Nazwa szkoły: Zespół Szkół Nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku ID grupy:

2. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku • ID grupy: • 97/8 _MF_ G1 • Kompetencja: • Matematyczno- Fizyczna • Temat projektowy: • Semestr V / rok szkolny 2011/2012 Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta

3. Prezentacja przygotowana przez grupę, w skład której wchodzą: Problemy ekstremalne w geometrii trójkąta Sierakowska Justyna Umiński Sebastian Wira Daria Wojtowicz Adrianna Żydowicz Aleksandra • Bojanowski Jakub • Jakimiec Adrian • Jurak Grzegorz • Popiel Mateusz • Samborska Emilia pod kierownictwem pani Katarzyny Chmurskiej

4. Spis treści Spis treści • Wprowadzenie. • Trójkąt i jego własności. • Tajemnica pierwsza - trójkąt spodkowy . • Różne elementarne zagadnienia ekstremalne. • Punkt Torricellego. • Mariaż kąta z trójkątem. • Trójkąt i koło. • Bibliografia.

5. Wprowadzenie Wprowadzenie • Czy trójkąt, prawie najprostsza figura geometryczna, może kryć w sobie tajemnice? • Jakie problemy ekstremalne związane są z geometrią trójkąta? • Mamy nadzieję, że nasze odkrycia będą dla osób oglądających tę prezentację ciekawe i może staną się zachętą do osobistych poszukiwań. Zdajemy sobie sprawę, że tematu nie wyczerpaliśmy. Im głębiej zajmowaliśmy się tą problematyką, tym coraz więcej pytań się rodziło. Naszą prezentację zaczynamy od przedstawienia najważniejszych własności trójkąta, które wykorzystywaliśmyw dowodach.

6. Wprowadzenie Wprowadzenie • Na niektóre zagadnienia spojrzeliśmy szerzej, wychodząc poza sam trójkąt. Poszukiwaliśmy też zastosowań problemów związanych z trójkątem w życiu codziennym (bilard, poszukiwania miejsca dla stacji benzynowej). W prezentacji korzystaliśmy z programów komputerowych do nauczania geometrii - Geogebra oraz Cabri II plus. • Cóż...prezentację czas zacząć. • Zapraszamy do świata trójkątów . Ojej, ja tu chyba nie pasuję, nie mam trójkątnej głowy, niedobrze.

7. Trójkąt i jego własności CZĘŚĆPIERWSZA Trójkąt i jego własności.

8. Trójkąt i jego własności TRÓJKĄT • Jest to wielokąt, który ma trzy boki. Własność 1. Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o. Dowód: Poprowadźmy prostą równoległą do boku AC, przechodzącą przez wierzchołek B. Przy wierzchołku B otrzymamy dwa kąty, równe odpowiednio kątom ⦓A i ⦓C, jako kąty naprzemianległe, a te z kolei wraz z kątem ⦓B tworzą kąt o mierze 1800.

9. Trójkąt i jego własności Rodzaje trójkątów • Trójkąty można dzielić ze względu na długość ich boków lub miary ich kątów. • Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: • trójkąt różnoboczny -trójkąt równoramienny -trójkąt równoboczny Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: -trójkąt ostrokątny -trójkąt prostokątny -trójkąt rozwartokątny

10. Trójkąt i jego własności Trójkąt równoramienny • Trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości. Te dwa boki są nazwane ramionami trójkąta, trzeci jego bok podstawą. Kąty przy podstawie są przystające a ich miara jest mniejsza od miary kąta prostego. Trójkąt równoramienny posiada oś symetrii- przecina ona podstawę w połowie długości i przechodzi przez wierzchołek w którym łączą się ramiona. • Oś symetrii pokrywa się z wysokością, środkową, dwusieczną i symetralną opuszczonymi na podstawę.

11. Trójkąt i jego własności Trójkąt równoboczny. • Jest to trójkąt którego wszystkie boki są równe.Każdy jego kąt ma miarę 60˚. Jego obwód ma długość równą 3a, gdzie a jest długością boku trójkąta. Wysokość jest równa: Pole powierzchni jest równe: Długość promienia wpisanego w ten trójkąt wynosi: Długość promienia opisanego na tym trójkącie wynosi:

12. Trójkąt i jego własności Trójkąt równoboczny. • Jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi i dzielą się w stosunku 1:2 • Trójkąt równoboczny to szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. • Jest wielokątem foremnym.

13. Trójkąt i jego własności Wysokość trójkąta • Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z jego rzutem prostokątnym na przeciwległy bok. • Spodkiem wysokości nazywamy ten z końców wysokości, który nie jest wierzchołkiem trójkąta. Własność 2. W dowolnym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie nazywanym ortocentrum.

14. Trójkąt i jego własności Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie • Własność 3.Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

15. Trójkąt i jego własności Symetralne boków trójkąta • Własność 4.Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

16. Trójkąt i jego własności Środkowa w trójkącie • Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem boku przeciwległego. • Własność 5.Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nazywanym środkiem ciężkości trójkąta i dzielą się w stosunku 1:2.

