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XOR 方程组. 清华大学 莫涛 mythly@qq.com hwd@hwd.name. 前言. 约定. XOR 的计算方式 N,M<=100000 数字为 2 60 内的非负整数 讨论某道题时，假设其之前所有例题已解决. 概览一（ 10 分钟）. 证明 XOR 满足交换律，结合律，是自身的逆运算。 从 N 个数中选出两个数，使 XOR 和最大。 N 个点的边带权的树，找一条路径使 XOR 和最大。 从 N 个数中选出若干个，使 XOR 和为 X ，给出方案或指出不可行。
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XOR方程组 清华大学 莫涛 mythly@qq.com hwd@hwd.name
约定 XOR的计算方式 N,M<=100000 数字为260内的非负整数 讨论某道题时，假设其之前所有例题已解决
概览一（10分钟） • 证明XOR满足交换律，结合律，是自身的逆运算。 • 从N个数中选出两个数，使XOR和最大。 • N个点的边带权的树，找一条路径使XOR和最大。 • 从N个数中选出若干个，使XOR和为X，给出方案或指出不可行。 • 在上题的基础上，给定M个限制，每个限制是那N个数的一个子集，要求该子集中的数恰有奇数个或偶数个被选择 • 从N个数中选出任意个数，使XOR和最大。 • O(N*643)? O(N*642)? O((N/64)*642)?O(N*64)? • 从N个数中选出任意个数，求能得到的XOR和的种数。 • 从N个数中选出任意个数，使它们的XOR和与X的XOR和最大。
例一 证明XOR满足交换律，结合律，是自身的逆运算。 XOR关于每一位的独立性。 二进制数比较大小时从高到低。
例二 从N个数中选出两个数，使XOR和最大。
解法 • 枚举一个数，查找最接近的数 • 构造二进制树 • [0 0 0 0] [1 1 1 1 1] • [0 0] [1 1] [0 0 0] [1 1] • [1 1] [0] [1] [1 1 1] [0] [1] • [0] [1] [1] [0] [0] [1 1] [0] [1] • 与0 1 1 1最接近的是1 0 1 0 • O(60N)
例三 N个点的边带权的树，找一条路径使XOR和最大。
解法 任选根，hi表示从根到i的路径的XOR和 X到Y的路径的XOR和等于hx xor hy 转化为例二
例四 从N个数中选出若干个，使XOR和为K，给出方案或指出不可行。
解法 • Xi=0示第i个数不选，Xi =1表示选 • 考虑K的p位 • 若是1，则第p个二进制位为1的数字有奇数个被选 • 否则偶数个被选择 • 得到方程Xi1 + Xi2 + …… + Xis = Kp (‘+’为异或) • 联立60个方程，方程的解等价于原问题的解
高斯消元 • 设N个未知数，M个方程，A为系数矩阵 • k = 1 • for i = 1 to N • 若存在j>=k使得Aj,i为1则 • 交换第j行与第k行 • 用第k行对之后的行进行消元 • k = k + 1 • 否则第ｉ个变量是自由变量，k不变 • 时间复杂度O(NM2)
解的判断 • 无解 • 存在方程系数全为0，常数项不为0 • 唯一解 • 无自由变量 • 多解： • 出现了S个自由变量，这些变量可任意取值从而确定其余变量的值 • 2S组解
例子 • N = 4 K = 7 • N个数为 5 6 3 4 • X1 + X3 = 1 • X2 + X3 = 1 • X1 + X2 + X4 = 1 • 欢迎上台解方程
位运算优化 一个int64/long long储存60个bit 取出X的第i位：X and 2i-1 两行做异或：A xor B
例五 在例四的基础上，给定M个限制，每个限制是那N个数的一个子集，要求该子集中的数恰有奇数个或偶数个被选择。
解法 给每个限制添加一个方程 用例四的方法解决
例六 • 从N个数中选出任意个数，使XOR和最大。 • O(N*603)? O(N*602)? ((N/60)*602)?O(N*60)? • 最简洁的算法？
解法一 • 从高到低确定K的每一位，设当前考虑第i位 • 若Ki= 1可行则确定 • 否则Ki= 0 • 判断可行 • 对前i位列方程，使用例四的方法 • 时间复杂度O(N*603)
解法二 • 确定第i位时，前面的方程已经消好元了 • 只需用前i-1个方程对第i个方程进行消元 • 例：前方程组中添加X1 + X2 + X3 + X4 = 0 • 时间复杂度O(N*602) • 使用位运算可以优化为O((N/60)*602)
