PONTI E ISOLE

1. PONTI E ISOLE Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

2. PONTI E ISOLE Ci chiediamo se, date alcune isole, è possibile collegarle a piacimento con quanti ponti vogliamo. Per esempio, è possibile collegare: a) 4 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalla quarta ne escano 4? b) 4 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalla quarta ne escano 3? c) 5 isole, in modo che da 3 isole escano 2 ponti e dalle altre 2 ne escano 4 e 3 rispettivamente? d) 3 isole, in modo che da una escano 3 ponti, da un’altra 2 ponti e dalla terza solo 1? e) 3 isole, in modo che da ciascuna escano 3 ponti? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

3. A B C D a) Uno dei modi per collegare 4 isole A, B, C e D, in modo che da A, B e C escano 2 ponti, mentre da D ne escano 4. Ci sono altri modi? E negli altri casi? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

4. Come si vede, non tutti i collegamenti sono realizzabili nel modo voluto. C’è una regola? • Facciamo qualche osservazione. Nei casi realizzabili: • Qual è il numero totale n dei ponti? • Quanto vale la somma s dei numeri dei ponti uscenti da ogni isola? • C’è una relazione tra n ed s? Quale? Come la giustifichiamo? Effettuando la somma s, quante volte viene conteggiato ogni ponte? Ogni ponte viene conteggiato due volte, quindi deve essere n = s/2 e perciò s pari. Dunque: I collegamenti di un numero qualsiasi di isole con numeri qualsiasi di ponti sono realizzabili solo se la somma dei numeri dei ponti uscenti da ogni isola è pari. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

5. A B C D Il numero dei ponti uscenti da un’isola verrà chiamato grado dell’isola e un’isola verrà chiamata pari o dispari a seconda che il suo grado sia pari o dispari. 2 2 ponti in uscita, grado 2, A pari 3 ponti in uscita, grado 3, C dispari 2 2 ponti in uscita, grado 2, B pari 3 s = 2+2+3+5 = 12, pari 5 5 ponti in uscita, grado 5, B dispari Allora, per quanto abbiamo detto in precedenza, i collegamenti di un numero qualsiasi di isole con numeri qualsiasi di ponti sono realizzabili solo se la somma dei gradi di ogni isola è pari. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

6. 2 A B 2 3 C D 5 Domanda: le isole dispari possono essere in numero qualsiasi? No! O le isole sono tutte pari, oppure le isole dispari sono in numero pari, perché altrimenti la somma dei loro gradi sarebbe dispari! In particolare, se il numero di isole è dispari, esse non possono essere tutte dispari! Tra i casi proposti, sono dunque realizzabili solo a) e d). Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

7. Altra domanda: la condizione che la somma dei gradi sia pari è sufficiente per assicurare la realizzabilità? Ad esempio, è possibile collegare 4 isole, in modo che da dalle prime 3 escano 2 ponti e dall’ultima ne escano 8? Dunque: I collegamenti sono realizzabili solo se… …ogni grado è minore o uguale alla somma dei rimanenti Ci ricorda niente questa condizione? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

8. Possiamo rappresentare sinteticamente i collegamenti da realizzare con una sequenza in cui riportiamo i gradi di ogni isola: Ad esempio, i casi a), b), c), d) considerati in precedenza si possono rappresentare con le sequenze: a) (2, 2, 2, 4) b) (2, 2, 2, 3) c) (2, 2, 2, 3, 4) d) (3, 2, 1) e) (3, 3, 3) Sono realizzabili i collegamenti rappresentati dalle seguenti sequenze? (2, 3, 4, 2) (3, 3, 3, 5) (3, 2, 7) (1, 2, 2, 3, 5) (1, 2, 2, 4, 3) Scrivere due sequenze a piacere, diverse dalle precedenti, rappresentanti collegamenti realizzabili e…realizzarli. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

9. B A C D PASSEGGIATE Una volta realizzati i collegamenti tra le isole, ci chiediamo: E’ possibile fare una passeggiata che, partendo da un’isola e terminando in un’altra (non necessariamente la stessa), ci permetta di attraversare tutti i ponti solo una volta ? ? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

10. A Facciamo qualche osservazione: se un’isola A è dispari e se nella passeggiata ogni ponte viene attraversato una ed una sola volta una passeggiata iniziata in un’altra isola deve terminare necessariamente in A. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

11. A mentre una passeggiata iniziata in A deve terminare necessariamente in un’altra isola. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

12. A se un’isola A è invece pari e se nella passeggiata ogni ponte viene attraversato una ed una sola volta una passeggiata iniziata in A deve terminare necessariamente in A. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

