Pertemuan II

1. Pertemuan II Determinan Matriks

2. Pengertian Determinan • Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. • Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau

3. Menentukan nilai determinan • Matriks berordo 2 x 2 • Matriks berordo 3 x 3 • Matriks berordo n x n ● Dengan matriks kofaktor ● Dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

4. Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2 • Jika A = , maka det(A) = = a.d – b.c • Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks A = Jawab : det (A) = 5 . 3 - (-4). 2 = 23

5. Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus • Jika B = Digunakan aturan Sarrus: a b c a b |A| = d e f d e g h i g h (-) (-) (-) (+) (+) (+) = a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

6. Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks B =

7. Sifat-sifat Determinan • Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0. Contoh : A = , maka det(A) = 0 B = , maka det(B) = 0

8. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (AT). Contoh : A = , maka det(A) = 26 AT = , maka det(AT) = 26

9. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A). Contoh : A = , maka det(A) = 26 X = = = 78 det(X)=3.det(A)=3.26=78

10. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A). Contoh : A = , det(A)=72 Matriks B didapat dengan mempertukarkan baris ke 1 dan baris ke 3, sehingga B = ,det(B)= -72

11. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain. Contoh : A = , det(A) = 0, karena kolom ke 3, merupakan hasil dari kolom ke 1, dikalikan dengan skalar 2.

12. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B). Contoh : A = ,det(A) =-137 B = ,det(B) =-119 A.B = ,det(A.B)=16303=-137.-19=det(A).det(B)

13. Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor • Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan Mij. • Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu cij = (-1)i+j Mij

14. Contoh : A = MA = CA =

15. Terdapat 2 cara, yaitu : • Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = ai1ci1 + ai2ci2 + … + aincin • Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j : det(A) = a1jc1j + a2jc2j + … + anjcnj

16. Menentukan determinan matriks n x n dgn Transformasi Baris Elementer (TBE) a) Menukarkan dua baris Notasi = bij Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j b) Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0 Notasi = k.bi Arti = mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

17. c)Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0) Notasi= bij(k) Arti = bi + k bj (Perubahan terjadi pada bi) Menentukan Determinan Matriks dengan TBE Langkah : • Dengan menggunakan TBE, ubahlah matriks yang ada, menjadi Matriks Segitiga Atas/Bawah • Harga determinannya adalah perkalian antar elemen–elemen pada diagonal utamanya

18. Latihan Soal • Untuk NIM GASAL Tentukan nilai dari determinan berikut ini: a). b). • Untuk NIM GENAP Tentukan nilai dari determinan berikut ini: a). b).