解法三 从前到后考虑每一个数，若它可被之前的数凑出则可以直接将其扔掉 维护已有的独立数的上三角矩阵，相当于将A旋转90度后进行高斯消元 直接确定最终答案，O(N*60)
例七 从N个数中选出任意个数，求能得到的XOR和的种数。
解法 • 利用例六的解法三 • 设有T个独立数，答案为2T • 为什么不会有重复？ • 其它解法？ • 建议学习《线性代数》相关知识
例八 从N个数中选出任意个数，使它们的XOR和与K的XOR和最大。
解法 例六解法三，直接确定答案
概览二（十分钟） • N个点M条边的边带权的无向图，把点分成两个集合，使处于两集合之间的边的XOR和最大。（提示：1,2,5,10,20,50,100。7种币值可凑出所有面值） • N个点M条边的边带权的无向图，求一个回路使XOR和最大。 • 用第5题的思路。 • 方程的解与回路一一对应吗？证明之。 • 时间复杂度？ • 用第9题的思路。 • 最少需要多少种“币值”？证明之。 • 如何构造这样一组“币值”。 • 上一题的makedata怎么写？ • N个点M条边的边带权的无向图，求一条1号点到N号点的路径，使XOR和最大。
例九（XOR最大割） N个点M条边的边带权的无向图，把点分成两个集合，使处于两集合之间的边的XOR和最大。 提示：1,2,5,10,20,50,100。7种币值可凑出所有面值。
解法 设hi为i的邻边的XOR和 一个割{S,T} = ∑hi(i在S中) = ∑hi(i在T中) 转化为例六
例十（XOR最大环） • N个点M条边的边带权的无向图，求一个回路使XOR和最大。 • 用第5题的思路。 • 方程的解与回路一一对应吗？证明之。 • 时间复杂度？ • 用第9题的思路。 • 最少需要多少种“币值”？证明之。 • 如何构造这样一组“币值”。
解法一 Xi表示第i条边是否在路径中 点的邻边中恰有偶数条被取 N个方程，M个变量
方程的解与回路的对应性 回路均满足方程 方程的解可能是若干不连通的回路 走过来再走回去，XOR和不变
时间复杂度 转化为例五+例六 只能使用解法二 O((M/60)N(N+60))
解法二 • 两个回路的和仍是回路 • ‘和’ 指 ‘异或和’/‘对称差’ • 连通性问题 • 结论：一个无向连通图G中有且仅有M-N+1个独立回路。
数学归纳法 • M=N-1时，树，结论成立 • 设M=K时结论成立，当M=K+1时，任取G中一条边e，G-e中有K-N+1个独立回路，且 • 任取一个包含e的回路C，显然独立于之前的回路 • 任意两个包含e的回路C1与C2，C12=C1+C2是G-e的回路，C2不独立 • 故能且仅能增加一个包含e的独立回路 • 从而G中恰有(K+1)-N+1个独立回路，证毕
构造法 • 任取原图一棵生成树T • 对于每条不在T中的边e，取T+e的回路
时间复杂度 利用构造法，求出M-N+1个独立回路的XOR和 转化为例六 O((M+N)*60) 建议学习《图论》相关知识
例十一 例十的makedata怎么写？
解法 生成一个独立数集 随机生成一棵树的边权 对于每条非树边，确定其值使得该边对应的环的XOR和可由独立数集生成
例十二（XOR最长路） N个点M条边的边带权的无向图，求一条1号点到N号点的路径，使XOR和最大。
解法 任意两条路径的和为一个环 任取一条1-N的路，找一个环与其XOR和最大 转化为例八
例十三 扩展思考：从N个数中选出不超过K个，使XOR和最大。
例十四 扩展思考：在第10题基础上，限制求得的回路是简单回路。
例十五 zxr:对于任意完美匹配的答案为ans，缩点找环，转化为：从所有环中选k个使其xor和与ans的xor值最大 扩展思考：带权二分图，求一个完美匹配，使XOR和最大。
Matrix 一个N*N的01矩阵，每个十字中有偶数个1 已经填好了M个数，求填完该矩阵的方案数 M<=N<=1000
解法 • 确定第一行后，可以递推确定剩下的格子，且该方案合法当且仅当这样递推得出的第N+1行全是0 • 第一行的N个格子作为未知数 • 递推求出第N+1行与第1行的关系，N个方程 • 已填数的信息，M个方程 • 该方程组的解数即为答案，O(N3/60) • 每60个未知数压成一个数
POI2005dwa • 一个无向图，将N个点分成两个点集，使得尽量多的点满足： • 邻居中有偶数个点和自己在同一集合 • 允许分出空集 • N<=1000
解法 • 设点i的邻居为Si，Si中有偶数个点与i同集合 • 若di为奇，Si中两集合均包含偶数个点 • 若di为偶，{Si+i}中两集合均包含奇数个点 • Xi表示第i个数所属的集合（0或1） • N个未知数，N个方程 • 猜想：该方程组一定有解，即答案为N
证明 见Matrix67的Blog