17. Trójkąt i jego własności Nierówność trójkąta. • Własność 6.Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.|AB| < |AC| + |BC|,|AC| < |AB| + |BC|, |BC| < |AB| + |AC|.

18. Trójkąt i jego własności Trójkąt prostokątny • Jest to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. • Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną. • W trójkącie prostokątnym definiuje się funkcje trygonometryczne.

19. Trójkąt i jego własności Trójkąt prostokątny • Jedno z najważniejszych twierdzeń w geometrii – twierdzenie Pitagorasa, związane jest właśnie z trójkątem prostokątnym.

20. Trójkąt i jego własności Trójkąt prostokątny • Popatrzmy na jeden z dowodów twierdzenia.

21. Trójkąt i jego własności Twierdzenie sinusów • W dowolnym trójkącie, stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

22. Trójkąt i jego własności Twierdzenie cosinusów • W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

23. Trójkąt spodkowy CZĘŚĆDRUGA Tajemnica pierwsza - trójkąt spodkowy

24. Trójkąt spodkowy Zagadnienie pierwsze. Na każdym z boków dowolnego trójkąta obierz po jednym punkcie, który będzie wierzchołkiem nowego trójkąta. Znajdź takie położenie tych punktów, aby obwód nowego trójkąta był najmniejszy.

25. Trójkąt spodkowy Jak widać obwód trójkąta zmienia się w zależności od położenia punktów. W końcu udało się nam znaleźć taki, którego obwód jest najmniejszy.

26. Trójkąt spodkowy Co to za szczególne punkty tego trójkąta? Zaczęliśmy stawiać hipotezy: może to środki boków? „Na oko” widać, że nie, ale może nasz rysunek jest niedokładny? Sprawdźmy. WNIOSEK: Nie, obwód trójkąta o wierzchołkach znajdujących się w środkach boków pierwszego trójkąta ma obwód większy.

27. Trójkąt spodkowy Jakie jeszcze znane nam ze szkoły punkty związane są z trójkątem? Znamy jeszcze punkty zwane spodkami wysokości, czyli punkty przecięcia wysokości trójkąta z bokiem. Sprawdzamy. WNIOSEK: Tak, to jest to położenie. Trójkąt, którego wierzchołki są spodkami wysokości wyjściowego trójkąta ma najmniejszy obwód a trójkąt taki nazywa się trójkątem spodkowym.

28. Trójkąt spodkowy Dlaczego to właśnie trójkąt spodkowy jest tym szukanym? Odbijmy oba trójkąty 5 razy względem kolejnych boków dużego trójkąta, jak pokazano na rysunku poniżej. Znajdujemy obraz trójkąta ABC i DEF w symetrii względem boku AB. Analogicznie dalej względem boku A’C’.

29. Trójkąt spodkowy Otrzymamy rysunek poniżej. Zauważmy, że pewne boki trójkątów spodkowych układają się w prostą (dorysowano ją linią przerywaną). Długość drogi z punktu K’ do punktu E, to podwojony obwód trójkąta spodkowego.

30. Trójkąt spodkowy Jeżeli odbijalibyśmy trójkąt o wierzchołkach w innych punktach niż spodki wysokości, otrzymamy taki oto obraz. Jak widać boki wewnętrznych trójkątów nie układają się w prostą, więc droga z punktu K’ do F jest większa, gdyż długość łamanej jest większa niż długość odcinka.

31. Trójkąt spodkowy Wróćmy do trójkąta spodkowego. Dlaczego boki obrazów trójkąta układają się w prostą? Po prawej stronie pogrubioną linią zaznaczono pewien czworokąt. Jest to trapez. Zauważmy, że odcinki D’D oraz E’E są równoległe do siebie – z własności symetrii, ΔDEF i ΔD’E’F’ są przystające. Stąd czworokąt DEE’D’ jest trapezem równoramiennym a odcinki DE’ oraz D’E są jego przekątnymi. Dlatego boki trójkątów spodkowych leżą w jednej linii. Dowód prowadzimy analogicznie dla pozostałych odcinków.

32. Elementarne… Różne elementarne zagadnienia ekstremalne. CZĘŚĆ TRZECIA

33. Elementarne… Problem 3.1. Spośród trójkątów, których dwa boki mają znaną długość, znajdź ten, który ma największe pole. Rozwiązanie:narysowaliśmy trójkąt o dwóch bokach o stałej długości i badaliśmy pole w zależności od jego kształtu.

34. Elementarne… No tak, największe pole ma oczywiście trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są bokami o zadanej długości. Pole trójkąta możemy wyrazić poprzez długości dwóch bokówi wartość sinusa kąta pomiędzy nimi. Przy stałej wartości długości boków, ten trójkąt, który ma największą wartość funkcji sinus, ma też największe pole. Wartość maksymalna funkcji sinus zachodzi dla kąta 900, stąd jest to poszukiwany trójkąt – trójkąt prostokątny.

35. Elementarne… Problem 3.2. Czerwony Kapturek codziennie rano idzie do rzeki po wodę i zanosi wiaderko z wodą do babci. Wyznacz punkt, w którym powinna zaczerpnąć wodę, aby jej droga była najkrótsza.

