DIDATTICA DELL’ARITMETICA NELLA SCUOLA MEDIA

1. DIDATTICA DELL’ARITMETICA NELLA SCUOLA MEDIA LA RICERCA DIDATTICA

2. UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA In certi contesti storici il passaggio, non necessariamente sequenziale, da rappresentazioni iconiche a rappresentazioni simboliche, attraverso le rappresentazioni "indicative" (dall'inglese "indexical") è un tratto caratteristico dello sviluppo del ragionamento matematico.

3. UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA Il pensiero aritmetico, così come altre forme di pensiero, vive in una delicata interazione tra attività mentale ed espressione linguistica: in generale le rappresentazioni e i simboli costituiscono un sistema semiotico di particolare importanza per ogni attività matematica.

4. UNA PROSPETTIVA SEMIOTICA (Radford, 1999). Isegni non come specchi riflettenti di processi cognitivi interni, ma come strumenti o addirittura protesi della mente. I segni vestono, per Radford, una sorta di "embodied intelligence" (intelligenza incorporata), in quanto sonpo stati costruiti storicamente per qualche scopo e come tali trascinano con sé modelli di usi e ragionamenti precedenti. Tuttavia, i segni, così come ogni altro artefatto culturale, non parlano da sé. Essi vivono nella vita degli individui attraverso atti di comunicazione e interazione in cui acquistano significato.

5. Radford ha studiato il modo in cui gli studenti usano i segni, e attribuiscono a questi i significati, in esperimenti legati alla costruzione di modelli e alla loro generalizzazione in termini aritmetico-algebrici. Secondo Radford i segni vanno intesi in senso generale: possono essere segni-parola di un linguaggio naturale scritto o parlato, oppure lettere o altri artefatti. Egli afferma che l'apprendimento nel passaggio aritmetica-algebra appare non come un processo aculturale di astrazione, ma piuttosto come la realizzazione di un processo sociale e individuale che si appropria di un sistema di segni in una prospettiva di sviluppo storico e culturale.

6. Radford sottolinea ripetutamente come la produzione e comprensione dei segni da parte degli studenti siano accompagnate (o, meglio, avvolte) da schemi discorsivi. Contrariamente a quanto ritenuto tradizionalmente, la generalizzazione non è astrazione avulsa dal contesto, ma una differente, ma contestuale, espressione semiotica degli schemi precedenti. Quindi, per Radford, la produzione di segni in una formula è mediata dal discorso e dalla sua espressione scritta.

7. FELICE 13 ANNI STUDENTE MEDIO

8. FELICE Dimostra che un numero pari, maggiore di due, si può sempre scrivere come somma di due numeri dispari diversi tra loro 3+1=4 5+3=8 (e poi cancella con una riga) 5+1=6 7+1=8 9+1=10 11+1=12 E' vera perché: i numeri pari hanno di dietro un numero dispari, perché la scala è p-d-p-d e quindi se si fa il numero prima, cioè dispari +1 viene pari. Quindi in formula si può fare così p-1=d e se faccio d+1=p, perché se pari meno 1 dà dispari, allora 1 più dispari dà pari.

9. FELICE Dimostra che un numero pari, maggiore di due, si può sempre scrivere come somma di due numeri dispari diversi tra loro 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1 -1 Quindi, secondo la mia affermazione, se scrivo un pezzo di scala di numeri pari facendo meno 1 si può fare quella del dispari perché p-1=d quindi d+1=p Precedente Successivo Quindi un pari è uguale ad un precedente dispari +1.

10. Interazione tra pensiero e linguaggio. Influsso di esperienze precedenti (la linea dei numeri, l'esperienza del conteggio, la percezione dello spazio e del tempo). Tutto ciò confluisce nel processo di nominalizzazione. Esso consiste nell'assegnare nomi agli elementi del problema in modo da incorporarvi il senso del problema stesso. Le lettere fungono da nomi per gli elementi in gioco e le relazioni tra le lettere riflettono le relazioni tra gli elementi.