13. A mentre se inizia fuori da A termina pure fuori da A Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

14. Ricapitolando: • se un’isola A è dispari, una passeggiata iniziata in A termina fuori da A, una iniziata fuori da A termina in A • se un’isola è pari, una passeggiata iniziata in A termina in A, una iniziata fuori da A termina fuori da A Ma allora, una passeggiata iniziata in un’isola A pari deve terminare in A ma anche in tutte le isole dispari, mentre una iniziata in un’isola A dispari deve terminare comunque in un’altra isola dispari Quindi, perché una passeggiata che attraversi tutti i ponti una sola volta sia possibile: • o le isole sono tutte pari, nel qual caso una passeggiata può iniziare in un’isola qualsiasi e deve terminare nella stessa isola • oppure le isole dispari sono solo 2, nel qual caso una passeggiata può iniziare solo in una delle due e finire nell’altra Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

15. A B C E’ possibile la passeggiata in questo caso? Sì, perché ci sono solo 2 isole dispari, A e C 3 E qual è una possibile passeggiata? 4 2 1 5 Numeriamo i ponti 6 Una possibile passeggiata può essere allora descritta così: A 1 2 3 4 5 6 Altre possibili passeggiate: A345612; A342156; C124563 … Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

16. B A C E D E’ possibile la passeggiata in questo caso? No, perché ci sono 4 isole dispari: A, B, D ed E Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

17. A B E C D E’ possibile la passeggiata in questo caso? Sì, perché le isole sono tutte pari E qual è una possibile passeggiata? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

18. I PONTI DI KÖNIGSBERG Nella città di Königsberg, in Prussia (oggi Kaliningrad, in Russia), il fiume Pregel si divide in due rami formando due isole, collegate fra di loro e al resto della città da 7 ponti. Veduta della città Ai tempi del matematico Euler fu posto il problema se fosse possibile con una passeggiata attraversare tutti i ponti sul Pregel una ed una sola volta. I sette ponti Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

19. Il problema fu risolto da Euler nel 1736. Possiamo dare anche noi la risposta che diede Euler, tenendo conto che le zone A, B, C e D possono essere considerate tutte isole, in quanto si può passare da una all’altra solo attraverso i ponti. La passeggiata è impossibile, perché le isole sono 4 e tutte dispari! Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

20. A B E C D GRAFI E’ possibile disegnare completamente con un tratto continuo questa figura partendo da uno dei punti segnati e finendo in un altro, non necessariamente lo stesso, senza percorrere due volte lo stesso tratto? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

21. A B E C D Come si può vedere, è possibile farlo solo partendo da C e finendo in D, o viceversa. Come mai ? I punti non sono altro che “isole” mentre le linee sono invece ponti. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

22. Un insieme di punti e di linee che li collegano è chiamato grafo. I punti di un grafo vengono chiamati nodi, mentre le linee vengono chiamate archi. In analogia con quanto abbiamo fatto per le isole: Chiamiamo grado di un nodo il numero di archi uscenti dal nodo E inoltre: Un nodo di un grafo viene chiamato pari o dispari se il numero di archi uscenti dal nodo è pari o dispari. Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

23. Considerando i nodi come isole e gli archi come ponti e tenendo conto che tracciare completamente con un tratto continuo un grafo partendo da un nodo e finendo in un altro equivale a fare una passeggiata che attraversa tutti i ponti una ed una sola volta, possiamo affermare che è possibile tracciare un grafo con tratto continuo sole se: • o i nodi sono tutti pari, nel qual caso il grafo può essere tracciato partendo da un nodo qualsiasi e terminando nello stesso nodo • oppure i nodi dispari sono solo 2, nel qual caso il grafo può essere tracciato partendo da uno dei due e finendo nell’altro Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

24. A B E C D In questo grafo A, B ed E sono nodi pari, mentre C e D sono nodi dispari Quindi è possibile tracciarlo con un tratto continuo solo partendo da C e terminando in D o viceversa, ma non partendo da A, B o E ! Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

25. E in questo caso ? Tutti i nodi sono pari, quindi può essere tracciato partendo da un nodo qualsiasi e terminando nello stesso E in questo caso ? Ci sono 4 nodi dispari, quindi non può essere tracciato con tratto continuo Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"

26. Quali dei seguenti grafi è possibile tracciare con un tratto continuo? Per quali poligoni regolari è possibile tracciare con un tratto continuo il grafo costituito da tutti i lati e tutte le diagonali? Francesco Cavalera Liceo Scientifico "A.Vallone"