36. Elementarne… Ta bajkowa historia sprowadza się do poszukiwania najkrótszej drogi z punktu A poprzez punkt C, znajdujący się na prostej i do punktu B. Jak widać droga z punktu A poprzez C do punktu B tworzy łamaną. Czy można tę łamaną „wyprostować”? Tak, znajdźmy obraz punktu B w symetrii względem prostej (rzeki). Długości odcinków CB oraz CB’ są takie same. Jak widać punkty AB’C są wierzchołkami trójkąta. Z nierówności trójkąta Wiadomo, że najkrótsza droga pomiędzy punktami jest równa długości odcinka AB’. WNIOSEK: punkt poboru wody powinien znajdować się w punkcie przecięcia odcinka o końcach w punkcie A i B’ z prostą (rzeką).

37. Elementarne… Problemem tym zajmował się Heron z Aleksandrii. (ok. 10 - ok. 70) – starożytny grecki matematyk, fizyk, mechanik, wynalazca i konstruktor. • Jego największe odkrycia i wynalazki to: • Bania Herona uważana za pierwowzór parowej turbiny • maszyny do czerpania wody • maszyny oblężnicze (trebeusz, katapulta, balista) • wzór na pole trójkąta zwany wzorem Herona • wzory na powierzchnię i objętość innych figur geometrycznych • metody przybliżonego obliczania pierwiastków

38. Elementarne… Problem 3. 2 a.A co by było gdyby rzeki były dwie?

39. Elementarne… Należy postąpić podobnie. Znajdujemy punkt symetryczny do Q względem prostej l a następnie jego obraz w symetrii względem prostej k. Podobnie łączymy punkt P z Q” otrzymując punkt przecięcia D. Z punktu D prowadzimy odcinek do punktu Q’ i znajdujemy punkt przecięcia z prostą l, otrzymując punkt E. Szukana droga, to suma odcinków RD + DE + EQ.

40. Elementarne… Problem 3.2 b – zagrajmy w bilard.Jak uderzyć w bilę, aby ta odbiła się od bandy, następnie odbiła od drugiej i trafiła w drugą bilę leżącą na stole? To zagadnienie podobne do zadania poprzedniego z „dwiema rzekami”, tylko teraz te „rzeki” są równoległe do siebie lub prostopadłe. Rozpatrzmy przypadek, gdy bila ma się odbić od dwóch sąsiednich band.

41. Elementarne… Bandy prostopadłe. 1. Znajdujemy obraz bili w symetrii względem boku BC. 2. Następnie znajdujemy obraz tej odbitej bili w symetrii względem drugiej bandy, czyli prostej CD.

42. Elementarne… Bandy prostopadłe. 3. Łączymy pierwszą bilę z obrazem drugiej bili i znajdujemy punkt przecięcia z bandą – punkt I. 4. Następnie łączymy punkt I z obrazem drugiej bili otrzymanym w symetrii względem boku BC– punkt J.

43. Elementarne… Bandy prostopadłe. 5. Droga bili zielonej biegnie do punktu I, tam bila się odbije i pobiegnie do następnej bandy do punktu J, odbije się i uderzy w bilę czerwoną.

44. Elementarne… Bandy równoległe. Sposób postępowania ten sam: odbijamy dwukrotnie bilę czerwoną względem dwóch band, znajdujemy punkty przecięcia I i J i uderzamy bilę zieloną tak, aby trafiła w bandę w punkcie I itd.

45. Elementarne… Problem 3.3. Dane jest pole P i jeden bok AB trójkąta; spośród wszystkich takich trójkątów znajdź ten, w którym suma pozostałych dwóch boków a i b jest najmniejsza. Rozwiązanie: Pole trójkąta wyraża się wzorem - Budujemy trójkąty o stałej długości podstawy i stałej długości wysokości.

46. Elementarne… Konstruujemy odcinek AB oraz prostopadły odcinek o stałej długości h. Przez punkt E prowadzimy prostą prostopadłą do h. Następnie budujemy trójkąt o wierzchołkach w punktach A, B i E.

47. Elementarne… Zauważamy, że poszukiwany trójkąt, to trójkąt równoramienny Jak uzasadnić znalezione rozwiązanie? Otóż pomocą jest rozwiązanie poprzedniego problemu. Odbijmy punkt B względem prostej k. Najkrótsza droga z punktu A do B’ biegnie wzdłuż odcinka AB’. Punkt E powinien znajdować się w punkcie przecięcia prostej AB’ z prostą k. Ponieważ punkty A i B są równoodległe od prostej k, stąd poszukiwany trójkąt jest równoramienny.

48. Punkt Torricellego. Punkt Torricellego. CZĘŚĆ CZWARTA

49. Punkt Torricellego. Problem 4.1. Wewnątrz trójkąta znaleźć taki punkt, aby suma odległości od wierzchołków trójkąta była najmniejsza.

50. Punkt Torricellego. Stawiamy hipotezy. Może jest to punkt przecięcia się wysokości trójkąta, czyli ortocentrum? Może jest to środek ciężkości? Zdecydowanie nie.