2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Az E. tér projektív lezárása2.4. Affin transzformációk2.5. Projektív transzformációk

2. Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 2009.08 2

3. 2.1. Koordináta-rendszereink • A Descartes-féle derékszögű koordináták • Polár-koordináták • Gömbkoordináták, henger-koordináták • Baricentrikus koordináták • Homogén koordináták

5. Valószerű ábrázolás A valóság részletei – a képen is A fényképezőgép egyidejűleg végtelen sok pontot Számítógép sorban, egyenként kiválasztott pontokat A képen a párhuzamosok látszólag egy pontba A valóságban nincs ennek megfelelő pont

6. Például: egy sínpár perspektívája X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X és Y tengelyY = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = YZ = [ 0, 0, 1, 0 ] ; Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ] Z tengelyC = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] a kameraF = [ 1, 2, 1, 1 ]; F’ = [ -1, 1, 0, 1] képkeret sarka

8. Az E2 egy „inhomogenitása” • Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre. • F’ =?;E2- ben nincs! ; néha kellene • Legyen !! Az E2 kibővítése:- minden egyenesen van még egy pont,- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt, távolpont)- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

9. Az euklideszi tér „projektív lezárása” • Az euklideszi tér (ponthalmaz) kibővítése ideális pontokkal (halmazával) • E3UI3H3 ; „homogén terünk” • Az euklideszi tér „projektív lezárása” • ( H3 és „homogén terünk” : KG )

10. Homogén koordináták • Az E 2 egy „inhomogenitása” • Az euklideszi tér kibővítése • Homogén koordináták • Homogén  Descartes koordinátákDescartes  Homogén koordináták • „Homogén terünk” szerkezete • A sík homogén koordinátás egyenlete • Miért használunk homogén koordinátákat?

11. A kibővített euklideszi sík • Az E 2projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.) • „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2 [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG] • A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …

12. A kibővített euklideszi tér • Az E 3projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3. („homogén tér”, „ H 3” csak KG) • H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal • A projektív térben: bármely 2 síknak van közös egyenese. . .

13. A kibővített euklideszi tér • Egyenes: „közönséges pontjai” + 1 ideális pontegy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: , • úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak; ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása)megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

14. Homogén koordináták (1) • A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ébenO : közönséges pont; belőle X, Y, Z tengelyek, és E pont • P = (x, y, z)„homogén koordináták” :P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0 • Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!) • Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!

15. Homogén koordináták (2) • A v = (x, y, z) vektorral egyező állású egyenesek ideális pontja:Iv = [ x, y, z, 0 ]; az ideális pont „homogén alakja”,illetve:Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

16. Áttérés a homogén alakra és vissza • Egy feladat leírása (adatai): DKR-ben: • Számítások DKR-ben indulnak, • de ha kell („kényes” műveletek előtt): • áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1] • a „kényes” műveletek homogén alakban; utána • az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása) • visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4). • Az eredmények értékelése DKR-ben.

17. A projektív osztás; vissza a DKR-be • H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  : • ha x40, akkor közönséges pont, és :[x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4), • ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: akkor ideális pont, és~ az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása • !!![0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

18. „Ideális pontok” E3= { (x, y, z) }{ [x, y, z, 1] }; x, y, zR I3 = { [x, y, z, 0] }; x, y, zR H 3 = E3 UI 3; a „kibővített tér”, a „homogén tér” Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja:amely egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban

19. Egyenesek közös pontja

20. „Homogén terünk” szerkezete (olv) • A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R } • Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:Ax,y,z,w= { h ·[ x, y, z, w ]; x,y,z,w,hR , h ≠ 0, }; A homogén tér:H 3 = Ax,y,z,w\ A 0,0,0,0 // A0,0,0,0={ [0,0,0,0] }

21. Miért használunk homogén koordinátákat? • A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik. • A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!) • transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata • A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és 4x4-es mátrixokkal

22. Az egyenes és a sík homogén-koordinátás egyenlete

23. Megjegyzés: homogén = egynemű • Az egyenes homogén egyenlete: ax + by + c = 0 • Pontok homogén koordinátái: [x, y, z, w]

24. Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2) • Az egyenes X = (x, y)  [ x,y,1] pontjára (E2): a · x + b · y + c = 0; a2 + b20; a · x + b · y + c · 1 = 0; • Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h 0

25. Az egyenes homogén koordinátás,homogén implicit egyenlete (H2) • Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja a síkban (h≠0):P = [ x, y, w] T x,y,wnem mind 0 • Egy e egyenes homogén(-koordinátás) alakja: e = [e1, e2, e3]  h·[e1, e2, e3]; (h ≠0),ei nem mind 0 • Az eegyenes egyenlete: az e minden XH2pontjára:e · X = 0, azaz: e1·x+ e2·y + e3·w = 0

26. A sík paraméteres egyenlete (E 3) H 3 Adott: P = (px, py, pz ),Q = (qx, qy, qz ), R = (rx, ry, rz ) X = Q + s · (P - Q) + t· (R - Q) ; s, v R= (1-s-t) ·Q + s ·P + t ·R - a PQR sík minden pontjához található így s,t R, és - minden s,t R-hez tartozik egy XaPQR síkban

27. A sík implicit, homogén egyenlete (E 3) A sík X = (x, y,z)  [x, y,z,1] pontjára: a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c20; a · x + b · y + c · z + d · 1 = 0; „homogén”: (a,b,c,d)  (a,b,c,d) · h; h 0

28. A sík homogén koordinátás homogén, implicit egyenlete • Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):P = [ x, y, z, w] T x,y,z,wnem mind 0 • Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h ≠0): s = [s1, s2, s3, s4]  h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0 • Az s sík egyenlete: az s minden XH3pontjára:s · X = 0, azaz: s1·x+s2·y +s3·z+s4·w = 0

29. Lássunk a koordináták mögé – t.i. • z = 0; mi ez?Egyenlőség, egyenlet, kié-mié?0  x + 0  y + 1  z + 0 = 0sík: z = 0 és akármilyen x, y; az XY sík • x + y = 0 mi az? HF !

30. Nevezetes pontok és síkok homogén alakja -olv • Bármilyen c  0 számmal[0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja,[0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja, • [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík,[0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.