Intégration numérique

1. Intégration numérique Présentement, nous avons deux façons d’évaluer l’aire d’une région comprise entre l’axe des x, la courbe y = f(x) et les droites x = a et x = b, soit par le calcul de la limite d’une somme de Riemann ou par l’application du théorème fondamental du calcul. Pour évaluer les intégrales définies des fonctions n’ayant pas de primitives, nous devons utiliser des méthodes numériques. Nous savons déjà évaluer approximativement une intégrale définie en utilisant les sommes d’aires de rectangles (inscrits ou circonscrits). Nous verrons deux autres méthodes qui donnent plus de précision sur la valeur approchée de l’intégrale définie en utilisant le même nombre fini de sous-intervalles, il s’agit de la méthode des trapèzes et de la méthode de Simpson. Nous verrons également le lien entre ces méthodes et celles utilisant les rectangles. ,

2. Dans la méthode des trapèzes, l’arc de courbe de f sur le sous-intervalle [xi-1, xi] est remplacé par un segment de droite reliant les points • Dans la méthode de Simpson, cet arc de courbe est remplacé par un arc de parabole passant par les points où miest le milieu du sous intervalle [xi-1, xi]. Méthode des trapèzes Méthode de Simpson y y f f x x xi-1xi xi-1mi xi Introduction

3. Calcul de l’aire exacte d’une fonction ayant une primitive • Pour illustrer nos différentes méthodes (des rectangles, des trapèzes et de Simpson), nous utiliserons la fonction pour laquelle nous connaissons la primitive afin de pouvoir comparer nos méthodes avec la valeur exacte de l’aire calculée à l’aide du théorème fondamental du calcul. • Calculons l’aire de la région délimitée par la courbe de f, l’axe des x et entre les droites x=1 et x=4. • La valeur exacte de cette aire est donnée par :

4. y … y y y y y 2 0 1 3 n-1 x x x x x x 2 0 3 1 n-1 y f (xi) f (xi-1) • La somme de gauche est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi : x Pour simplifier l’écriture, nous pouvons écrire : xi-1xi d’où Somme de gauche La méthode « Somme de gauche » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités gauches des sous-intervalles. • Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi-1).

5. Exemple de calcul d’une somme de gauche Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons l’intervalle [1,4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1. Nous avons alors x0=1, x1=2, x2=3 d’où La somme de gauche est alors donnée par :

6. La méthode « Somme de droite » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités droites des sous-intervalles. y … … y y y y 2 n 1 3 x x x x x x n 2 0 3 1 y f (xi) f (xi-1) x xi-1xi Somme de droite • Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi). • La somme de droite est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi :

7. Exemple de calcul d’une somme de droite Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons l’intervalle [1,4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1. Nous avons alors x1=2, x2=3, x3=4 d’où La somme de droite est alors donnée par :

8. y f (m1) f (m2) f (m3) f (mn) x m m m m n 2 3 1 y f (mi) x xi-1mixi Somme du milieu La méthode « Somme du milieu » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les milieuxmi des sous-intervalles. • Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(mi). • La somme du milieu est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi :

9. Exemple de calcul d’une somme du milieu Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1. Nous avons alors m1=1,5, m2=2,5 et m3=3,5 d’où La somme du milieu est alors donnée par :

10. y … … y y y y y 0 1 3 2 n x x x x x x n 2 0 3 1 Méthode des trapèzes La méthode « des trapèzes » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de trapèzes. Si Ai est l’aire du ie trapèze, la hauteur de chacun des trapèzes est donnée par x et les bases sont données par yi-1, et yi, nous aurons alors : Une approximation de l’aire totale par la somme des trapèzes sera donc :

11. Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Exemple de calcul d’une somme d’aires de trapèzes Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1. Comme nous avons déjà calculé les sommes de gauches et de droite, nous allons les utiliser pour calculer la somme des trapèzes. La somme des aires des trapèzes est alors donnée par : Regardons les erreurs commises sur les approximations  :

12. De quoi dépendent les erreurs? Sommes de gauche et de droite Pour les sommes de gauche et de droite, nous observons que l’erreur est d’autant plus grande si la pente de fest très prononcée, c’est-à-dire si la valeur de f’ est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants : Erreur liée à la somme de droite Erreur liée à la somme de gauche Erreur liée à la somme de droite Erreur liée à la somme de gauche valeur de f’ petite  faible erreur valeur de f’ grande  plus grande erreur

13. valeur de f’’ petite  faibleerreur Erreur liée à la somme du milieu Erreur liée à la somme du milieu Erreur liée à la somme des trapèzes Erreur liée à la somme des trapèzes valeur de f’’ grande  plus grande erreur De quoi dépendent les erreurs? Sommes du milieu et des trapèzes Pour les sommes du milieu et des trapèzes, nous observons que l’erreur est d’autant plus grande si la concavité de f est très prononcée, c’est-à-dire si la valeur de f’’est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants :

14. L’arc de courbe est remplacé par un arc de parabole passant par les points : f(mi) yi-1 yi x xi-1 mi xi y f(mi) yi yi-1 x -h 0 h Méthode de Simpson L’équation de cet arc de parabole est : ax2 + bx + c. Nous devons calculer l’aire sous cet arc de parabole. Pour simplifier la tâche, plaçons un système d’axes afin que l’axe des y soit au centre de la figure. Nous obtenons : xi-1 = -h, mi = 0 et xi = h En intégrant l’équation de l’arc de parabole sur l’intervalle [-h, h], nous obtenons l’aire sous cet arc de parabole soit : D’où vient cette formule?

15. y yi-1 f(mi) yi x -h 0 h Calcul de l’aire sous un arc de parabole Exprimons ce dernier résultat en fonction de Δx, en fonction de yi-1, yi, f(mi). Pour ce faire, évaluons les ordonnées D’où yi-1+ yi = 2ah2 + 2c et afin d’obtenir 2ah2 + 6c , il nous manque 4cqui correspond à 4 f(mi).

16. Formule de Simpson

17. Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4 Exemple de calcul à l’aide de la méthode de Simpson Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1. Comme nous avons déjà calculé les sommes de trapèzes et du milieu, nous allons les utiliser pour calculer la somme des aires de Simpson. La somme des aires de Simpson est alors donnée par :