D(n)): bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuldner innerhalb der nächsten n Jahre ausfällt • Marginale Ausfallwahrscheinlichkeit pmarg(n) (=dn) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Schuldner genau im Zeitintervall (n-1;n] ausfällt • Überlebenswahrscheinlichkeit psurv(n) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Schuldner innerhalb der nächsten n Jahre, also im Zeitintervall [0;n] nicht ausfällt • Alle drei Begriffe werden sowohl in der realen als auch in der risikoneutralen Welt verwendet • Die Term Structure der PD wird ebenfalls sowohl in der realen als auch in der risikoneutralen Welt betrachtet

20. PD Term Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe • Alle drei Wahrscheinlichkeitsbegriffe sind letztlich äquivalente Darstellungen der Ausfallstruktur, da sie ineinander umgerechnet werden können • psurv(n) = (1 - pmarg(1)) x ... x (1-pmarg(n)) = • pkum(n) = 1 – psurv(n) = 1 – (1 – pmarg(1)) x ... x (1 – pmarg(n)) = • Umgekehrt können die kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeiten in marginale umgerechnet werden: • pmarg(n) = [pkum(n) - pkum(n-1)] / [1 – pkum(n-1)]

21. PD Wahrscheinlichkeitsbegriffe – Interpretation und Beispiele • Kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeiten von Rating B auf Basis der Daten von Standard & Poor‘s: Nach einem Jahr sind 5,8% der ursprünglich mit B gerateten Schuldner ausgefallen, nach 2 Jahren sind es 13,2%. • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine heute mit B geratete Position im zweiten Jahr ausfällt, wenn sie das erste Jahr überlebt hat? 94,2% 5,8% ND D 1-x x ND D

22. PD Wahrscheinlichkeitsbegriffe – Interpretation und Beispiele • Wie hoch ist die durchschnittliche Ausfallwahrscheinlichkeit einer Position, die mit B geratet ist, in den ersten beiden Jahren? • Wie hoch ist die Ausfallwahrscheinlichkeit im ersten Monate unter Annahme konstanter marginaler Ausfallwahrscheinlichkeiten im unterjährigen Bereich?

23. PD Diskrete Migrationsmatrix • Wird neben dem Ausfallzustand der Zustand der nicht ausgefallenen Schuldner differenziert nach der Einstufung auf einer Ratingskala, so ist für die Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit für mehrere Perioden eine Migrationsmatrix notwendig. • Die diskrete Migrationsmatrix gibt an, wie hoch die einjährige Wahrscheinlichkeit ist, von einem Rating in ein anderes Rating (oder in den Ausfallzustand) eingestuft zu werden. • Die Wahrscheinlichkeit, von Rating i nach Rating j innerhalb eines Jahres zu migrieren, kann geschätzt werden durch die 1-Jahres-Übergangsrate: Übergangsrate (i=>j) = # der am Ende eines Jahres in der Ratingklasse j befindlichen Schuldner der Kohorte # der Schuldner in der Kohorte mit Ratingklasse i zu Beginn des Jahres

24. PD Diskrete Migrationsmatrix • Beispiel: Eine Bank hat zwei Kohorten (IG und SG) definiert. Die Kreditnehmer werden entweder als IG oder SG eingestuft. Folgende Daten werden in einem Jahr gesammelt: • Wie sieht die Schätzung der Migrationsmatrix aus? Kohorte IG Kohorte SG Anzahl der Kreditnehmer 21000 36000 Migrationen nach SG 3150 - Migrationen nach IG - 1800 Ausfälle 210 720

25. PD Diskrete Migrationsmatrix • Lösung: • Wahrscheinlichkeit, in IG zu bleiben: (21000 – 3150 – 210) / 21000 = 0,84 • Wahrscheinlichkeit von IG nach SG: 3150 / 21000 = 0,15 • Wahrscheinlichkeit von IG nach Ausfall: 210 / 21000 = 0,01 • Wahrscheinlichkeit, in SG zu bleiben: (36000 – 1800 – 720) / 36000 = 0,93 • Wahrscheinlichkeit von SG nach IG: 1800 / 36000 = 0,05 • Wahrscheinlichkeit von SG nach Ausfall: 720 / 36000 = 0,02 • Einjährige Migrationsmatrix M1: Von / Nach IG SG Ausfall Kohorte IG 84% 15% 1% Kohorte SG 5% 93% 2% Ausfall 0% 0% 100%

