Gennaio 2008

1. Gennaio 2008

3. Introduzione

4. Terminologia di base Il sistema di servizio Il processo degli arrivi Il processo delle partenze La coda Il servente La distribuzione degli arrivi La distribuzione del tempo di servizio Esponenziale Poisson

5. Una rete di code è l’interconnessione di n sistemi di servizio ciascuno costituito da uno o più serventi e da una coda Arrivi dall’esterno

6. Ogni nodo ha un tasso di arrivi dall’esterno (che in genere può essere controllato o deciso) ed in più riceve i clienti che escono dal servizio degli altri nodi. • Il numero di clienti che effettivamente giungono al nodo i in un intervallo di tempo dipende quindi dalla distribuzione del tempo di servizio presso gli altri nodi. • La rete si dice aperta se i clienti hanno una probabilità non nulla di uscire definitivamente dal sistema, viceversa si dice chiusa.

7. Le reti di code aperte che hanno arrivi dall'esterno e tempi di servizio poissoniani si dicono reti di Jackson. Teorema di Burke: In una coda con arrivi e tempi di servizio poissoniani il processo delle partenze è poissoniano con lo stesso parametro di quello degli arrivi Gli arrivi effettivi a ciascun nodo sono poissoniani e si possono determinare in forma chiusa tutte le grandezze di interesse per la rete di code in condizioni stazionarie Idea: ricondurre una rete generica ad una rete di Jackson per avere una misura del comportamento in condizioni stazionarie

8. Ipotesi Poissoniana

9. In tutti i casi in cui una rete di code NON è una rete di Jackson , per un generico nodo della rete di code non è possibile determinare la distribuzione stazionaria è la distribuzione approssimata sul nodo è un flusso poissoniano a tasso costante pari al tasso medio del flusso L’ipotesi poissoniana afferma che

10. L’ipotesi poissoniana non è mai “letteralmente” vera ma vale solo se si prende una sorta di limite termodinamico con un gran numero di nodi • La PH può essere provata per delle classi di distribuzioni dei tempi di servizio che hanno dei momenti esponenziali finiti. In pratica tali distribuzioni devono andare a zero almeno in modo esponenziale • Se le distribuzioni dei tempi di servizio non godono di tale proprietà, allora la PH può essere provata solo per particolari configurazioni iniziali della rete La rete per rispettare la PH deve perdere la sincronizzazione del dato iniziale

11. Possiamo rivedere il problema dell’esistenza di una distribuzione stazionaria per una rete di code pensandola come un processo di Markov non lineare Associamo una mappa P affine coincidente con la matrice di transizione delle probabilità Punto fisso Processo lineare a stati finiti: catene di Markov La PH afferma che il sistema dinamico ha una famiglia ad una parametro di punti fissi dipendente da N Associamo un sistema dinamico Processo non lineare tempo continuo

12. Tempo medio di servizio 1 sec Alta probabilità che il tempo di servizio > 1 min Dopo un certo intervallo quasi tutti i clienti saranno in attesa di essere serviti dai nodi rossi Alta probabilità che il tempo di servizio > 1 h LA RETE PULSA RIMANENDO BLOCCATA IN MANIERA CASUALE E NON PREVEDIBILE SU ALCUNI NODI Sbloccata la congestione sui nodi rossi ci sarà un nuovo stallo su quelli verdi

13. Perché si può presentare una situazione come quella prima descritta? Intuitivamente il problema risiede nella distribuzione dei tempi di servizio. In particolare se le distribuzioni hanno code “pesanti” all’infinito c’è una probabilità non trascurabile che il tempo di servizio assuma valori molto grandi creando congestione Per distribuzioni del tempo di servizio del tipo La PH è in generale violata

14. In verde si presenta l’andamento di una distribuzione di tipo esponenziale, in rosso l’andamento di una distribuzione critica per il tempo di servizio

15. Se siamo di nuovo interessati a vedere il problema dal punto di vista della stabilità del sistema dinamico, la violazione della PH comporta che nel sistema prima descritto non esistano le seguenti quantità La funzione di tasso di ingresso (= funzione di tasso di uscita) non ha limite Lo stato non ha limite Complessivamente quindi il sistema dinamico non ha una configurazione di equilibrio per ogni stato iniziale

16. Al fine di costruire una rete che viola la PH in modo che sia evidente il caratteristico pulsare della rete è quindi necessario • Imporre che i nodi abbiamo una distribuzione del tempo di servizio con una coda pesante all’infinito, come ad esempio l’inverso di un polinomio • Fare in modo che la rete sia poco caricata dal traffico proveniente dall’esterno, cioè che il fattore di utilizzazione sia piuttosto piccolo. Se la rete è di per sé troppo carica si congestiona mascherando quindi l’effetto dovuto ai tempi di servizio • Attendere un tempo di rilassamento che occorre alla rete per stabilizzarsi • Considerare come pulsazioni attendibili solo quelle corrispondenti a grandi congestioni, infatti piccole fluttuazioni sono presenti anche in reti rispettanti la PH

17. Modellizzazione

18. Creare una rete di code aperta che violi l’ipotesi poissoniana • Evidenziare i meccanismi di congestione

19. Creare una rete di code aperta che violi l’ipotesi poissoniana • Evidenziare i meccanismi di congestione worst case analysis

20. nodo.stato_servente: [M x 1 double] nodo.coda: [M x 1 double] nodo.tempo_servizio: [M x 1 double] nodo.fine_servizio: [M x 1 double]

21. M nodi

23. Simulazione

25. Ciclo temporale Inizializzazione rete Congestione coda > Ic × CodaMedia M = 20; T = 20000; λ = 0.0015; nodo = zeros (M,1); for t = 1 : T servente libero SI • aggiornamento coda • calcolo tempo servizio gestione ingressi gestione termine servizio popolazione in ingresso N = P(λ, M, 1) NO • aggiornamento coda t > fine_serv servente occ. SI coda > 0 NO uscita SI • destinazione • aggiornamento coda • calcolo tempo servizio • destinazione • aggiornamento coda • servente libero

27. Risultati e Conclusioni