VI. Diagrammes de Feynman (introduction qualitative)

1. VI. Diagrammes de Feynman (introduction qualitative) PHYS-F-305 C. Vander Velde

2. Contenu du chapitre VI • VI.1. Introduction • VI.2. Principe • VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • VI.5. Interactions faibles • VI.6. Désintégrations C. Vander Velde

3. VI.1. Introduction Après avoir parlé des constituants élémentaires, revenons à leurs interactions mutuelles. Dans ce chapitre, une première description très qualitative des 4 interactions fondamentales est donnée en terme du boson intermédiaire échangé, à partir des diagrammes de Feynman. Pour rappel : C. Vander Velde

4. VI.2. Principe Richard Feynman a développé une méthode pour calculer les taux des processus é.m. et faibles, utilisée aussi aujourd’hui pour les interactions fortes. Les diagrammes qu’il a introduit pour représenter ces interactions offrent un guide pour le calcul des sections efficaces. L’idée est que les particules de matière se propagent librement, sauf en certains points de l’espace-temps où elles interagissent par émission et absorption de bosons. Dans ces diagrammes, l’ensemble des coordonnées d’espace évolue de bas en haut et le temps s’écoule de gauche à droite; les particules sont représentées par une flèche orientée dans le sens du temps, les antiparticules, par une flèche remontant le temps, les bosons échangés par une ligne ondulée pour le photon, une ligne en forme de ressort pour les gluons et une ligne pointillée (ou en zigzag) pour le Z et les W. C. Vander Velde

5. e g e g t VI.2. Principe Exemples : électron se déplaçant dans le sens du temps e remontant le temps = positron dans le sens du temps photon gluon Z° ou W± C. Vander Velde

6. g e e t VI.2. Principe Toute interaction peut se décomposer en processus élémentaires impliquant l’émission ou l’absorption d’une particule messagère. Chacun de ces processus élémentaires est représenté par un vertex, point où 3 lignes se croisent. Exemple : Une particule e entre, émet (ou absorbe) un photon, puis sort. C. Vander Velde

7. g e e e e VI.2. Principe Pour décrire un processus physique, il suffit de combiner un certain nombre de vertex élémentaires, en les connectant particule à particule, en respectant le sens de la flèche s’il y en a une. Ces vertex élémentaires peuvent subir n’importe quelle rotation. Exemple : répulsion coulombienne de 2 électrons. Le vertex du haut est obtenu par une rotation de 180° du vertex de la page précédente. C. Vander Velde

8. VI.2. Principe Tous les assemblages sont permis, pourvu que le diagramme obtenu respecte les règles suivantes : • Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement entre l’état initial et l’état final. • Par contre, il n’y a pas conservation de l’énergie-impulsion à chaque vertex, mais bien conservation des nombres quantiques conservés dans l’interaction concernée (ex: la charge électrique). • Les lignes qui entrent ou sortent du diagramme représentent des particules réelles et doivent donc satisfaire à la relation : E² = p² + m² • Les lignes aux stades intermédiaires représentent des particules virtuelles et ne doivent pas satisfaire à la relation entre E, p et m. On peut avoir ; les particules virtuelles peuvent avoir n’importe quelle masse ; dans le jargon, on dit qu’elles sont en dehors de la couche de masse (off mass shell). C. Vander Velde

9. e g g e e e VI.2. Principe Remarque: il n’est pas possible de satisfaire à la fois aux conditions 1 et 3 à un vertex élémentaire; celui-ci ne représente donc jamais un processus qui peut réellement se produire. Exemples : Dans le SCM, l’énergie initiale est suffisante pour créer le photon mais la quantité de mvt initiale est nulle. Or le photon ne peut avoir une quantité de mvt nulle (v = c). Viole la conservation de l’énergie-impulsion; en effet, dans le SCM : énergie initiale = seulement la masse de l’electron Par transf. de Lorentz, la conclusion est bien sûre vraie dans tout système. C. Vander Velde

