Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4

1. Studio delle singolarità del robot a 7 giunti KUKA LWR4 Relatore Prof. Alessandro De Luca Candidato Francesco Bella

2. La convenzione di Denavit-Hartenberg • Asse zi lungo l’asse di giunto i+1 • Asse xi lungo la normale comune agli assi di giunto i e i+1 (verso: i → i+1) • ai = distanza Oi’ Oi orientata con xi (costante = ‘‘lunghezza’’ braccio i) • di = distanza Oi-1 Oi orientata con zi-1 (variabile se giunto i PRISMATICO) • αi = angolo di twist tra zi-1 e zi intorno a xi (costante) • θi = angolo tra xi-1 e xi intorno a zi-1 (variabile se giunto i ROTATORIO)

3. Assegnazione delle terne al KUKA LWR4

4. Matrici di trasformazione omogenea ed espressione della cinematica diretta T0n(q) = A01(q1)A12(q2)…An-1n(qn) Si può ottenere la cinematica del KUKA LWR4 in maniera sistematica attraverso semplici prodotti di matrici di trasformazione omogenea, ognuna delle quali risulta funzione di una singola variabile di giunto.

5. La cinematica differenziale Caratterizza i legami tra la velocità dei giunti e le corrispondenti velocità lineare ed angolare dell’organo terminale. Tali legami sono descritti dallo Jacobiano geometrico.

6. Cosa sono le singolarità cinematiche? Sono tutte quelle configurazioni in cui lo Jacobiano diminuisce di rango La caratterizzazione delle singolarità è di notevole interesse perché se il robot è in una configurazione singolare: • Si ha una perdita di mobilità della struttura → non è possibile imporre all’organo terminale leggi di moto arbitrarie • Possono esistere infinite soluzioni al problema cinematico inverso • Velocità ridotte nello spazio operativo possono indurre velocità molto alte nello spazio dei giunti

7. Lo Jacobiano geometrico e lo Jacobiano Mid-Frame 4x4 Primo approccio Analisi dei 7 determinanti dei minori (6x6) dello Jacobiano. L’annullamento simultaneo in una stessa configurazione dei 7 determinanti corrisponde ad una singolarità. Data la complessità della struttura del Jacobiano si utilizza il Jacobiano Mid-Frame 4x4. Nonostante la forma semplificata anche il Jacobiano Mid-Frame 4x4 non porta a risultati convincenti. Solo alcune configurazioni risultano individuabili nell’immediato per la loro capacità di rendere il determinante nullo, ma non si potrebbe dare certezza sulla completezza e l’unicità delle stesse.

8. Formula di Cauchy-Binet Siano A e B due matrici rispettivamente di tipo mxn e nxm. Il loro prodotto AB è quindi una matrice quadrata mxm. La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di AB come dove S varia fra i sottoinsiemi con m elementi dell’insieme [1…n]. Per ogni S, la matrice AS è il minore di ordine m ottenuto da A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a S. Analogamente, BS è il minore di ordine m ottenuto da B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a S.

9. Applicazione della formula al KUKA LWR4 Grazie alla formula di Cauchy-Binet, una configurazione singolare si verifica quando si annulla la somma di quadrati di determinanti con Jimn l’i-esimo minore ottenuto sopprimendo le colonne i della matrice Jmn. I termini della prima sommatoria hanno una forma triangolare a blocchi inferiore e per questo si possono riscrivere come rg(J11) < 3 rg(J22) < 3 Condizione sufficiente(a sx) e condizione necessaria(a dx)

10. Condizioni per le singolarità del KUKA LWR4 Condizioni sufficienti Condizioni necessarie q6 = kπ Per quali valori si annulla il determinante di J22? Per quali valori si annullano i 4 determinanti dei minori di J11? Altre condizioni sufficienti q2 = kπ˄ q6 = kπ q5 = π/2+kπ ˄ q6 = kπ q4 = kπ q2 = k π ˄ q3 = π/2 + kπ

11. Conclusioni L’analisi delle singolarità è stata portata a termine con successo grazie all’utilizzo della formula di Cauchy-Binet. Infatti l’annullamento dei 7 determinanti dei minori di ordine 6 dello Jacobiano geometrico, si è rivelato molto ostico e computazionalmente complesso da perseguire nonostante l’utilizzo di Matlab. Al contrario l’idea di partizionare il Jacobiano e sfruttarne la struttura triangolare per avere calcoli meno complessi, si è rivelata di semplice risoluzione. Naturalmente sono state testate le configurazioni ottenute con il secondo metodo, con sostituzioni esplicite nei vari determinanti, ed effettivamente i 7 determinanti ottenuti nel primo caso si annullano. In conclusione, sono stati raggiunti gli obiettivi prefissati all’inizio del progetto.