11. Nel protocollo di Felice la scelta dei nomi è utile per giungere alla soluzione: lo scrivere p-1=d induce l'altra scrittura d+1=p, che rende manifesto il fatto che ogni pari può essere rappresentato come somma del precedente dispari, più uno. Generalmente succede che i buoni risolutori fin dall'inizio intravedono un possibile cammino e inglobano questa anticipazione nei loro primi tentativi di nominalizzazione

12. I principianti spesso procedono a tentoni mentre scelgono i nomi e sono influenzati da rigidi stereotipi. In questi casi il processo di nominalizzazione prende strade sbagliate e il nome diventa un "designatore rigido“(Arzarello, Bazzini e Chiappini, 1994). Dimostra che la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4. Un esperimento condotto con studenti di scuola media e con studenti universitari ha mostrato la stessa tipologia di errori: due numeri dispari consecutivi sono scritti come x+y 2h+1+2k+1 invece di 2h+1+2h+3 oppure sono presenti solo tentativi aritmetici

13. QUI L'ALGEBRA ILLUMINA L'ARITMETICA

14. L'esempio due numeri dispari consecutivi scritti come x+y 2h+1+2k+1 invece di 2h+1+2h+3 dimostra che alcuni studenti, che riescono ad esprimere le relazioni tra gli elementi del problema usando il linguaggio naturale o il codice aritmetico, non sono capaci di esprimere le stesse relazioni in termini algebrici. Più precisamente, sono incapaci di usare il linguaggio algebrico come mediatore tra lo scopo del problema e le relazioni qualitative e quantitative tra i suoi elementi. Il senso del problema non viene tradotto nel codice algebrico.

15. LINGUAGGIO NATURALENUMERILETTERE • Dividere un numero dato in due parti tali che la prima parte superi la seconda di un numero dato • Ragionamento orale: • “La parte più piccola è uguale alla metà del numero da dividere, meno la metà dell’eccesso dato”

16. Dividere un numero dato in due parti tali che la prima parte superi la seconda di un numero dato • Esempio numerico: • “Il numero da dividere sia 9, l’eccesso dato sia 5. Allora la parte più piccola è2, la più grande è7” • Passaggio alle lettere: • “Sia a il numero da dividere e b l’eccesso. Allora, indicando con x la parte più piccola, è x=a/2 – b/2

17. QUI L'ALGEBRA ILLUMINA L'ARITMETICA

18. Trovare tre numeri la cui somma sia 164, tali che il secondo superi il primo di 14 e che il terzo sia la somma dei primi due. Possibile soluzione aritmetica • “La somma dei tre numeri si compone di • Primo numero • Primo numero aumentato di 14 • Due volte il primo numero più 14 • Si ha cioè quattro volte il primo numero aumentato di 28. • Se dunque si toglie 28 da 164, il resto (136) varrà il quadruplo del primo numero e di conseguenza 136:4, cioè 34.” Possibile soluzione algebrica x+x+14+x+x+14 = 164 4x + 28 = 164 x = 34

19. QUI L'ALGEBRA ILLUMINA L'ARITMETICA

20. ELISA 13 ANNI STUDENTE MEDIO- ALTO

21. ELISA Cosa succede se addiziono due dispari consecutivi? Si trova una regolarità? Se si, quale? Spiega i tuoi ragionamenti 3+5=8 4+4=8 5+7=12 6+6=12 7+9=16 8+8=16 .…… ………. Quello in mezzo è pari -1, e il secondo è pari +1, è come sommare due pari, anzi come sommare due pari uguali, px2 quindi è multiplo di 4. Provo con le lettere d+ (d+2)=[(d+2)-1]x2=p / doppio del pari che sta in mezzo Poi Elisa torna ai numeri d=3 d=5 d+2-1=4 d+d+2=(d+1)x2=2d+2

22. ELISA Cosa succede se addiziono due dispari consecutivi? Si trova una regolarità? Se si, quale? Spiega i tuoi ragionamenti Poi Elisa torna ai numeri d=3 d=5 d+2-1=4 d+d+2=(d+1)x2=2d+2 In questo passaggio il ragionamento sui numeri è sottostante alla trasformazione algebrica, che produce un cambio di espressione simbolica (e quindi di senso), ma non un cambio di denotazione. Il nuovo senso le permette di confermare la sua intuizione primitiva sui numeri. Infine, Elisa conclude: P P P P… 2 4 6 8… il doppio di un dispari è il primo pari; +2 è il pari che viene dopo, che è quello multiplo di 4.

