El modelo de la gota líquida

1. El modelo de la gota líquida 1.Una detallada teoría de la ligadura nuclear, basada en técnicas matemáticas y conceptos físicos altamente sofisticadas, ha sido desarrollada por Brueckner y colaboradores (1954-1961). 2. Existe un modelo más crudo en el cual se ignoran los aspectos más finos de las fuerzas nucleares y se enfatiza la fuerte atracción internuclear. Fue propuesto por Weizsäcker (1935) sobre la base de una analogía, sugerida por Bohr, de la materia nuclear con una gota de líquido

2. El modelo de la gota líquida Bave = B/A En unagran parte de la TablaPeriódica, la energía de ligadurapornucleónesaproximadamenteconstante. La densidad de masa de la materia nuclear es aproximadamente constante en la mayoría de la tabla periódica. Estas dos propiedades de la materia nuclear son muy similares a las propiedadesde una gota de líquido, especificamente la constante energía de ligadura por molécula, aparte del efecto de tensión superficial, y la densidad constante de los líquidos incomprensibles.

3. El modelo de la gota líquida Las suposiciones esenciales del modelo de gota de líquido: 1. Un núcleo esférico consistente de materia incomprensible, tal que R ~ A1/3. 2. La fuerza nuclear es idéntica para cada nucleón y en particular, no depende de si éste es un protón o un neutrón. Vpn = Vpp= Vnn(V denota el potencial nuclear) 3. La fuerza nuclear satura.

4. El modelo de la gota líquida La energía de ligadura del núcleo. Definición: (9) El modelo de gota de líquido ̶ Fórmula de Weizsäcker (10) Carl Friedrich von Weizsäcker, 1993 Un físico alemán (1912-2007).

5. El modelo de la gota líquida (10) Es el “término de volumen ” que da cuenta de la energía de ligadura de todos los nucleones como si cada uno de ellos estuviera enteramente rodeado por otros nucleones. Es el “término de superficie” el cual corrige el término de volumen de energía por el hecho de que no todos los nucleones están rodeados por otros nucleones sino que se encuentran en la superficie o cerca de ella. Los nucleones en la región de la superficie no son atraídos tanto como lo son los que se encuentran en el interior del un núcleo. Un término proporcional al número de nucleones en la región de la superficie debe ser restado al término de volumen.

6. El modelo de la gota líquida (10) Es el “término de Coulomb” el cual da la contribución a la energía del núcleo debido a la energía potencial de la carga nuclear. Suponiendo una esfera cargada de radio r, como se muestra en la figura (a). El trabajo adicional requerido para adicionar una capa de grosor dr a la esfera, puede ser calculado asumiendo la carga (4/3)πr3ρ de la esfera original esta concentrado en el centro del caparazón [ver figura (b)]. La energía potencial eléctrica del núcleo es por lo tanto donde y

7. El modelo de la gota líquida (10) Los tres términos que fueron discutidos previamente tienen un sentido clásico. Los siguientes términos, que van a ser discutidos, son mecano cuánticos. (1) El término de asimetría. (2) El término deparing. Estos incluyen (3) El término de corrección de efecto de capa. Es el “término de asimetría” el cual da cuenta del hecho de que si todos los otros factores fueran iguales, los núcleos más fuertemente ligados, con un dado A, es el más cercano a tener Z = N.

8. El modelo de la gota líquida (10) El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico. Diferentes sistemas de energía debido a configuraciones asimétricas.

9. El modelo de la gota líquida 1. Si Z=N, entonces ambos pozos están llenos al mismo nivel (el nivel de Fermi). 2. Si nos movemos un paso hacia arriba afuera de la situación, es decir, en la dirección de N > Z (o Z > N), entonces un protón debe ser cambiado a un neutrón. Todas las otras cosas estando iguales (incluyendo igual masa de protón y neutrón, este estado tiene energía ΔEmayor que el estado inicial, donde ΔEes el nivel de espaciado al nivel Fermi. 3. Un segundo paso en la misma dirección causa que el exceso sea 2ΔE. 4. Un siguiente paso significa mover un protón, hacia arriba, tres rangos mientras cambia de protón a neutrón y el exceso se hace 5ΔE.

10. El modelo de la gota líquida Efecto acumulativo 4. Por lo tanto, para cambiar de N – Z = 0 a N > Z, con A = N + Z permaneciendo constante,requiere una energía de ~ (N – Z)2ΔE/8. 5. Esto es independiente si es tanto N o Z el cual se vuelve más largo y significa que, si todas las otras cosas son iguales, nucleidos con Z = N tienen menos energía y están, por lo tanto, más fuertemente ligados que núcleos con Z ≠ N. 6. Los niveles de energía de una partícula en un pozo de potencial tienen un espaciado inversamente proporcional al volumen del pozo , así ΔE ~ A-1. (11) Este es el término de asimetría.

