Quelques problèmes d’optimisation en ingénierie 2. Méthodes sans gradient déterministes

1. Optimisation sans gradient et applications (M3) Laurent Dumas http://dumas.perso.math.cnrs.fr/M3.html • Quelques problèmes d’optimisation en ingénierie • 2. Méthodes sans gradient déterministes • 2.1 Méthodes directes (Nelder Mead, MDS/Torczon) • 2.2 Interpolation (modèles quadratiques et régions de confiance) • 2.3 Surfaces de réponse (RBF, krigeage) • 3. Méthodes sans gradient stochastiques • 3.1 Recuit simulés • 3.2 Algorithmes génétiques, essaim de particules, stratégies d’évolution • 3.3 Résultats de convergence • 3.4 Extensions (adaptativité, gestion des contraintes , version multi-objectif) • 4. Mise en œuvre sur des cas réels (projet en binôme) • (réseaux de Bragg, parc de panneaux solaires) Cours M3, optimisation sans gradient et applications

2. 1.1 Problème 1: problème du voyageur de commerce • Objectif: déterminer la distance minimale à parcourir pour visiter toutes les villes une et une seule fois. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

3. 1.2 Problème 2: configuration d’une molécule d’énergie minimale N=4 atomes N=7 atomes • Objectif: déterminer la position de N atomes minimisant le potentiel de Lennard Jones de la molécule associée: V( r )=1/r12 – 2/r 6 pour 2 atomes à une distance r. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

4. 1.3 Problème 3: décodage d’une image floue et bruitée Code à 13 chiffres • Objectif: à partir d’une image floue et bruitée d’un code barre, être capable d’identifier ce code barre Cours M3, optimisation sans gradient et applications

5. Lignes de courant et tourbillons longitudinaux à l’arrière d’un véhicule expérimental type 206 (DRIA) …dont 65% à 70 % dépend de la forme extérieure… …dont 90 % de la forme arrière! 1.4 Problème 4: réduction de consommation d’un véhicule A 120 km/h, facteurs de la consommation d’un véhicule: • Objectif: obtenir la forme arrière optimale d’une automobile par simulation numérique. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

6. 1.4. Quelques exemples de Cx Ford T: 0.8 (année de sortie: 1908) Hummer H2: 0.57 (2003) Citroën SM: 0.33 (1970) Peugeot 407: 0.29 (2004) et… Tatra T77: 0.212 (1935) Cours M3, optimisation sans gradient et applications

7. 7 1.5 Principales caractéristiques de ces 4 problèmes Cours M3, optimisation sans gradient et applications

8. 8 1.6 Autres exemples d’optimisation en ingénierie • Optimisation de formes de réseaux de Bragg (Alcatel) • Optimisation de champs de panneaux solaires (GDF) • Identification de paramètres de modèles physiques ou biologiques (multiples exemples!) Cours M3, optimisation sans gradient et applications

9. 9 Problème 1: optimisation de forme d’un réseau de Bragg • Objectif: étant donné la forme d’un filtre en longueur d’onde, déterminer les caractéristiques d’une fibre optique (réseau de Bragg) permettant d’obtenir ce filtre. • Problème posé par: Alcatel. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

10. 10 Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • Objectif: étant donné une zone d’implantation de panneaux solaires, déterminer le meilleur positionnement des structures pour maximiser l’espérance de production sur la durée de vie du projet. • Problème posé par: GDF/Suez. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

11. Mode non guidé Mode guidé Indice de réfraction 4-5 10-3 Rayon (m) 4.5 11 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Fibre monomode standard de télécommunication à saut d’indice: • L’indice du cœur est augmenté grâce à un dopant: le germanium Cours M3, optimisation sans gradient et applications

12. L = 0.5 mm 12 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Dans un réseau de Bragg (ou FBG), une modulation périodique et permanente de l’indice de réfraction de la silice dopée au germanium est effectuée sous irradiation UV • Possibilité de travailler la forme de la modulation d’indice suivant la fonction de filtrage recherchée (mono ou multi canal) (spectre de réflectivité) Cours M3, optimisation sans gradient et applications

13. 13 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • L’indice de réfraction général d’une réseau de Bragg est donné à l’aide d’une fonction quasi-sinusoïdale dans la direction longitudinale z: • n(z)=n0+dn(z) cos(2pz/L0) z [0, L] • avec les notations suivantes: • n0 : indice de réfraction initial du cœur • L0:période du réseau (ou lB= 2n0L0: longueur d’onde associée) • dn(z):amplitude de l’indice à variation lente (appelée apodisation) • Le problème d’optimisation, de type inverse, consiste donc à trouver la bonne fonction d’apodisation réalisant les caractéristiques de filtrage voulues. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