23. ELISA Il protocollo di Elisa dimostra chiaramente l'attivazione di sensi diversi e la loro coordinazione: le lettere sostengono il flusso di pensiero ed Elisa non perde mai il controllo della situazione. ALGEBRA ARITMETICA

24. ANTICIPAZIONE “Anticipazione" : processi mentali attraverso i quali il soggetto intravede la forma finale dell'espressione utile a risolvere il problema, e anche il modo per attuare le trasformazioni necessarie per ottenerla. Elementi diversi concorrono nel processo: la memoria del passato, le trasformazioni che hanno avuto successo in situazioni analoghe, l'intuizione delle forme, intermedie e finale, dell'espressione, suggerite dalla forma presente. Infine, la capacità di relazionare la forma dell'espressione trasformata agli scopi del problema.

25. ANTICIPAZIONE Può succedere ad esempio che di fronte all'addizione 6+7, il bambino calcoli in questo modo: 6+6+1 e, ricordando che 6+6 fa 12, aggiunga 1 e arrivi al risultato (13). Il bambino che segue questa procedura dimostra una buona comprensione dell'operazione di addizione: sa che può scomporre un numero adeguatamente e che può sommare i singoli addendi scomposti. Facendo poi ricorso a conoscenze immagazzinate in memoria (in questo caso 6+6=12) trova il risultato. Osserviamo che qui il bambino, oltre a padroneggiare disinvoltamente i numeri, dimostra un forte pensiero anticipatorio: scompone 7=6+1 pensando già a come utilizzare gli addendi.

26. ANTICIPAZIONE La tensione continua tra "prevedere" e "applicare" e, analogamente, tra "congetturare" e "validare", permette un produttivo sviluppo del ragionamento , in aritmetica come in algebra.

27. Il problema della brava tessitrice Una tessitrice migliora ogni giorno le sue capacità sicchè ogni giorno è in grado di produrre una lunghezza di stoffa doppia di quella tessuta il giorno precedente. Così facendo, in 6 giorni produce 189 cm di stoffa. Quanto produce ogni giorno? Lunghezza della stoffa tessuta nei sei giorni t + t x 2 + t x 4 + t x 8 + t x 16 + t x 32 t x 63 = 189 t = 3 Lunghezza della stoffa tessuta nei sei giorni 3 6 12 24 48 96

28. Il problema della brava tessitrice è riportato nel secondo capitolo del Chiu Chang suan-shu ( “Nove capitoli sulle arti matematiche” ), il più autorevole testo matematico cinese antico. Fu scritto probabilmente nel primo secolo dopo Cristo ( in Occidente l’impero Romano attraversava allora il suo periodo di massimo splendore), presenta 246 problemi e contiene un dettagliato riassunto del sapere matematico del tempo: regole per eseguire operazioni, metodi per misurare i terreni, dividere somme di denaro, determinare tassazioni, progettare edifici…. Sebbene sapessero applicare anche procedure più sofisticate e complesse, i matematici cinesi, come gli egizi, per risolvere i problemi come questo, si servivano del metodo “della falsa posizione”.

29. VERSO LE PARENTESI Il bambino invece che calcola 5x11 come 5x10+1 e arriva a 51 come risultato, dimostra capacità di scomposizione dei numeri, ma scarsa conoscenza delle proprietà delle operazioni. In questo caso basterà fargli fare una verifica per accorgersi che il risultato è sbagliato, quindi possiamo moltiplicare 5x10, ma poi dobbiamo moltiplicare 5x1 e sommare i due risultati. E' la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. La strada si apre all'uso delle parentesi.

30. TRASFORMAZIONE Ogni trasformazione, in aritmetica come in algebra, prende senso se legata a un'intuizione che anticipa la strada da seguire. Qui spesso si apre il divario tra chi intravede da subito il percorso e chi si arena senza saper cosa fare. Per quest'ultimo i simboli (numeri, lettere, segni di operazione) si svuotano di ogni significato: al massimo vengono spostati qua e là, senza un disegno preciso.