26. PD Diskrete Migrationsmatrix • Migrationsmatrizen können aus den Daten des internen Ratingprozesses berechnet werden oder von externen Ratingagenturen übernommen werden • Einjährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s Von / Nach AAA AA A BBB BB B CCC/C Ausfall AAA 92,08% 7,09% 0,63% 0,14% 0,06% 0,00% 0,00% 0,00% AA 0,62% 90,83% 7,77% 0,59% 0,06% 0,10% 0,02% 0,01% A 0,05% 2,09% 91,38% 5,79% 0,44% 0,16% 0,04% 0,05% BBB 0,03% 0,21% 4,09% 89,38% 4,82% 0,86% 0,24% 0,37% BB 0,03% 0,08% 0,40% 5,53% 83,25% 8,15% 1,11% 1,45% B 0,00% 0,08% 0,27% 0,34% 5,39% 82,41% 4,92% 6,59% CCC/C 0,10% 0,00% 0,29% 0,58% 1,55% 10,54% 52,80% 34,14% Ausfall 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100,00%

27. PD Diskrete Migrationsmatrix • Aus der einjährigen Migrationsmatrix kann die Schätzung für die einjährige Ausfallwahrscheinlichkeit direkt abgelesen werden. • Aus der einjährigen Migrationsmatrix können unter gewissen Annahmen mehrjährige Migrationsmatrizen berechnet werden. • Eine häufige Annahme für die zeitliche Entwicklung der einjährigen Migrationsmatrix besteht darin, dass die Migrationsmatrix konstant über die Zeit bleibt (zeithomogene Matrix). • Beispiel: Aus der einjährigen Migrationsmatrix M1 im vorhergehenden Beispiel ist die zweijährige Migrationsmatrix unter der Annahme der Zeithomogenität zu berechnen • Zweijährige Migrationsmatrix

28. PD Diskrete Migrationsmatrix • Zweijährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s berechnet aus der einjährigen Migrationsmatrix Von / Nach AAA AA A BBB BB B CCC/C Ausfall AAA 84,83% 12,98% 1,71% 0,34% 0,12% 0,01% 0,00% 0,002% AA 1,14% 82,71% 14,19% 1,52% 0,17% 0,20% 0,04% 0,04% A 0,11% 3,82% 83,90% 10,50% 1,06% 0,37% 0,08% 0,15% BBB 0,06% 0,47% 7,43% 80,40% 8,39% 1,90% 0,44% 0,91% BB 0,06% 0,17% 0,96% 9,60% 70,03% 13,67% 1,92% 3,59% B 0,01% 0,15% 0,53% 0,93% 9,02% 68,88% 6,71% 13,78% CCC/C 0,15% 0,02% 0,48% 0,96% 2,71% 14,38% 28,42% 52,89% Ausfall 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100,00%

29. PD Diskrete Migrationsmatrix • Zehnjährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s berechnet aus der einjährigen Migrationsmatrix Von / Nach AAA AA A BBB BB B CCC/C Ausfall AAA 44,85% 33,03% 15,75% 4,44% 1,01% 0,49% 0,09% 0,333% AA 2,96% 42,86% 36,44% 12,29% 2,65% 1,37% 0,24% 1,16% 10,01% A 0,59% 49,57% 26,36% 6,78% 3,16% 0,55% 2,98% BBB 0,28% 2,90% 18,94% 42,18% 16,14% 8,49% 1,39% 9,69% BB 0,19% 1,06% 6,03% 18,31% 25,04% 19,23% 2,95% 27,19% B 0,09% 0,56% 2,35% 5,76% 12,56% 22,01% 3,41% 53,28% CCC/C 0,14% 0,28% 1,16% 2,41% 4,23% 7,35% 1,27% 83,17% Ausfall 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100,00%

30. PD Diskrete Migrationsmatrix • Aufgrund sehr starker zyklischer Bewegungen kann die Annahme von Zeithomogenität der einjährigen Migrationsmatrix nicht haltbar sein. • In diesen Fällen muss für jedes Jahr eine eigene einjährige Migrationsmatrix (bedingte Migrationsmatrix, bedingt auf den jeweiligen Zustand der Konjunktur) geschätzt werden (z.B. mit Daten aus den entsprechenden Wirtschaftszyklen) => in der Praxis ist das extrem schwierig • Die k-jährige Migrationsmatrix wird berechnet, indem die einzelnen einjährigen Migrationsmatrizen multipliziert werden:

31. PD Diskrete Migrationsmatrix - Zusammenfassung • Mit der Kohortenmethode können einjährige Migrationsmatrizen geschätzt werden. • Diese Matrizen können zeithomogen oder zeitinhomogen sein. • Aus den einjährigen Migrationsmatrizen können k-jährige Migrationsmatrizen berechnet werden. • Aus diesen Matrizen kann direkt die Ausfallwahrscheinlichkeit für k Jahre entnommen werden. • Probleme • Für bestimmte Kundengruppen kann die Kohortenmethode zu Verzerrungen führen • häufige Ratingänderungen • Portfolio mit wenigen Kunden • Mit der bisher vorgestellten Methode können nur Ausfallwahrscheinlichkeiten für ganze Jahre berechnet werden (diskrete Migrationsmatrix)

32. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Anforderungen: • Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten für beliebige Laufzeiten • Genauere Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit durch bessere Analyse der Daten • Bestandsaufnahme: Die Betrachtung der einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten aus diskreten Migrationsmatrizen zeigt mehrere Probleme auf

33. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Bestandsaufnahme (Forts.) • Die 1-Jahres-PD eines AAA-Kreditnehmers wird mit null Prozent angegeben • Es ist davon auszugehen, dass selbst für AAA-Kreditnehmer eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit besteht. • Die Modellierung seltener Ereignisse wie Ausfälle von sehr gut gerateten Kreditnehmern muss verbessert werden. • Es wird nur das Rating am Beginn und am Ende des einjährigen Zeitfensters herangezogen. • Die Information, wann und wie viele Ratingänderungen während des Jahres stattgefunden haben, wird die Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit verbessern. • Sowohl externe Ratingagenturen als auch interne Ratingprozesse können diese Daten liefern. • Kreditnehmer, deren Kredit während des Jahres ausläuft oder die während des Jahres einen neuen Kredit bekommen, werden nicht exakt berücksichtigt. • Diese Informationen sollten in das Schätzverfahren einfließen.

34. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Die dargelegten Probleme können je nach Kundengruppen und Größe des Portfolios zu erheblichen Verzerrungen in der Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit führen. • Die Verzerrungen haben starke negative Auswirkungen auf das Risikomanagement und das Pricing von Krediten. • Verfahren von Lando und Sködeberg (Lando, D, Sködeberg, T. (2002), J. of Banking and Finance, 26: 423 – 444) zur Lösung der dargelegten Probleme: • Die Ausfallwahrscheinlichkeit wird mit einer zeithomogenen Markov-Kette in kontinuierlicher Zeit modelliert. • Diese Markov-Kette wird durch eine Migrationsmatrix W(Dt) beschrieben, deren Elemente wij(Dt) die Wahrscheinlichkeit angeben, in einer Zeitspanne von Dt Jahren zwischen der Ratingklasse i und der Ratingklasse j zu migrieren. • Beispiele: • W“A“ „“BBB“ (0,5): Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein „A“-Kreditnehmer in einer Zeitspanne von einem halben Jahr in die Ratingklasse „BBB“ migriert • W“A“ „“BBB“ (2): Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein „A“-Kreditnehmer in einer Zeitspanne von zwei Jahren in die Ratingklasse „BBB“ migriert

35. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Die Migrationsmatrix wird durch eine Generatormatrix L modelliert. Die Elemente der Generatormatrix lij geben die Intensität einer Migration zwischen den Ratingklassen i und j an. • Es gilt: • Die Intensität einer Migration multipliziert mit einer sehr kleinen Zeitspanne Dt entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Migration in dieser Zeitspanne. Es gilt für i<>j: • Durch diesen Zusammenhang kann über die Intensitäten die Ausfallwahrscheinlichkeit für jede beliebige Zeitspanne berechnet werden.

36. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Berechnung der Generatormatrix L • Im Modell werden die beobachteten Ratingänderungen und Ausfälle verwendet, um die Generatormatrix zu bestimmen, und nicht, um direkt die Migrationsmatrix zu schätzen. • Der Maximum-Likelihood-Schätzer für die Elemente der Generatormatrix hat die Form • Nij: # der beobachteten Migrationen von Ratingklasse i nach j • Yi(s): # der Kreditnehmer in Ratingstufe i zum Zeitpunkt s • Interpretation der Berechnung: • Zähler (N_ij) enthält die beobachteten Übergänge von Ratingklasse i nach Ratingklasse j. • Nenner enthält die Anzahl der beobachteten Kreditnehmer-Jahre in der Ratingklasse i. • So wird die Zeit, die ein Kreditnehmer in einer bestimmten Ratingklasse verbracht hat, exakt gemessen.

37. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Beispiel zur Schätzung der Generatormatrix • Eine Bank hat zwei Kohorten (A und B) definiert. Die Kreditnehmer werden entweder in A (gute Bonität) oder in B (schlechte Bonität) eingeteilt. • Folgende Daten werden im Laufe eines Jahres gesammelt: • Am Anfang des Jahres befinden sich jeweils 10 Kreditnehmer in jeder Ratingklasse. • Ein „A“-Kreditnehmer wird am Ende des ersten Monats auf „B“ zurückgestuft und bleibt „B“ für den Rest des Jahres. • Ein „B“-Kreditnehmer wird am Ende des zweiten Monats auf „A“ heraufgestuft und bleibt „A“ für den Rest des Jahres. • Ein „B“-Kreditnehmer fällt am Ende des sechsten Monats aus. • Wie lautet die Generatormatrix L?

38. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Lösung: Intensität einer Migration von „A“ nach „B“: Intensität einer Migration von „A“ nach Default „D“:

39. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Lösung (Fortsetzung): Intensität einer Migration von „B“ nach „A“: Intensität einer Migration von „B“ nach Default „D“:

40. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Lösung (Fortsetzung): Intensität des Defaultzustandes „D“ ist immer auf Null zu setzen: Generatormatrix:

41. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Berechnung der Migrationsmatrix • Aus der Generatormatrix kann die Wahrscheinlichkeit der Migration für jede beliebige Zeitspanne Dt berechnet werden. • Die Migrationsmatrix W(Dt) wird folgendermaßen berechnet: • Bei der Berechnung der unendlichen Summe wird nach jenem Glied abgebrochen, bei dem sich das Ergebnis nur noch unwesentlich ändert (z.B. nur noch Änderungen in der fünften Nachkommastelle). • Aus der Migrationsmatrix kann direkt die Ausfallwahrscheinlichkeit für eine Laufzeit von Dt Jahren abgelesen werden.

42. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Beispiel: Berechnen Sie die kontinuierliche Migrationsmatrix für eine Laufzeit Dt von einem Jahr mit der Generatormatrix aus dem letzten Beispiel. Brechen Sie bei der Berechnung der unendlichen Summe nach dem vierten Glied ab. • Generatormatrix: • Lösung: • 1. Glied

43. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • 2. Glied • 3. Glied • 4. Glied

44. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Migrationsmatrix • 1-Jahres-Ausfallwahrscheinlichkeit für einen „A“-Kreditnehmer: 0,472% • 1-Jahres-Ausfallwahrscheinlichkeit für einen „B“-Kreditnehmer: 9,44%

45. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Beispiel: Berechnen Sie für die Angaben aus dem vorhergehenden Beispiel die einjährige diskrete Migrationsmatrix und vergleichen Sie das Ergebnis mit der kontinuierlichen Migrationsmatrix • Lösung: Wahrscheinlichkeit, in A zu bleiben: (10 – 1) / 10 = 0,9 Wahrscheinlichkeit von A nach B: 1 / 10 = 0,1 Wahrscheinlichkeit von A nach Default: 0 / 10 = 0 Wahrscheinlichkeit in B zu bleiben: (10 – 1 – 1) / 10 = 0,8 Wahrscheinlichkeit von B nach A: 1 / 10 = 0,1 Wahrscheinlichkeit von B nach Default: 1 / 10 = 0,1

46. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Einjährige diskrete Migrationsmatrix • Einjährige kontinuierliche Migrationsmatrix

47. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Der Vergleich zwischen diskreter und kontinuierlicher Methode zeigt folgende Unterschiede: • Die kontinuierliche Methode weist gut gerateten Kreditnehmern eine realistische PD zu, auch wenn keine direkten Ausfälle zu beobachten waren. • Die kontinuierliche Methode weist verglichen mit der diskreten Methode andere Wahrscheinlichkeiten für Migrationen auf, da zusätzlich die Information einfließt, wann und wie oft ein Kreditnehmer migriert ist. • Die Informationen von Kreditnehmern, die neu hinzukommen oder deren Kredit ausläuft, können exakt erfasst werden. • Mit der kontinuierlichen Methode kann die Wahrscheinlichkeit der Migration für jede beliebige Laufzeit berechnet werden.

48. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Beispiel: Berechnen Sie die kontinuierliche Migrationsmatrix für eine Laufzeit von 0,5 Jahren und eine Laufzeit von 2,5 Jahren mit der Generatormatrix aus dem vorletzten Beispiel. Brechen Sie die Berechnung der unendlichen Summe nach dem vierten Glied ab. • Generatormatrix:

49. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Lösung: Migrationsmatrix für 0,5 Jahre: Migrationsmatrix für 2,5 Jahre:

50. PD Kontinuierliche Migrationsmatrix • Zusammenfassung: • Kontinuierliche Migrationsmatrizen bieten sich als ideale Lösung zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten an. • Probleme, die sich bei der Schätzung im diskreten Fall ergeben, werden mit der kontinuierlichen Methode gelöst. • Ausblick: • Die Schätzung von kontinuierlichen Migrationsmatrizen kann in einigen Bereichen verbessert werden: • Schätzung zeitinhomogener Matrizen • Integration von „Rating-Drifts“: Es kann beobachtet werden, dass bei Unternehmen, die in ihrem Rating herabgestuft worden sind, eine höhere Wahrscheinlichkeit für weitere Herabstufungen besteht als bei Unternehmen, die schon lange in einer Ratingklasse verharren (Nicht-Markov-Effekte)