Series. Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por: Convergencia Serie.

1. Series. Sea una sucesión, entonces una serie, viene dada por: Convergencia Serie. Dada una seria , tal que , entonces: Si existe y es igual a S, entonces la serie Converge a S. Si no existe entonces la serie Diverge.

2. Propiedades de las Series • Dadas las series convergente , y c un número real, entonces las siguientes series también son convergentes, y sus sumas son: • Si es convergente y es divergente, entonces: • es Divergente Importante: Si y son Divergente, entonces no se tiene certeza si es Convergente o Divergente

3. Serie Geométrica. • A toda aquella serie que se puede expresar de la forma: • o • se denomina serie geométrica. • La Convergencia o no de una serie geométrica viene dada por: • Si , entonces la serie Diverge. • Si , entonces la serie Converge y su suma es

4. Serie Telescópica. Es aquella serie que se puede expresar de la forma: La serie telescópica siempre converge a L si . Serie Armónica. Es aquella serie que se puede expresar de la forma: La serie armónica siempre es Divergente.

5. Serie p • A toda aquella serie que se puede expresar de la forma: • se denomina serie p. • La Convergencia o no de una serie p viene dada por: • Si , entonces la serie Diverge. • Si , entonces la serie Converge.

6. Criterio de la Divergencia Si la serie infinita converge, entonces , con lo cual se puede concluir que: Si , entonces la serie es Divergente. Importante: Si no implica que la serie sea Convergente, por lo tanto se debe utilizar otro criterio.

7. Criterio de la Integral Si , tal que f es continua, positiva y decreciente, entonces: y Convergen o Divergen ambas en forma simultanea. Importante: Antes de aplicar el Criterio de la Integral se debe verificar que cumpla con las condiciones iniciales, sino se debe utilizar otro criterio

8. Criterio de Comparación • Si , para todo n entonces: • Si Converge, entonces también Converge. • Si Diverge, entonces también Diverge. Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, no se tiene certeza si la serie converge o no, por lo tanto se debe elegir otro criterio.

9. Criterio de Comparación • Sean y , dos series de términos positivos entonces: • Si , entonces ambas series Converge o Divergen. • Si y Converge, entonces Converge. • Si y Diverge, entonces Diverge.

10. Criterio del Cociente o de la Razón • Sea una serie de términos positivos tal que an es distinto de 0, entonces: • Si , entonces Converge. • Si ó , entonces Diverge. • Si el criterio falla.

11. Criterio de la Raíz • Sea una serie de términos no negativos, entonces: • Si , entonces Converge. • Si ó , entonces Diverge. • Si el criterio falla.

12. Series Alternantes Son aquellas series que poseen términos tanto positivos como negativos en forma alternante. Estas series tienen la forma : ó

13. Criterio de las Series Alternantes • Se dice que una serie alternante es convergente si cumple con las siguientes condiciones: • Sea decreciente para todo n, es decir que se cumpla: Importante: En caso de que no se cumpla alguna de las dos condiciones anteriores, se dice que la serie es Divergente.

14. Convergencia Absoluta Se dice que la serie alternante es absolutamente convergente si es convergente. Convergencia Condicional Se dice que la serie alternante es condicionalmente convergente si es convergente y es divergente.