Notas sobre REDES COMPLEJAS

1. Notas sobre REDES COMPLEJAS Famaf, Noviembre 2, 2005

2. ● Motivación y elementos de redes ● Ejemplos de redes complejas ● Conceptos básicos ● Análisis de algunas Redes Reales

3. Introducción: Motivación (1) Expresiones Populares de Small Worlds • ¿A cuántos saludos estás tú de Bill Clinton? • Six degrees of separation • Los números de Kevin Bacon y de Paul Erdös • Los seis grados de M. Lewinski 1 PE-0 1 1 2 2 3

4. Introducción: Motivación (2) Motivación para Redes Complejas • Incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas características básicas de las redes complejas y generar principios de organización no triviales. • Sumado a la gran cantidad de información disponible en diferentes sistemas complejos por los avances en Computacion y obtencion de datos de sistemas reales.

5. Introducción: Elementos de Redes (1) • Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y sociales. • Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos. • Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i y j • Cada nodo tiene un número entero no-negativo de enlaces conectados (grado del nodo).

6. Introducción: Elementos de Redes (2) A complex network often is the skeleton of a complex system Satellite View Conmuter View NY City Area NY City Area

7. Pinochet Introducción: Elementos de Redes (1) The way in which nodes connect each other is relevant in many aspects…

8. Homogeneous Scale-free P(k) ~ k- Introducción: Elementos de Redes (1) More often networks in Nature arenon homogeneous In random nets most nodes are linked by about the same number of links (k), while in scale-freenets a few are extremely well connected.

9. Introducción: Elementos de Redes (1) A few numbers to pay attention Scale-free Homogeneous The “few well connected” Random Small word Is “small-world” if: • C >> Crand • L ~ Lrand • Average minimal length:L (shortest distance between any two nodes) • Clustering:C(k) (how many of your links are also mutually linked)

10. Introducción: Elementos de Redes (1) Example The highway system is homogeneous The consequence of deleting a node (city or airport) is dramatically different in these two cases. The airline network is Scale-Free Scale-free nets, in terms of resistance todamage are: Robust (to random) but Fragile (to targeted attack). 1. Introduction2. Complex Networks3. Catalogue 4. fMRI nets 5. Ever New? 6. Cortical Cultures 7. Conclusion

11. Redes ComplejasEjemplos Internet es una red compleja donde los nodos son computadores y routers y las aristas comunican computadores. También se puede definir la red a nivel de inter-dominio (o sistema autónomo), donde cada dominio, compuesto de cientos de routers y computadores, se representa por un único nodo, y un enlace conecta dos dominios si existe a lo menos una ruta que los conecte.

12. Internet

13. Ejemplos de Redes Complejas (2) • WWW es una red compleja (virtual) los nodos son las páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden establecer a nivel de dominios y de páginas. www.chialvo.net www.ucla.edu/~dchialvo/

14. Ejemplos de Redes Complejas (3) • Redes Celulareses una red compleja donde los nodos son substratos tales como ATP, ADP y H2O y los enlaces representan reacciones químicas (dirigidas) entre los substratos. • Interacciones entre proteínas donde los nodos son proteínas y los enlaces conectan proteínas que a través de experimentos se demuestra que interactúan.

15. Nodes: chemicals (substrates) Links: bio-chemical reactions Metabolic Network

16. P53 Nature 408 307 (2000) …“One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free network’.”

17. Ejemplos de Redes Complejas (4) • Redes Lingüísticaslas palabras son nodos y los enlaces conectan palabras consecutivas (no trivialmente) o casi consecutivas en un texto. Otra red lingüística mantiene los nodos como palabras pero las enlaces son palabras que son sinónimos, antonimos, etc.

18. Ejemplos de Redes Complejas (5) • Red Social:Es un conjunto de personas, cada una de ellas conocida para un subconjunto de las restantes. Se puede definir en diferentes contextos particulares, como por ejemplo, la Universidad de Cordoba, y también generales; por ejemplo, el mundo entero. • Una motivación para su estudio es conocer los patrones de interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones para ladifusión de información y contagio.