10. g g g u µ e u µ e VI.3. Electrodynamique quantique (QED) QED est la théorie qui décrit les interactions é.m.. Tout phénomène é.m. peut se réduire au processus élémentaire suivant, celui-ci se produisant par l’échange de photons (émission ou absorption): La particule qui émet ou absorbe le photon peut être n’importe quelle particule chargée (ou antiparticule) : lepton chargé ou quark. C. Vander Velde

11. g e e e e e e g e e VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Diffusion de Møller Deux électrons entrent, échangent un photon et ressortent. Peu importe quel électron a émis, quel électron a absorbé; en fait les deux se produisent. En théorie classique, c’est la répulsion Coulombienne. • Diffusion de Bhabha S’obtient en tournant le diagramme ci-dessus : Représente un e- et un e+ qui s’annihilent pour donner à nouveau un e- et un e+. En théorie classique, c’est l’attraction coulombienne. C. Vander Velde

12. e e g e e e e e e g e création de paires diffusion Compton g g g g VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Autres processus à 2 vertex : annhilation de paires Remarque : dans le vide, il y a tjrs au moins 2 g ds l’état final pour un processus réel (cons. E-p) C. Vander Velde

13. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Remarque Les diagrammes qui s’obtiennent par rotation d’un autre (ex : Møller et Bhabha) s’obtiennent par symétrie croisée, c’est-à-dire en changeant une ou plusieurs particules de membre (renversement du temps) et en la remplaçant par son antiparticule. Les diagrammes de Feynman étant identiques, on s’attend à un lien étroit entre les sections efficaces des processus. Même chose pour les diagrammes qui s’obtiennent par torsion, comme les 3 derniers exemples. C. Vander Velde

14. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Diagrammes à 4 vertex(exemples): Lorsque 2 photons sont échangés, on a des diagrammes à 4 vertex. En fait, il y a une infinité de diagrammes, à 2, 4, ... vertex qui correspondent à un même processus physique. En principe, il faudrait tous les prendre en compte pour le calcul des sections efficaces. Heureusement, ce n’est pas le cas! C. Vander Velde

15. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Lien avec les probabilités d’interaction: Afin de prédire la probabilité Pd'un processus physique (section efficace σ, taux de désintégration Γ,…), Richard Feynman a développé (fin 40s) une série de règles qui associent à chaque diagramme une expression mathématique qui permettra de calculer P. Il faut d'abord spécifier les états final et initial observés, notés ׀i› et ‹f׀, puis considérer tous les diagrammes qui peuvent les connecter. L'expression mathématique correspondant à chaque diagramme est alors calculée et donne l'amplitude de transitionmdu sous-processus. Les amplitudes d'un certain nombre de sous-processus individuels peuvent alors être sommées pour donner l‘amplitude totaleMqui élevée au carré sera proportionnelle à la probabilité recherchée P : . amplitude du ième diagramme d’ordre n, c’est-à-dire avec n + 1 vertex C. Vander Velde

16. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Lien avec les probabilités d’interaction: Chaque processus de base est caractérisé par une amplitude proportionnelle au couplage du photon à la particule chargée, la charge électrique de la particule; pour l’électron (ou le positron), la probabilité correspondante, p est donc proportionnelle à e² On définit la constante de couplage de l’I. é.m., aém, qui est une grandeur sans dimensions, telle que : pµaém On a : constante de structure fine Nous verrons bientôt qu’on peut vérifier expérimentalement l’ordre de grandeur de cette constante de couplage. C. Vander Velde

17. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Lien avec les probabilités d’interaction: La contribution des diagrammes à 2 vertex à la probabilité du phénomène physique P est proportionnelle à : P µp² µa²ém ~ .5 10-4 La contribution des diagrammes à 4 vertex est proportionnelle à : P µp4µa4ém ~ .3 10-8 On s’attend donc à une contribution beaucoup moins probable*! En 1ère approximation les diagrammes à 4 vertex peuvent être négligés (lorsqu’ils ne sont pas trop nombreux) A fortiori, les diagrammes à plus de 4 vertex sont rarement pris en compte. *En effet, comme nous le verrons à la fin de ce chapitre, les facteurs de proportionnalité ne sont pas nécessairement égaux; de plus si le processus à l’ordre le plus bas est supprimé (loi de conservation), l’ordre suivant ne peut plus être négligé. C. Vander Velde

