Généralités Hydrostatique

1. Cours de Mécanique des fluides GénéralitésHydrostatique Olivier LOUISNARD

2. Qu’est-ce qu’un fluide ? • pas de forme propre • s’écoule si on lui applique une force • prend la forme du récipient • Les molécules interagissent (peu pour les gaz) • Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres. • Pas d’ordre comme dans un solide (ordre local pour les liquides) • Limite solide / fluide parfois floue : • dépend de la dynamique de la sollicitation (sable mouillé, polymères, pâtes) • états semi-ordonnés (ou « indécis ») • (verre et liquides vitreux, cristaux liquides, colloïdes) • dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)

3. Quelques fluides Monophasiques eau, air, huile, métaux fondus, ... • Multiphasiques • aérosols =L ou S dans V (brouillard, essence dans carburateur, fumée) • émulsions = L dans L (lait, vinaigrette, anisette, shampoing...) • suspensions = S dans L (pâtes, boues) • liquides à bulles = G dans L (sodas, surface de l’océan, distillation, • fluides de refroidissement, mousses) • « Complexes » • magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques) • polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...) • milieux granulaires (sable, poudres)

4. Ferrofluides Sang Liquide à bulles Cristaux liquides Lait Quelques fluides complexes

5. Microscopique : ce qu’on ne voit pas directement • Atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres • Liquide = fort encombrement / interactions forte • Gaz = faible encombrement / interactions quasi nulles Macroscopique : à notre échelle • un fluide apparaît comme un milieu continu • il exerce/subit des forces sur/par notre environnement Description macroscopique d’un fluide On cherche à représenter ce que l’on voit par des variables et des équations continues / à x,y,z. On veut donc « gommer » les inhomogénéités microscopiques => homogénéisation Si possible un modèle valable pour gaz ET liquides

6. r(x) = ? (en nbre de voitures / km) dx petit du point de vue macro x Suffisamment petit : pas devariation de densité à cette échelle Echelle macroscopique (km) Volume de moyennage Suffisamment grand : doit contenirun nombre suffisant de voitures Echelle microscopique (m) L grand du point de vue micro Homogénéisation x Echelle mésoscopique (50 m)

7. Vitesse v (x,y,z)= ? (x,y,z) mi (x,y,z) Echelle mésoscopique Masse volumique (kg/m3) Champ de vitesses • et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés) Le fluide comme un milieu continu Comment définir une densité r et une vitesse v variant continument / x,y,z ? Masse volumique r (x,y,z) = ? (kg/m3) Echelle macroscopique Echelle microscopique

8. grandeur volumique On définit : donc Masse de fluide dans V Quantité de mouvement de V Energie cinétique de V Energie interne de V grandeurs globales (représentent tout le volume V) grandeurs locales (définies en chaque point) Milieu continu : grandeurs volumiques G(t) grandeur extensive contenue dans V (c.a.d. G augmente avec le nombre de molécules) Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)

9. le fluide incompressible Une approximation bien utile : r = r0constant par rapport à t et x, y, z Conditions de validité : plus tard (amphi 4, poly chapitre 5) Masse de fluide dans V Masse volumique Eau 1000 kg/m3 Mercure13540 kg/m3 Air (20°C, 1 bar) 1.3 kg /m3 r (x,y,z,t) en kg/m3 A priori non uniforme dans l’espace Varie avec la température (même pour un liquide) : dilatabilité Varie avec la pression (peu pour un liquide) : compressibilité

10. dS dV Forces surfaciquesou « de contact » exercées sur chaque élément desurface dS Forcesvolumiquesexercées sur chaque élément devolumedV Forces exercées sur un fluide • pression • frottement visqueux (seulement si fluide en mouvement) • poids, • forces d’inertie (référentiel non-galiléen), • forces électriques, magnétiques …

11. Equilibre : Fp1 • vers le haut Liquide en équilibre mécanique n1 donc proportionnelle à S S1 h Fpest en fait la résultante de 2 forces Fp1etFp2 S2 n2 • Fp1et Fp2orthogonales à S1, S2 • Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de V P=mg On écrit donc : Une force Fp vers le hautcompense le poids Fp2 Forces de pression: approche intuitive S p1 et p2 pressions, positives n1 et n2 normales sortantes

12. dS n Fp= - pn dS Système subissant la pression Origine microscopique de la pression : gaz Pour un gaz, c’est simple… PRESSION = Echange de quantité de mouvement avec les molécules

13. Pression dans un gaz Réalisé (par votre serviteur…) avec un petit logiciel « gadget »

14. Origine microscopique de la pression : liquide Pour les liquides, pression aussi liée aux chocs … … mais plus compliqué Forces attractives et répulsives => liquides peu compressibles : distance intermoléculaire ~constante Attractive => un liquide a une « cohésion » => on peut « tirer dessus » sans le déchirer => pressions négatives => il peut s’accrocher à / s’étaler sur des solides (capillarité, mouillage)

