Dérivée des fonctions trigonométriques

1. Dérivée des fonctions trigonométriques Larry Gingras, professeur Adapté par Jacques Paradis, professeur

2. Plan de la rencontre • Angles – Rappel • Définition des fonctions sinus et cosinus • Identités trigonométriques • Autres fonctions trigonométriques et trigonométrie du triangle rectangle • Dérivée des fonctions sinus et cosinus • Dérivée des fns tangente et cotangente • Dérivé des fns sécanteet cosécante • Applications aux taux liés

3. Angles (rappel) • Angle se calcule en degré ou en radian : • 1 radian = longueur du rayon • 2 radians = 360° et  radians = 180° • Exemples : • /6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ? • Signe d’un angle : • Angle positif : sens anti-horaire • Angle négatif : sens horaire • Remarque : les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés en radians. - 

4. P (0 , 1) (1 , 0) Fonctions sinus et cosinus • Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien: • Sinus = sin = ordonnée du point P : y • Cosinus = cos = abscisse du point P : x • Exemples : • sin0= 0 • cos0 = 1 • sin(/2) = 1 • cos(/2) = 0 • sin(/6) = ? • cos((/3) = ?

5. (/2) –  (b , a) (a , b)  Identités trigonométriques • cos = sin(/2 - • sin = cos(/2 - • )

6. Autres fonctions trigonométriques • Tangente, cotangente, sécante et cosécante • Trigonométrie du triangle rectangle : c a  b

7. hyp opp  adj Moyen mnémotechnique • S inus • O pposé • H ypothénuse • C osinus • A djacent • H ypothénuse • T angente • O pposé • A djacent SOH CAH TOA

8. Moyen mnémotechnique • Sinus • Cosécante • cosec x = 1/sin x Si Co

9. Limites (1de 2)

10. Limites (2de 2)

11. -  Dérivée de la fonction sinus

12. Démonstration

13. -/2 /2 Dérivée de la fonction cosinus

14. (/2) – x (b , a) (a , b) x Démonstration

15. -  -/2 /2 Sinus et cosinus On peut voir que la variation de la pente de la tangente de la fonction sinus correspond bien à la fonction cosinus

16. -/2 /2 -  Dérivée de tan x et cot x

17. Démonstration Rem: La démonstration pour cotx se fait de façon similaire

18. -/2 /2 -  Dérivée de secx et csc x

19. Démonstration Rem: La démonstration pour cscx se fait de façon similaire

20. Résumé

21. Exemples : Trouver la dérivée de : • 1) • 2) • 3)

22. Exercices • Calculer f’(x) si • a) f(x) = sinx3 • b) f(x) = sin3x • c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx • d) • e) • Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.

23. 5 m  Application aux taux liés (exemple) • Un homme est assis au bout d’un quai situé 5 m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2 m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et la surface de l’eau quand la longueur du câble entre l’homme et la chaloupe est de 10 m? z

24.  6 m x Application aux taux liés (exercice) • Une échelle de 6 m de longueur est appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de variation par rapport au temps t de l’angle  formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

25. Devoir • Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g), 2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a. • Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6. • Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b. • Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b. • Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque: 18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i). Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s 18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.

26. Exemple 1

27. Exemple 2

28. Exemple 3