19. Red Social:

20. Sex-web Nodes: people (Females; Males) Links: sexual relationships 4781 Swedes; 18-74; 59% response rate. Liljeros et al. Nature 2001

21. Ejemplo de Redes Complejas (6) • Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper. El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al matemático Paul Erdös (número de Erdös). [ más detalle esta red]

22. Ejemplos de Redes Complejas (7) • Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo publicado. (no debería tener ciclos dirigidos) (Physical Review Letters 1975-94, ISI) • Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una enlace representa una participación conjunta de actores en una película.

23. Ejemplos de Redes Complejas (8) • Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo destino de la llamada.(duró el experimento un día - USA) • Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las especies. [se estudiaron 7 webs de comida] • Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces conectan dos personas que se han relacionado sexualmente. (Experimento conducido en Suecia [1996])

24. Food Web (red troficas) Nodes: trophic species Links: trophic interactions R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) R. Sole (cond-mat/0011195)

25. Ejemplos de Redes Complejas (9) • Redes Neuronalesen las cuales los nodos son neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones entre (grupos de) neuronas. [C elegans, Corteza Cerebral, Fmri] • Redes de Potenciadonde los nodos son generadores, transformadores y subestaciones, y los enlaces son líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ] Otras Redes • Circuitos Electrónicos • Evolución Viral

26. Mapa del sistema nervioso del C. Elegans

27. Degree k, degree distribution P(k) • Degree = total number of connections (edges) from a node • In- and out-degrees for directed graphs • Average degree <k> • Degree distribution P(k) = function expressing the probability that a node has degree k • Log distribution (log P(k) as function of log k) is also often used

28. Between1999 – 2001, researchers found out that most real world networks have the same internal structure: Scale-free networks ie P(k) ~ k-r r constant Why? What does it mean?

29. Scale-free complex networks

30. Nature July 27, 2000

31. Halting Viruses in Scale-Free Networks • Classical Epidemiology:epidemic threshold T exists, such that transmission probability < T implies disease will die out • Recent Results: • T = 0 in scale free networks (Pastor-Satorras & Vespigniani 01) • Network of sexual contacts is scale-free (Liljeros et al 01)  spread of AIDS will not be stopped by traditional methods • Solution: immunizing hubs (with degree > k0) restores positive T )

32. BA model Barabasi-Albert Scale-free model P(k) ~k-3 (1)GROWTH: At every timestep we add a new node with m edges (connected to the nodes already present in the system). (2)PREFERENTIAL ATTACHMENT :The probability Π that a new node will be connected to node i depends on the connectivity ki of that node A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)

33. Hierarchical structures • Problem: scale free model did not explain recent discovery of Dorogovtsev et al (in the deterministic scale-free case, 12/01) that C(k) ~ k -1 • A new „hierarchical model“ in recent papers by Ravascz, Barabasi et al (Science Sep 02, Phys Rev E in press) integrates modularity and scale-freedom

34. Hierarchical growth

35. Hierarchical vs. „classical“ scale-free models

36. Measurements for some networks

37. CONCEPTOS BÁSICOS • Small Worlds (Mundos Pequeños) [o el fenómeno de los seis grados de separación] En algunas redes (pudiendo tener millones de nodos), el camino más corto (CMC) entre dos nodos cualesquiera (en promedio), medido como la cantidad de aristas en el camino, es un número pequeño.(típicamente menor a 7)

38. Conceptos Básicos: Small Worlds (2) Esta propiedad es aplicable a muchas redes complejas, como redes de actores de cine, donde el promedio CMC es aprox. 3, o los substratos en una célula están separados por 3 reacciones. Ejemplo hecho a mano:

39. Conceptos Básicos: Small Worlds (3) • El psicólogo S. Milgram (Yale U.) [67] realizó un experimento que partía seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente instruídos para enviar una carta a única persona “objetivo” en Boston. Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación. Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo mejor posible a esta información. Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron finalmente a la persona objetivo.