11. El modelo de la gota líquida Es el “término de pairing” el cual da cuenta del hecho de que un par de nucleones iguales esta más fuertemente ligado que un par de nucleones distintos. (a).Z impar, N impar (ii) →– δ (b).Z par, N par (pp) →+ δ (10) 1. Para un nucleído impar A (Z par, N impar o Z impar, N par) →δ = 0. 2. Para un A par hay dos clases; (12)

12. El modelo de la gota líquida (10) Es el término que da cuenta del efecto de capa nuclear cuando Z o N es algún número mágico. Este término es mucho menos importante que otros. Por lo tanto, no esta incluido en la mayoría de las aplicaciones. Una serie favorable de valores para los coeficientes: aV= 15.560 MeV aS = 17.230MeV aC= 0.6970 MeV aA = 23.385 MeV aP = 12.000 MeV (13)

13. El modelo de la gota líquida (10)

14. El modelo de la gota líquida

15. El modelo de la gota líquida 4-4 Parábolas de masa y línea de estabilidad Si hacemos una reorganización de la fórmula de Weizsäcker, se puede escribir así: (14) Para un número A de masa fijo, esta es la ecuación de parábola con respecto a la variable Z. Debemos diferenciar la ecuación (14) y encontrar la raiz (Z0, usualmente no es un número entero) de la siguente ecuación (15).Z0 es el número nuclear óptimo de protones para un número A de masa fijo. El sistema nuclear con un número de masa A especificado, es el más estable con número de protón Z0. (15) (16)

16. El modelo de la gota líquida (16) De la ecuación (15) los sistemas nucleares más estables con varios números de masa A están determinados por el valor de Z0. Usando la relación A = Z0 + N somos capaces de trazar líneas de estabilidad en el N-Z plot. Esto sigue exactamente la forma empírica de la línea de estabilidad en la figura. De la expresión (16), podemos reconocer que la desviación de la línea de estabilidad desde N = Z o Z = A/2 es causada por la competición entre la energía de Coulomb, que favorece Z0 < A/2, y la energía de asimetría que favorece Z0 = A/2.

17. El modelo de la gota líquida Para isobarasA-impar, δ = 0, y la ecuación (14) da una sola parábola, la cual es mostrada en la figura (a) para un caso típico. Veremos más tarde que M(A,Z) > M(A, Z+1) la desintegración beta (electrón) tiene lugar desde Z a Z+1 M(A,Z) > M(A, Z-1) La captura electrónica y tal vez la desintegración positrónica tiene lugar desde Z a Z - 1 (15) Es claro, de la figura (a) que para nucleídos A-impar puede haber solo un isóbaro estable. (14)

18. El modelo de la gota líquida Para isobaras A-par, dos parábolas son generadas por la ecuación (14), difiriendo en masa por2δ. Un caso típico esta dado en la figura (b). Dependiendo de la curvatura de las parábolas y de la separación 2δ, pueden haber varios isóbaros estables par-par. Figura (b) muestra que para ciertos nucleidos impar-impar ambas condiciones (15) se unen por lo que la desintegración electrónica y positrónica para los nucleídos idénticos es posible y de hecho ocurren. (14)

19. El modelo de la gota líquida Tres tipos de desintegración β-.

20. El modelo de la gota líquida 4-5 Las implicaciones de la fórmula semi-empírica de masa. 1. El término de volumen de bindingaVAen la fórmula de masa significa que cada nucleón interactúa solo con sus vecinos más cercanos y que la densidad constante es equivalente a que la separación entre los vecinos más cercanos no cambia con A. Todo esto significa saturación de la fuerza nuclear y que ésta es de corto rango. 2. La densidad nuclear de nucleones es aproximadamente 1 cada 7 fermis cúbicos, tal que la separación promedio es de 1.9 fm. Por lo tanto, el rango debe ser 1-2 fm. 1 fermi = 10-15 m

21. El modelo de la gota líquida El modelo de gas de Fermi es una aplicación mecano cuántica, cuantitativa, del modelo de potencial medio discutido previamente. Le permite a uno dar cuenta semi-cuantitativamente de varios términos en la fórmula de Bethe-Weizsäker. En este modelo, los nucleídos están considerados como si estuvieran compuestos por dos gases de fermiones, un gas de neutrones y un gas de protones . Las partículas no interactúan, pero están confinadas a una esfera que posee las dimensiones del núcleo. Las interacciones aparecen implícitamente por la suposición de que el nucleón esta confinado en la esfera. El modelo de gota de líquido esta basado en la saturación de fuerzas nucleares y uno relaciona la energía del sistema con sus propiedades geométricas. El modelo de Fermi está basado en los efectos de estadística cuántica en la energía de los fermiones confinados. El modelo de Fermi provee un medio para calcular las constantes aV, aS y aA en la fórmula de Bethe-Weizsäker, directamente de la densidad ρ de la materia nuclear. El éxito semi-cuantitativo justifica adicionalmente a esta fórmula.