15. Fp= dFp S Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S découpée en petits éléments de surface dS,de normale sortanten S Fp= dFp= -pn dS dS n dS n V A retenir n dS = 0, -pn dS Remarque importante : en vertu du théorème de la normale Sfermée S on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p : Fp= - (p-p0) n dS S Force de pression

16. -rdV (ae+ac) somme des poids élémentairesdmg =rdVg de toutes les particules fluides dV dV rdV g somme des forces d’inertie élémentaires -dm (ae+ac) =-rdV (ae+ac) de toutes les particules fluides dV Forces d’inertie : (en référentiel nongaliléen) (cf. rappel annexe poly) P = rgdV Fie+Fic = -r(ae+ac) dV V V Obtenues de la même façon. Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique) Forces électriques et magnétiques : (pour info : plasmas, magma, ferrofluides) Forces volumiques Poids : Attention ! a priori r(x,y,z) V

17. Fp Forces de pression Forces volumiques Fp= -p.n dS + -p.n dS P = rgdV P S S V rgdV = 0 A retenir !! V Hydrostatique : équation globale Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non) Equilibre entre : dS S V n Fp+ P = 0

18. La résultante des forces de pression équilibre le poids P Fp= Fp V dS n P -p.n dS S Variation spatiale de la pression • Elle est donc toujours dirigée vers le haut C’est la poussée d’Archimède ! • La pression est donc plus grande en profondeur Pour le montrer, on va réécrire l’équation de l’hydrostatique sous forme locale (= exprimée en tout point)

19. rgdV = 0, vrai quel que soit V -p.n dS = -grad p dV -grad p dV + Or (formule de Green): S V V Donc : -p.n dS + V S L’intégrande doit être nul, donc grad p = rg A retenir Hydrostatique : équation locale rgdV = 0 V

20. Hydrostatique : conséquences grad p = rg • Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z) dans un fluide au repos • Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air • Les surfaces isobaresp(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g(car grad p = vecteur perpendiculaireà p = cte) • La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g • (c’est le problème du plongeur) • La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g • (mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)

21. Fic = 0 Fie = -raedV -p.n dS + r(g- ae)dV = 0 V S V Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g - ae Hydrostatique en référentiel non galiléen Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R • une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal) • miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial) • expériences en gravité zéro (ae = g) • Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement • La force de Coriolis est nulle en statique car le fluide est immobile Fp+ P + Fie= 0

22. Sous forme globale : -p.n dS + r(g-ae) dV = 0 S V Sous forme locale : grad p = r (g -ae) Hydrostatique en référentiel non galiléen Les équations sont les mêmes en remplaçant g par g - ae Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à g - ae On peut simuler l’apesanteur en prenant ae = g

23. Fp= ? On remplace par du fluide Fluide immobile Fluide immobile Fp S S V V Fluide en équilibre Corps étranger (pas en équilibre) rfluideVg Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fpaussi. L’équilibre dans le deuxième cas montre queFp= -rfluideVg Force d’Archimède • Rappel : Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression. • On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide (solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...)

24. Fp= -rfluideVg S V Corps étranger Pcorps=rcorpsVg Le corps n’est pas en équilibre ! Pcorps+ Fp= (rcorps-rfluide)Vg ≠0 Force sur un corps dans un fluide statique • Deux cas possibles • rcorps > rfluide : il descend • rcorps < rfluide : il monte

25. Fp= -rfluideVimmergég On retiendra : Iceberg Bateau en alu V V Vimmergé Vimmergé Le corps est moins dense : rfluide>rcorps Le corps est pourtant plus dense : rcorps >rfluide Vimmergé< V mais V< Vimmergé Et pourtant, il flotte... On peut généraliser le raisonnement à un objet partiellement immergé. Dans ce cas l’équilibre est possible : Pcorps+ Fp= 0 => rcorpsV = rfluideVimmergé

26. Densité On définit la densité d’un corps par : d = rcorps/ reau si solide ou liquide d = rcorps / rair (20°C,1 atm) si gaz

27. Pression p : • unité SI : N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal) • 1 bar = 100 kPa • 1 torr = 1 mm Hg • 1 psi = 1 pound / square inch Rappel sur les unités Masse volumique r : unité SI : kg / m3 Pression atmosphérique : 1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi

28. S V dS n dFp= - pn dS dS M n A AM M Moment total en A deFp= somme des moments élémentaires en A des dFp soit : MA(Fp)= AM - pn dS MA(Fp)= AM - (p-p0) n dS S S S MA(Fp)= AM dFp Le second théorème de la normale permet de retrancher une constante à p : Moment des forces de pression Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.

29. 0 = CM - pn dS soit : Simmergée On montre que : Le centre de carène C est le centre de gravité du volume immergé Centre de poussée d’Archimède En particulier, on peut définir le centre de poussée C (ou centre de carène)d’un volume V immergé totalement ou non. C’est le point C tel queMC(Fp) = 0.

30. Exercices d’application de l’hydrostatique • Intégration de l’équation de l’hydrostatique • dans un liquide incompressible • dans l’atmosphère • dans en liquide en référentiel non galiléen • Mesure de la densité avec un tube en U