18. e e e g g VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Lien avec les probabilités d’interaction: Exemple : annihilation positron – électron : On s’attend à ce que le rapport des taux des deux processus soit d’ordre a: Le rapport des taux de désintégration du positronium, état lié e+e-, a été mesuré : R = 9 x10-4 < a mais en accord avec des calculs théoriques plus détaillés. ~ a2 ~ a3 C. Vander Velde

19. u u u g g VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Interactions é.m. des quarks: Annihilation d’une paire uu en 2 photons. Même chose que pour l’électron. Toutefois, à cause du confinement des quarks qui ne sont pas observés à l’état libre, ceci ne peut pas être vu comme une diffusion mais plutôt comme une annihilation d’un état lié uu. Par exemple, ce processus, ainsi que l’annihilation dd, rendent compte de la désintégration  du p°: Question : que vaut ici la constante de couplage ? Réponse : ~(Qu)² aém =(2/3)² aém C. Vander Velde

20. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Application: A basse énergie (√s < 25 GeV), l’annihilation des paires e+e- peut être décrite au 1er ordre par l’échange d’un photon (à plus haute énergie, le Z° intervient à son tour): Expérimentalement, on peut facilement distinguer les annihilations qui donnent une paire µ+µ- dans l’état final, de celles qui donnent une paire qq; par contre il est difficile sinon impossible de distinguer les différentes saveurs de quarks. C. Vander Velde

21. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Application: Dès lors, on peut mesurer le rapport : Calculez la valeur attendue pour ce rapport pour √s = 2 GeV. C. Vander Velde

22. e g e q R° q VI.3. Electrodynamique quantique (QED) R • Application: A √s = 2 GeV, on devine R ~2.5, à condition de faire abstraction des pics. Ils correspondent à la production de résonances : e+ + e- R°  q + q R° : particule réelle  √s ~ mR°  pic C. Vander Velde

23. Sommation sur tous les quarks avec Mqq < √s R = Qu² + Qd² + Qs² = 1/9 + 4/9 + 1/9 = 2/3 VI.3. Electrodynamique quantique (QED) R • Application: A √s = 2 GeV, on devine R ~2.5, à condition de faire abstraction des pics. x 3 ! pour les 3 couleurs! C. Vander Velde

24. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) Résultats expérimentaux jusqu’à 55 GeV, pics de résonances soustraits. • Application:  confirmation de la charge des quarks et du nombre de couleurs ! C. Vander Velde

25. VI.3. Electrodynamique quantique (QED) • Conclusions: A condition de se placer à suffisamment basse énergie pour pouvoir négliger l’influence de l’échange du Z°, QED est une théorie extrêmement bien vérifiée expérimentalement. Nous ne ferons pas de calculs ici car cela sort du cadre de ce cours mais l’accord entre les prédictions théoriques et les mesures a pu être vérifié avec une très grande précision, dans certains cas, à plus de 10 chiffres significatifs . C. Vander Velde

26. g q q VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) QCD est la théorie qui décrit les interactions fortes. Le processus élémentaire qui remplace e  e + g pour les interactions é.m. est : q  q + g, où la particule échangée, g est un gluon, de masse nulle. La particule qui émet ou absorbe le gluon doit être porteuse de couleur (cf. charge électrique pour QED) ; les leptons ne participent donc pas à l’I.F. Au cours de ces processus, la couleur du quark peut changer, pas sa saveur (> conservation Q, S, C, , T). Lorsqu’un quark vert émet un gluon et devient un quark bleu (1er vertex ci-dessus à droite), le gluon doit absorber la différence et est bicolore : vert–anti-bleu. mg = 0 C. Vander Velde