40. Conceptos Básicos: Small Worlds (4) • Milgram publicó los resultados de su investigación (Psychology Today) diciendo que 60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta y que pasaron, en promedio, por seis conjuntos de manos hasta llegar a la persona correcta. (note que solo el 1/5 llego) • La conclusión de Milgram fue que las personas están mucho más cercanas entre si de lo que uno puede imaginar. La realidad es un poco diferente... • Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o losseis grados de Kevin Bacon y, posiblemente, otros nombres.

41. Conceptos Básicos: Small Worlds (5) • Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de información. • En todo caso, en el año 1993, se hizo una película Six Degrees of Separation (adaptación de una obra de teatro inspirada en el fenómeno). • A partir de finales de los años 90, el tema se ha desarrollado fuertemente con gran ayuda de las tecnologías de información y con nuevas teorías.

42. Conceptos Básicos: Small Worlds (6) • Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin Bacon” y es posible jugarlo on-line en una página de CS-D de Virginia U. (o los 4 grados de KB) ( http://oracleofbacon.org/) • El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base de datos de películas de Virginia U.

43. El oracle • The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3. • Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni • Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach • Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon • The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3. • Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta • Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli Wallach • Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon

44. Conceptos Básicos: Small Worlds (7) • Bajo ciertas condiciones puede ser importante para nosotros saber algunas cosas de los amigos de los amigos de nuestras amigas (os). Por ejemplo, al momento de relacionarse sexualmente con alguien. • Lo anterior podría ocurrir para otros efectos, como por ejemplo, para la búsqueda de un buen trabajo. • En definitiva, ya sea en la vida profesional o en la privada, las redes y sus complejas estructuras nos pueden ayudar a comprender mejor el mundo.

45. Highly clustered „small worlds“ Nature June 4, 1998 August 1999 http://smallworld.sociology.columbia.edu

46. Conceptos Básicos: Small Worlds (8) • Una ilustración de la topología de las redes dependiendo del nivel de aleatoriedad. • Redes regulares, redes small-worlds y redes aleatorias.

47. Clustering (Agrupamiento) • El clustering se refiere a la conectividad entre los nodos que conforman la red. • En un caso extremo tenemos un(a) clique (clan) en el cual cada par de nodos está conectado. • Denotemos por ki el grado del nodo i. Si el nodo i fuese parte de un clique entonces este clique tiene ki (ki -1)/2 enlaces. • Ei: número de enlaces que hay entre los kinodos.

48. Clustering (2) • Coeficiente de clustering del nodoi, Ci, se define por la fracción entre el número de enlaces en los ki nodos, Ei, y el máximo posible. Ci = 2Ei /ki(ki-1) • C(G) es el promedio de los Ci. • En un grafo aleatorio tenemos: Ei = p· ⇒ Ci = Ei / = p. • En la mayoría de las redes reales, C(G) es mucho mayor que en redes aleatorias del mismo tamaño.

49. Clustering (3) • Ejemplo: • n = 1000 ⇒ m=500.000 En redes reales, m = ßn; si ß = 3 ⇒ m = 3.000 Aplicamos la propiedad que: ∑ gr(k) = 2m y luego (para redes aleatorias): m = n <k>/2 ⇒ <k> = 2m/n. Además, para redes aleatorias: p = <k>/n. ⇒ p = 2m/n2 ⇒ p = 6.000/1.000000 = 0.006, un valor típico para redes aleatorias.

50. Distribución de Grado • Salvo redes regulares, no todos los nodos de una red tienen el mismo grado pudiendo, incluso, tener todos los grados diferentes. • P(k) : función de distribución para la probabilidad que un nodo seleccionado tenga exactamente k enlaces. • Para un grafo aleatorio, P(k) se distribuye Poisson con un pico en <k>, el grado promedio de la red.