22. El modelo de gas de Fermi. El modelo de gas de Fermi esta basado en el hecho de que una partícula de spin ½, confinada en un volumen V, solo puede ocupar un número discreto de estados. En el intervalo de momento d3p, el número de estados es con s= 1/2. Este número va a ser derivado luego para una caja cúbica, pero es, en efecto, generalmente verdadero. Corresponde a una densidad en el espacio de fases de 2 estados por 2πħ3 de volumen en el espacio de fases. Ahora ponemos N partículas en el volumen. En el estado fundamental , las partículas llenan los niveles más bajos de “single –particle”, es decir, aquellos hasta un momento máximo llamado “momento de Fermi” ,pF, correspondiente a una energía máxima,

23. El modelo de gas de Fermi. El momento de Fermi esta determinado por Esto determina la energía de Fermi: donde n es el número de partículas por unidad de volumen (n = N/V). La energía (cinética) total ε del sistema es: En un sistema con A = Z + N nucleones, la densidad de neutrones y protones es respectivamente n0(N/A) y n0(Z/A), donde n0 ≈ 0,15 fm-3 es la densidad de nucleones. La energía cinética total es entonces:

24. El modelo de gas de Fermi. En la aproximación Z ~N ~ A/2, este valor de la densidad nuclear corresponde a una energía Fermi para protones y neutrones de : que corresponde a un momento y a un número onda:

25. El modelo de gas de Fermi. Energías de volumen y superficie De hecho, el número de estados (1) está ligeramente sobreestimado ya que corresponde al límite continuo V ∞ en donde la diferencia de energía entre niveles se anula. Para convencernos, examinamos la estimación al número de niveles en la caja cúbica de dimensiones lineales a. Las funciones de onda y niveles de energía son: con ni > 0, y uno cuenta el número de estados tal que E ≤ E0, E0 fijo, que corresponde al volumen de un octavo de esfera en el espacio (n1,n2,n3).

26. El modelo de gas de Fermi. En esta cuenta, no se debería tener en cuenta los tres planos n1=0, n2=0 y n3=0 para los cuales la función de onda es cero, lo que no corresponde a una situación física. Cuando el número de estados bajo consideración es muy grande, como en mecánica estadística, esta corrección es insignificante. Sin embargo, acá no es insignificante. El exceso correspondiente en (2) puede ser calculado de una manera análoga a (1), se obtiene Donde S es el área externa del volumen (S= 6a2 para un cubo, S= 4πr02 para una esfera). La expresión (2), luego de la corrección de este efecto, es

27. El modelo de gas de Fermi. La energía correspondiente es El primer término es energía de volumen, el segundo término es una corrección de superficie, o un término de tensión superficial. Para el primer orden en S/V la energía cinética por partícula es En la aproximación Z ~N ~ A/2, la energía cinética es con

28. El modelo de gas de Fermi. El segundo término es el coeficiente de superficie en la fórmula de Bethe-Weizsäcker, en buena concordancia con el valor experimental. La energía media por partícula es la suma aV = a0 +U de a0 y de una energía potencial U, la que puede ser determinada experimentalmente por dispersión de neutrones por núcleos . Experimentos dan U~ -40MeV, esto es En razonable concordancia el valor experimental.

29. El modelo de gas de Fermi. La energía de asimetría. Consideramos ahora el sistema de dos gases de Fermi, con N neutrones y Z protones adentro de una misma esfera de radio R. La energía total de los dos gases (5) es Donde despreciamos la energía superficial. Expandiendo esta expresión en potencias del exceso de neutrones Δ = N – Z, obtenemos, para el primer orden Δ/A, Esta es precisamente la forma de la energía de asimetría en la fórmula de Bethe-Weizsäker. Sin embargo, el valor numérico del coeficiente aa~12 MeV es la mitad del valor empírico. Este defecto viene de hecho de que el modelo de Fermi es muy simple y no contiene suficientes detalles sobre las interacciones nucleares.