14. 14 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Certaines hypothèses sont faites pour calculer le spectre de réflectivité (fibre sans perte et monomode dans la bande spectrale, faible différence d’indice cœur-gaine). • Pour toute longueur d’onde  dans la bande de transmission, les enveloppes bF(z,) et bB(z, ) des deux ondes, incidente et réfléchie, sont alors solution d’un système couplée d’EDO linéaires du premier ordre à coefficients complexes: • avec , et Cours M3, optimisation sans gradient et applications

15. 15 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Le spectre de réflectivité du réseau de Bragg est alors donné par la fonction l R(l) =| r(l) |2 avec r(l) = bB(0,l) / bF(0,l) • Pour le calcul du spectre de réflectivité d’un réseau de Bragg quelconque, en notant r(z,l)= bB(z,l) / bF(z,l), on observe que r(., l) satisfait une EDO de Ricatti pouvant être intégrée numériquement de manière rétrograde. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

16. 16 Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Les figures ci dessous correspondent au spectre de différents FBG (L=10cm, n0=1.45, lB=1550nm) pour plusieurs fonctions d’apodisation: Cours M3, optimisation sans gradient et applications

17. 17 Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • Afin d’optimiser la production d’énergie d’un parc de panneaux solaires, il faut associer aux équations astronomiques permettant de connaître la position instantanée du soleil et son irradiation, des lois de probabilités représentatives de la nébulosité, des effets hygrométriques et aérosol, des températures, des vents au sol. • Les effets d’ombrages liés à l’horizon où à la position des structures sont aussi à prendre en compte. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

18. 18 Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • De plus, par contraintes légales, un parc solaire au sol: • (i) ne peut dépasser la puissance maximale cumulée de 12 MW • (ii) deux parcs ne peuvent être distant de moins de 500 mètres. • Seules ces contraintes géométriques vont être considérées ici. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

19. 19 Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • En termes mathématiques, cela donne: • Soient deux réels ,S>0 et D>0, K un compact de X et n>0 un entier. On considère une réunion disjointe P={P1 , P2,…, Pn } de sous ensembles de K telle que • Aire(Pi )<S pour tout i dans {1,…,n} • d(Pi , Pj )>D pour tout couple de points distincts (i,j) dans {1,…,n} où Aire(Pi ) désigne l’aire de Pi et d(Pi , Pij) la distance entre Pi et Pj. L’objectif est de trouver un couple (n,P) tel que la somme des Aire(Pi) soit maximale. • En pratique, K est quelconque: non convexe, non connexe, etc… Cours M3, optimisation sans gradient et applications

20. 20 Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • Il peut être démontré que le problème est bien posé mathématiquement, à savoir qu’il possède au moins une solution. • Pour simplifier la recherche, on fera ici des hypothèses simplificatrices sur la forme de K (rectangulaire) et sur celle des sous domaines Pi (disques triangles ou rectangles). Cours M3, optimisation sans gradient et applications

21. 21 Objectifs du projet 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg • Calcul de la fonction coût (erreur entre spectre simulé et spectre idéal) pour une classe de fonctions particulières (affines ou splines). • Optimisation avec deux types de méthodes: • une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou MDS) • une méthode de type stochastique (AG, stratégie d’évolution ou PSO) • Gestion de contraintes. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

22. 22 Objectifs du projet 2: optimisation de parcs de panneaux solaires • Calcul de la fonction coût (aire totale) pour une classe de sous-domaines particuliers (disques, triangles, rectangles). • Optimisation pour un nombre fixé de sous-domaines avec deux types de méthodes: • une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou MDS) • une méthode de type stochastique (AG, stratégie d’évolution ou PSO) • Gestion des contraintes. Cours M3, optimisation sans gradient et applications

23. 23 Déroulement pratique • Deux séances de travail (obligatoires) sont organisées les mardi 4 et 11 décembre avec quelques compléments de cours (sur la gestion des contraintes en particulier). • Date de la soutenance: mardi 18 décembre. • Chaque soutenance (en binôme) consistera en la rédaction et la présentation de transparents pendant 15 minutes, accompagnés d’un code Matlab/Scilab d’illustration. • Les résultats obtenus devront être clairement illustrés par des exemples graphiques et des animations. Cours M3, optimisation sans gradient et applications