1 / 32

Stijgen en dalen

Stijgen en dalen. constante stijging. toenemende stijging. afnemende stijging. constante daling. toenemende daling. afnemende daling. 3.1. Toenamendiagram. De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1 kies een stapgrootte

enya
Download Presentation

Stijgen en dalen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 3.1

  2. Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1 kies een stapgrootte 2 bereken voor elke stap de toename of afname 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4 teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 3.1

  3. . voorbeeld ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x = 1. 4 2 0,5 -0,5 2 ∆y . . y 4 . 3 . 2 1 x -1 0 1 2 3 4 Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1 3.1

  4. Richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB rechts ∆x y · omhoog ∆y B yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA = ∆x 3.2

  5. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde toename van y op [xA,xB] is r.c. of hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 3.2

  6. Gemiddelde snelheid In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b]. De gemiddelde snelheid is ∆s : ∆t. 3.2

  7. opgave 19 y a voer in y1 = x³ - 3x + 5 bgemiddeldetoename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 cdifferentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 dhellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 r.c. = ∆y : ∆x = 16 : 4 =4 B(1,3) en r.c = 4invullengeeft y = 4x - 1 f x 0 y = ax + b xB = 1 , yB = 3 en a = 4 invullen 3 = 4 · 1 + b 3 = 4 + b b = -1

  8. Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 De gemiddelde snelheid = ∆s : ∆t. 3.3

  9. . . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen, hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . Snelheid en richtingscoëfficiënt . . tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t a de gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 = = 3 m/s 20 B4 = = 4 m/s A 15 = 5 m/s = Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = 5,5 m/s = De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. 5 t 0 1 2 3 4 5 3.3

  10. opgave 24 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4 . 3,01² - 0,4 . 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = 2,404 = s = 0,4t² s is de afgelegdeweg in meters nat seconden

  11. dydx voor x is xA y Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : k [ ] de GR bezit een optie om dydx te berekenen dy dx A x=xA • rc. van de raaklijn van de grafiek in A • helling van de grafiek in A • snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 3.3

  12. · B opgave 29 a voer in y1 = -x2 – 2x + 8 = 2 dus de r.c. = 2 b B(0, 8)  xB = 0 = -2 l : y = -2x + b B(0, 8) y = -2x + 8 [ ] dy dx x=-2 [ ] dy dx x=0 8 = -2 · 0 + b b = 8

  13. opgave 29 c f snijdt de x-as in P en Q lijn m raakt de grafiek in P = 6 y = 6x + b P(-4, 0) y = 6x + 24 lijn n raakt de grafiek in Q = -6 y = -6x + b Q(2, 0) y = -6x + 12 6x + 24 = -6x + 12 6x + 6x = -24 + 12 12x = -12  x = -1 [ ] dy dx x=-4 0 = 6 · -4 + b b = 24 [ ] dy dx x=2 · Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen. 0 = 2 · -6 + b b = 12 · Q P x = -1 invullen y = 6 · -1 + 24 = 18 snijpunt (-1, 18)

  14. · R ∆x = 6 opgave 29 d ∆x = 6 ∆y = -12 r.c. = ∆y : ∆x r.c. = -12 : 6 r.c. = -2 ∆y = -12 · T

  15. y top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as Hellinggrafieken top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x top O stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as helling overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt pos. pos. x 0 O 0 laagste punt 3.4

  16. Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie. voorbeeld top y top x 0 O 0 0 top top

  17. Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI MATH – MATH - menu optie nDeriv Casio OPTN – CALC – menu optie d/dx vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) 3.4

  18. De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) De afgeleide van een functie f geeft voor elke x : - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt - de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt 3.4

  19. Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naar f(x + h) – f(x) f(x + h) – f(x) ∆y ∆x = = h x + h - x Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft f(x + h) – f(x) een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt. h y y f(x+h) f(x+h) f(x+h) – f(x) f(x+h) – f(x) f(x) h klein f(x) h h x x x x+h x x+h O O f(x + h) – f(x) de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x) h de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is f(x + h) – f(x) f’(x) = lim h 3.4 h  0

  20. Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

  21. Differentiëren regels voor het differentiëren: f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = axn geeft f’(x) = n · axn-1 voor n = 2,3,… f(x) = c · g(x) geeft f’(x) = c · g’(x) f(x) = g(x) + h(x) geeft f’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 3.4

  22. De afgeleide van f(x) = axn oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 3.4

  23. opgave 47c h(x) = 5(x – 3)² + 5(2x – 1) h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 10x – 5 h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 10x - 5 h(x) = 5x² - 30x + 45 + 10x - 5 h(x) = 5x² - 20x + 40 h’(x) = 2 · 5x – 20 h’(x) = 10x - 20

  24. opgave 47d k(x) = -3(x – 1)(5 – 9x) – 8(x – 7) k(x) = -3(5x – 9x² - 5 + 9x) – 8x + 56 k(x) = -15x + 27x² + 15 – 27x – 8x + 56 k(x) = 27x² - 50x + 71 k’(x) = 2 · 27x – 50 k’(x) = 54x - 50

  25. opgave 48a f(x) = (3x – 1)(x2 + 5x) f(x) = 3x3 + 15x2 – 1x2 – 5x f(x) = 3x3 + 14x2 – 5x f’(x) = 3 · 3x2 + 2 · 14x – 5 f’(x) = 9x2 + 28x - 5

  26. opgave 48d f(x) = 5 - 3(x4 – x)(x + 1) f(x) = 5 – 3(x5 + x4 - x2 – x) f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x f’(x) = 5 · -3x4 - 4 · 3x3 + 2 · 3x + 3 f’(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

  27. Raaklijn en afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 3.5

  28. opgave 50 a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2 f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4x stel k : y = ax + b xA = 4 a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2 dus k : y = 8x - 30 2 = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30

  29. opgave 50 bstel m : y = ax + b xB = -2 a = f’(-2) = 1,5 · (-2)2 – 4 · -2 = 14 dit geeft m : y = 14x + b y = f(-2) = 0,5 · (-2)3 – 2 · (-2)2 + 2 = -10 dus m : y = 14x + 6 -10 = 8 · -2 + b -10 = -16 + b b = 6

  30. Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1 Teken enkele lijnen met rc = 2 Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B. rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x ● -1 0 1 2 3 4 B -1 3.5

  31. opgave 54 f(x) = -x² + 2x + 3 a rcraaklijn = 4 dus f’(x) = 4 f’(x) = -2x + 2 xA = -1 yA = f(-1) = 0 A(-1, 0) b l : y = -6x + 8 rcraaklijn = -6 dus f’(xB) = -6 f’(x) = -2x + 2 xB = 4 yB = f(4) = -5 B(4, -5) y 4 f -2x + 2 = 4 -2x = 2 x = -1 3 k Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde r.c. 2 l 1 -2x + 2 = -6 -2x = -8 x = 4 A x ● -1 0 1 2 3 4 -1

  32. Snelheid en afgeleide De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. y A f(a) rc = f’(a) x O a 3.5

More Related