31. TRASFORMAZIONE Ogni trasformazione, in aritmetica come in algebra, prende senso se legata a un'intuizione che anticipa la strada da seguire. Qui spesso si apre il divario tra chi intravede da subito il percorso e chi si arena senza saper cosa fare. Per quest'ultimo i simboli (numeri, lettere, segni di operazione) si svuotano di ogni significato: al massimo vengono spostati qua e là, senza un disegno preciso.

32. Un altro caso: Andrea • 3^ media • Insegnamento innovativo • Votazione in matematica: molto buono

34. ANDREA

35. METAFORE Legittimazione e rilevanza delle metafore collegate al proprio corpo o alla propria esperienza.

36. Bilance in equilibrio I piatti di una bilancia sono in equilibrio quando gli oggetti posti sul primo piatto pesano quanto gli oggetti collocati sul secondo piatto

37. Se togliamo oggetti di pari peso da entrambi i piatti della bilancia, essi restano in equilibrio

38. Anche se aggiungiamo oggetti di pari peso su ciascun piatto della bilancia, l’equilibrio si conserva

39. Le mele hanno tutte lo stesso peso. • Anche le pere hanno tutte lo stesso peso,diverso da quello delle mele. Tre mele pesano quanto 2 pere. Se tolgo tre mele dal primo piatto della bilancia, per mantenere l’equilibrio…… Quanto pesa una mela ? Quanto pesa una pera ? 80 g

40. Le melanzane hanno tutte lo stesso peso. Anche i peperoni hanno tutti lo stesso peso, diverso da quello delle melanzane. Tre peperoni pesano quanto due melanzane. Anche un peperone e un pomodoro pesano quanto due melanzane. Un pomodoro pesa 200 grammi. Quanto pesa un peperone? Quanto pesa una melanzana?

41. Le pere hanno tutte lo stesso peso. Anche i limoni hanno tutti lo stesso peso. Un limone pesa 70 grammi. Quanto pesa una pera? Quanto pesa un ananas?

42. La dispensa della nonna Durante l’estate la nonna ha preparato un po’ di salsa di pomodoro che ha messo in vasetti di due misure. Su questa bilancia ci sono complessivamente 7 kg di salsa. Quanto contiene ogni vasetto piccolo? Quanto contiene ogni vasetto grande?

43. In Liguria, la nonna ha fatto spese al frantoio. Le bottiglie di olio e i vasetti di olive pesano complessivamente 5,6 kg. Quanto pesa un vasetto di olive? Quanto pesa una bottiglia di olio?

44. CALCOLI MENTALI E APPROSSIMATI

45. Calcolare in modo disinvolto implica una buona interazione tra comprensione procedurale e relazionale. Eseguire senza capire porta alla dimenticanza a breve termine o, forse peggio, a un ricordo distorto. Gli studenti si costruiscono una grande varietà di strategie di calcolo. L'obiettivo finale consiste nel rendere lo studente padrone di metodi accurati ed efficienti, che siano saldamente connessi alla comprensione dei numeri e delle operazioni. Inoltre lo studente dovrà imparare a conoscere e scegliere gli strumenti più opportuni, a seconda della situazione: talvolta userà il calcolo mentale, altre volte carta e matita, altre volte ancora la calcolatrice. In base al contesto deciderà poi se accontentarsi di un calcolo approssimato o se ricercare il risultato esatto

46. IL PROBLEMA è Il cuore del far matematica

47. I bambini di fronte ad un problema Aritmetico Privo di dati numerici

48. Interessanti perchè L’allievo è spinto a cercarli e quindi interviene sul pb. in modo attivo anche nella fase di elaborazione e non solo in quella di risoluzione Pb con dati rintracciabili Pb. scolastici standard

49. Pb scolastici standard Linguaggio laconico Dati numerici Testo breve culminante con una domanda

50. Qual è la risposta dell’allievo di fronte alla proposta di risolvere da solo e per iscritto un pb. standard con un dato mancante?