27. g g g g g g g VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) Les gluons étant porteurs de couleur, ils interagissent entre eux (alors que le photon est électriquement neutre) et il faut aussi considérer les 2 vertex de gluons suivants : Les quarks sont confinés à l’intérieur d’états liés sans couleur, les hadrons: 3 couleurs différentes pour un baryon, une couleur et son anti-couleur pour un méson. L’interaction forte est donc répulsive entre quarks ou antiquarks de même couleur et attractive entre les quarks de couleurs différentes, qui forment les hadrons. C. Vander Velde

28. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) Comme il existe 3 couleurs, il y a 3 x 3 = 9 combinaisons d’une couleur et d’une anti-couleur pour former des gluons; les 8 suivantes : R B, R V, BV, BR, VR, VB, qui ne sont pas invariantes pour la couleur, et la 9ème : R R + V V + B B qui est invariante pour la couleur; c’est un singulet de couleur. Elle devrait donc pouvoir exister en tant que particule libre, tout comme les mésons et les baryons. Si un tel gluon blanc existait, tout comme le photon pour QED, il devrait pouvoir être échangé et l’I.F. serait une interaction à longue portée, alors qu’on observe qu’elle est effectivement à courte portée. C’est pourquoi il n’y a que 8 gluons qui sont échangés dans les I.F.; ces gluons sont échangés entre quarks ou gluons mais pas entre hadrons. C. Vander Velde

29. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Singularité de l’interaction forte Une des difficultés de QCD est que la constante de couplage as (qui joue le même rôle que la constante de structure fine pour QED), ainsi qu’elle a été mesurée à partir de la force entre nucléons, est plus grande que 1 : as > 1  plus les diagrammes seraient complexes, plus ils contribueraient ?  calculs impossibles? Non, car il apparaît que la cste as dépend de la distance entre les particules qui interagissent; elle est grande à grande distance mais à courte distance, inférieure à la taille d’un proton, elle devient très petite. C. Vander Velde

30. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Singularité de l’interaction forte Autrement dit, la constante de couplage αSde l’interaction forte diminue avec l'énergie. Conséquence : liberté asymptotique. C. Vander Velde

31. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Liberté asymptotique A petite distance, les quarks n’interagissent donc que très faiblement et à l’intérieur des hadrons, ils semblent y être quasi libres: c’est la liberté asymptotique, découverte dans des expériences de diffusion. • Confinement des quarks QCD tente de rendre compte du phénomène de confinement des quarks à l’intérieur de combinaisons sans couleur mais jusqu’à présent, on n’a pas pu prouver que le confinement, était une conséquence de QCD. Il semble qu’ éloigner un quark q de l’antiquark q d’un méson, revient à augmenter l’énergie de la paire qq proportionnellement à cette distance jusqu’à ce que cette énergie se convertisse en paires quark-antiquark additionnelles (fragmentation); des combinaisons non colorées de quarks, des hadrons émergent alors (hadronisation). C. Vander Velde

32. D- I.f. I.F. D+ VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Confinement des quarks Exemple : C. Vander Velde

33. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Confinement des quarks La force forte se comporte un peu comme un élastique : as <<< 1 as > 1 C. Vander Velde

34. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Confinement des quarks Les jets : Les quarks, en se séparant font sortir des paires quark-antiquark du vide , ce qui conduit à l’émission d’un grand nombre de hadrons. A chaque quark correspond un jet de particules, si l’impulsion transverse des hadrons est faible vis-à-vis de l’impulsion des quarks. (q) (q) C. Vander Velde

35. Confinement des quarks Les jets : si en plus, un des 2 quarks émet un ou plusieurs gluons à grande impulsion transverse, chacun d’entre eux donnera lieu lui aussi à un jet de hadrons: VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) (q) gluon Ces évts à 3 jets apportèrent la preuve de l’existence des gluons (1979); ci-contre un evt de l’expérience (q) Jade au collisionneur e+e- PETRA (√s > 30 GeV) à DESY (Hambourg) C. Vander Velde

