Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Szamotułach ID grupy: 97/74_MF_G1 Opiekun: Daniel Kuzara

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 2 w Szamotułach • ID grupy: 97/74_MF_G1 • Opiekun: Daniel Kuzara • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Konstrukcje geometryczne przy użyciu linijki • Semestr/rok szkolny: • V semestr 2011/2012

3. Konstrukcje GEOMETRYCZNE PRZY UŻYCIU LINIJKI

4. Zasady konstrukcji Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane: • dwie proste • prostą i okrąg • dwa okręgi można znaleźć ich punkty wspólne lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone.

6. Konstrukcje samą linijką Jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrągwraz ze środkiem (twierdzenie Ponceleta-Steinera). Twierdzenie Ponceleta-Steinera - mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych. Nazwa twierdzenia pochodzi od Jeana Ponceleta, który postawił je jako hipotezę w roku 1822 oraz Jakoba Steinera, który udowodnił je w roku 1833.

7. Konstrukcje samym cyrklem Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

8. Twierdzenie mohra-mascheroniego Jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla, pod warunkiem, że ograniczymy się do wyznaczania punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii. Odkryte przez Georga Mohra w roku 1672. Niezależnie odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

9. Konstrukcje klasyczne Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

10. Linijka – mały liniał rysunkowy, prosty przyrząd kreślarski o kształcie prostokąta i przekroju trapezu. Najczęściej z naniesioną podziałką mianowaną, jednostronną. Używana do kreślenia linii prostych.

11. Konstrukcja symetralnej odcinka AB • Dany jest odcinek AB • Wybieramy r > ½ AB • Rysujemy o(A,r) • Rysujemy o(B,r) • Otrzymujemy punkty C i D przecięcia tych okręgów • Rysujemy prostą CD

14. TWIERDZENIE PASCALA Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise'a Pascala w wieku 16 lat. Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenie Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

15. TWIERDZENIE Niech dane będzie sześć punktów A1,A2,A3,A4,A5,A6 leżących na krzywej stożkowej, zaś B1,B2,B3 oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych A1A2 oraz A4A5, A1A6 oraz A3A4, A2A3 oraz A5A6. Wówczas punkty B1,B2,B3 są współliniowe. W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

16. TWIERDZENIE PAPPUSA Twierdzenie Pappusa – ważne twierdzenie geometrii euklidesowej, nazwane od Pappusa z Aleksandrii. Występuje w kilku wersjach:

17. POSTAĆ AFINICZNA Jeśli wierzchołki sześciokąta leżą na przemian na dwóch prostych a i b i dwie pary przeciwległych boków są parami boków równoległych, to również boki trzeciej pary są do siebie równoległe. Płaszczyznę geometrii afinicznej, na której spełnione jest to twierdzenie nazywamy pappusową płaszczyzną afiniczną. Twierdzenie to jest spełnione w szczególności dla płaszczyzny euklidesowej, jednak nie daje się wyprowadzić z oryginalnych postulatów geometrii euklidesowej, co jest dowodem niezupełności tej aksjomatyki.

18. POSTAĆ RZUTOWA Jeśli wierzchołki sześciokąta leżą na przemian na dwóch prostych to punkty przecięcia par prostych zawierających przeciwległe boki są współliniowe. Płaszczyznę geometrii rzutowej na której spełnione jest to twierdzenie nazywamy pappusową płaszczyzną rzutową. W szczególności pappusowymi płaszczyznami rzutowymi są wszystkie płaszczyzny geometrii eliptycznej. Płaszczyzny geometrii hiperbolicznej nie są nigdy pappusowymi płaszczyznami afinicznymi ani rzutowymi, możliwe jest jednak ich zanurzenie w pappusową płaszczyznę rzutową.

19. TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA Twierdzenie Ponceleta-Steinera - mówi, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Jest to najsilniejszy rezultat tego typu, przy pomocy samej linijki nie da się wyciągać pierwiastków kwadratowych.

23. Nasza Strona Internetowa: http://konstrukcjelinijka.dbv.pl/news.php