36. d u d u u u u u u p° = uu u u d u d VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Confinement des quarks Le confinement des quarks à l’intérieur des hadrons rend la théorie QCD plus complexe et plus difficile à vérifier et à mettre au point que QED. En effet, on ne peut étudier en laboratoire que des interactions entre objets complexes, les hadrons, les quarks n’étant pas observés à l’état libre. Exemple : interaction p-p On comprend pourquoi le modèle de Yukawa, avec échange de pions a eu quelques succès mais les choses sont beaucoup plus complexes que Yukawa le pensait. p p p p C. Vander Velde

37. VI.4. Chromodynamique quantique (QCD) • Conclusions La théorie QCD permet de rendre compte au moins qualitativement des différentes singularités de l’interaction forte et, dans certains cas, de faire des prédictions qui sont vérifiées par l’expérience. Toutefois, on est loin de la précision atteinte par QED. Cela résulte d’une part de la complexité de la théorie, d’autre part de l’augmentation de as avec la distance qui rend souvent les calculs impossibles. C. Vander Velde

38. l- nl l+ nl Z° Z° aZ aZ VI.5. Interactions faibles Il n’y a pas de nom pour la « charge » qui produit les interactions faibles. C’est sans doutes parce que tous les constituants élémentaires, quarks et leptons, en sont porteurs, alors que les leptons ne portent pas de charge de couleur (I.F.) et les neutrinos ne portent pas de charge électrique. On distingue 2 types d’interactions faibles, à courant neutre, dont le médiateur est le boson Z°, et à courant chargé, dont les médiateurs sont les bosons W±. • A courant neutre Dans le cas des leptons, les vertex fondamentaux sont : Ces vertex sont les seuls qui respectent à la fois la conser- -vation de la charge et des nombres leptoniques. gZ joue le rôle de e pour les I.ém. C. Vander Velde

39. q q Z° aZ VI.5. Interactions faibles • A courant neutre Pour les quarks, on a par analogie, les vertex du type : où q représente n’importe quel quark, le même dans l’état initial et dans l’état final, ce qui implique implicitement la conservation de la saveur des quarks dans les I.f. à CN. De fait des processus à CN, avec, par exemple, changement d’étrangeté, correspondant au vertex s  d + Z°, tels que: K°  µ+ + µ- K+  p+ + µ+ + µ- ne sont pas observés ou à tout le moins fortement supprimés. En outre, vous verrez plus tard que la théorie des interactions faibles offre des arguments qui supportent cette suppression. C. Vander Velde

40. nµ nµ nµ nµ e d e d u u Z° Z° VI.5. Interactions faibles • A courant neutre Exemples d’interactions à courant neutre Des diagrammes similaires existent où le Z° est couplé à un quark u Interactions fortes par l’intermédiaire de gluons non dessinés. La présence des interactions fortes à l’intérieur du proton vient compliquer la description de ce genre de processus. C. Vander Velde

41. m Z° m e e VI.5. Interactions faibles • A courant neutre Exemples d’interactions à courant neutre C. Vander Velde

42. nl l- W± aW VI.5. Interactions faibles • A courant chargé Dans les vertex envisagés jusqu’ici pour les interactions é.m., fortes et faibles à courant neutre, c’est le même fermion avant et après l’émission ou l’absorption de la particule messagère, si l’on fait abstraction du possible changement de couleur dans les I.F.; la saveur des quarks ou la nature du lepton ne change pas. L’interaction faible à courant chargé est la seule à pouvoir changer la saveur; c’est donc la seule interaction à l’origine des désintégrations de hadrons n’impliquant pas l’annihilation de paires qq, comme la désintégration du p° vue précédemment. • Cas des leptons Nous verrons que dans le cadre de la théorie électrofaible, il existe un lien entre e, gW et gZ. Emission d’un W- ou absorption d’un W+ C. Vander Velde

43. e e ne ne nµ nµ µ µ W± W± VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Cas des leptons Le diagramme ci-dessous à gauche n’est pas possible à réaliser expérimentalement; il faudrait faire entrer en collisions des faisceaux de muons et de neutrinos, tous deux difficiles à obtenir. Par contre, en tordant ce diagramme, on obtient le diagramme de droite correspondant à la désintégration du muon. C. Vander Velde

44. q-1/3 q+2/3 W± VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Cas des quarks Afin de conserver les nombres leptoniques, à un vertex leptonique, la transition l± vers neutrino se fait toujours au sein de la même génération. On est donc tenté de supposer qu’il en va de même pour les vertex de quarks; ils connectent un quark d, s ou b, de charge -1/3, au quark de la même génération, u, c ou t, de charge +2/3 et de même couleur. On verra plus loin que cette règle n’est pas tout à fait respectée. C. Vander Velde

45. u W± p- = ud nµ d µ nµ µ u d W± VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Cas des quarks En tournant le diagramme de gauche d’un 1/4 de tour et avec les quarks ud liés par l’interaction forte, on obtient le mode de désintégration le plus courant du p- Processus semi-leptonique qui ne se produit pas tel quel, à cause du confinement des quarks. C. Vander Velde

46. e ne d u p n u d W± VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Cas des quarks Pour rendre compte de la désintégration b du neutron, on fait appel à un diagramme similaire où µ et nµ sont remplacé par e et ne. Il existe aussi des processus purement hadroniques, avec les 2 vertex du W impliquant des quarks. C. Vander Velde

47. K- u s d W± u s s L° W- VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Transitions entre générations Les particules étranges les plus légères ne sont pas stables. Elles ne peuvent se désintégrer par interaction forte, ce qui violerait la conservation du nombre quantique S. Ces particules se désintègrent par interactions faibles. Il n’est donc pas possible de maintenir l’hypothèse que nous avions tentée, à savoir que les vertex fondamentaux impliquant des quarks se limitent à des transitions au sein de la même génération. Exemple : Changement de génération C. Vander Velde

48. VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Transitions entre générations En 1963, Cabibbo a proposé une solution pour rendre compte des interactions faibles qui impliquent une transition d’une génération à une autre. En 1970, elle a été améliorée par Glashow, Illiopoulos et Maiani (mécanisme de GIM) et en 1973, étendue à la 3ème génération de quarks par Kobayashi et Maskawa (KM). Sans entrer dans les détails à ce stade, l’idée est de dire qu’au lieu de coupler les paires de quarks physiques (états propres de masse) : l’interaction faible couple les paires suivantes : où d’, s’ et b’ sont des combinaisons linéaires de d, s et b. C. Vander Velde

49. VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Transitions entre générations Ces combinaisons linéaires peuvent s’exprimer sous forme matricielle : où lVud ׀est proportionnel au couplage du u au d, lVus ׀, à celui du u au s, etc ... Le couplage d’un quark i à un quark j est donné par : *C’est une matrice unitaire, à coefficients complexes. Matrice de Kobayashi-Maskawa* C. Vander Velde

50. VI.5. Interactions faibles • A courant chargé • Transitions entre générations Si cette matrice était égale à l’unité, d’, s’ et b’ seraient identiques à d, s et b et il n’y aurait pas de transitions d’une génération à l’autre : gud = gW gus = 0 gub = 0 Les valeurs mesurées pour les modules des éléments de cette matrice sont : Les termes diagonaux sont proches de l’unité, montrant que les transitions hors génération sont peu probables. Parmi celles-ci les transitions entre la 1ère et la 2ème génération sont les plus importantes : Vus ~ 0.22 correspond à des désintégrations ne conservant pas S (cf. W-) Vcd ~ 0.22 correspond à des désintégrations ne conservant pas C C. Vander Velde