Nazwa szkoły: Centrum Edukacji Ogrodniczej ID grupy: 97/38_MF_G1

2. Nazwa szkoły: • Centrum Edukacji Ogrodniczej • ID grupy: 97/38_MF_G1 • Opiekun: Aleksandra Wierchowicz • Kompetencja: Matematyczno - Fizyczna • Temat projektowy: • Różne własności liczb naturalnych • Semestr/rok szkolny: • V/2011/2012

3. Spis treści1. Określenie liczb naturalnych.2. Trochę historii;3. Oznaczenia;4. Zero;5. Aksjomaty Peano.6. Konstrukcja Fregego – Russela.7. Liczby pierwsze i złożone.8. Metody wyszukiwania liczb pierwszych, Sito Eratostenesa.9. Niektóre rodzaje liczb pierwszych: Liczby bliźniacze; Liczby czworacze; Liczby izolowane; Liczby zaprzyjaźnione;Liczby Sophie Germain Liczby Mersenne’a7. Test Lucasa - Lehmera

4. Spis treści8. Cechy podzielności liczb. • 9. Liczby doskonałe, liczby doskonałe drugiego rodzaju • 10. Liczby zaprzyjaźnione. • 11. Liczby palindromiczne. • 12. Liczby lustrzane. • 13. Liczba złota • 14. Liczby gnomiczne. • 15. Liczby olbrzymy. • 16. Liczby automorficzne.

5. Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. • Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków.

6. Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności i ustalania kolejności, poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). • Słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

7. CeleCelem niniejszego projektu jest jedno z zagadnień teorii liczb, jakim są pewne własności liczb naturalnych, związane z ich dzielnikami, takie jak liczby doskonałe, liczby doskonałe II rodzaju, liczby zaprzyjaźnione, liczby (antypierwsze), itp. • Głównym celem i zadaniem tego projektu będzie po pierwsze znalezienie i zaprezentowanie podstawowych faktów dotyczących omawianych problemów – definicji, metod znajdowania różnych typów liczb i historii ich odkryć, a po drugie – przedstawienie aktualnego stanu wiedzy na ten temat. Jest to też związane z poszukiwaniem największej znanej liczby pierwszej, a dokładniej z poszukiwaniami tzw. liczb pierwszych Mersenne’a.

8. Trochę historiiPierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. • Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

9. Jak oznaczamy liczby naturalneDla liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie , jak i , rzadziej inne.W matematyce określenie "liczby naturalne" oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. Począwszy od wprowadzenia w teorii mnogości modelu von Neumanna liczb naturalnych niektórzy autorzy dołączają do zbioru liczb naturalnych liczbę zero, której odpowiednikiem w tym modelu był zbiór pusty .

10. ZeroPierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później. • W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

11. Definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w. • Giuseppe Peano (ur. 27 sierpnia 1858 w Spinetta, 20 kwietnia 1932 w Turynie) – włoski matematyk i logik.

12. Aksjomaty PeanoDefinicję zbioru liczb naturalnych podał Giuseppe Peano, jako warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:- 0 jest liczbą naturalną; - Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany ; - 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; - Różne liczby naturalne mają różne następniki;a≠b => S(a) ≠ s(b) Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

13. Konstrukcja Fregego-Russela Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russelladefiniuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

14. Liczby pierwsze i złożoneLiczbę naturalną większą od 1, która ma dokładnie 2 podzielniki (jeden i samą siebie) nazywamy liczbą pierwszą. • Liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. • Ze względu na liczbę dzielników możemy więc wszystkie liczby naturalne podzielić na trzy rozłączne podzbiory: • Zbiór Opis

15. Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej • z zestawienia materiału objętego programem szkolnym dla szkół podstawowych: • M. Dobrowolska, M. Karpiński, P. Zarzycki, Matematyka 5 - Podręcznik dla klasy V szkoły podstawowej, GWO, Gdańsk 2000, str. 28: • Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . Liczbę naturalną różną od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... . Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone.

16. Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej • z zestawienie materiału objętego programem szkoły średniej: • R. Leitner, W. Żakowski, Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie, WNT, Warszawa 1974 (wyd. 10) , str. 48: • Liczbę naturalną n > 1 nie mającą innych podzielników prócz 1 i n nazywamy liczbą pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Liczbę naturalną n > 1 nie będącą liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną, np.: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... Liczby 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych ani do liczb złożonych

17. Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej • z zestawienia materiału objętego programem szkolnym dla szkół podstawowych: • M. Dobrowolska, M. Karpiński, P. Zarzycki, Matematyka 5 - Podręcznik dla klasy V szkoły podstawowej, GWO, Gdańsk 2000, str. 28: • Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . Liczbę naturalną różną od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... . Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone.

18. Inne źródła wiedzy: Mały słownik matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1967, str. 146: liczby pierwsze: liczby naturalne n > 1, które mają tylko dwa dzielniki naturalne: 1 oraz n. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są pierwsze • Z. Muzyczka, M. Kordos Słownik szkolny. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996, str. 85: liczby pierwsze, liczby naturalne mające dokładnie dwa podzielniki naturalne. • Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, str. 122: liczby pierwsze: liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do l. p. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n.

19. Wreszcie podręczniki akademickie: •  W. Sierpiński Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1968 (wyd. 4), str. 86: Liczbę naturalną p większą od jedności nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli p ma tylko dwa dzielniki (mianowicie 1 i p). Na to więc, żeby liczba naturalna p była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby spełniała równanie (p) = 2. Tutaj (n) jest liczbą dzielników naturalnych liczby n. • Wł. Narkiewicz Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977, str. 12: • Każda liczba naturalna n > 1 ma przynajmniej dwa dzielniki naturalne - liczby 1 i n. Jeśli nie ma innych, to mówimy, że n jest liczbą pierwszą. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Liczby n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, nazywamy liczbami złożonymi.

20. Metody wyszukiwania liczb pierwszych • Około roku 200 p.n.e. grecki matematyk Eratostenes podał algorytm na znajdowanie liczb pierwszych. Mimo zaproponowania bardzo prostego algorytmu do dnia dzisiejszego matematyka nie zna lepszego sposobu na uzyskanie liczb pierwszych. • Eratostenes kojarzył się będzie z sitem liczb pierwszych. Tak jak rolnik odsiewa wartościowe ziarno do bezużytecznych plew, tak Eratostenes używał swego sita do oddzielenia cennych liczb pierwszych, od ich zwyczajnych, złożonych.

21. (Eratostenes z Cyreny) urodził się w 276 roku p.n.e, zmarł w 194 p.n.e. Był greckim uczonym, filozofem ,matematykiem, astronomem, geografem oraz poetą. Jego osiągnięcia to oszacowanie średnicy Ziemi raz odległości od Słońca i Księżyca, pomiar kąta nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego, propozycja wprowadzenia roku przestępnego, metoda znajdowania liczb pierwszych nazwana na jego cześć sitem Eratostenesa. Kierował biblioteką w Aleksandrii.

22. Oto jak powstaje sito. Wypisujemy kolejne liczby naturalne (z przedziału dla którego chcemy znaleźć liczby pierwsze – np. od 0 do 100),

23. Zadanie polega na tym, iż stajemy na 2 (omijamy 1, która nie jest ani pierwsza ani złożona) i od 2 (którą zaznaczamy w kółeczko) skreślamy co drugą liczbę. Następnie na 3 (którą zaznaczamy w kółeczko) i od 3 skreślamy co trzecią liczbę. • Na 4-ce nie stajemy, bo została skreślona (przy 2 i kroku dwa) Dalej na piątce i tak dalej aż zakreślimy wszystkie liczby.

24. Zakreślone (w kółko) w ten sposób liczby to liczby pierwsze z przedziału od 0 do 100.

25. Natomiast metoda, która daje odpowiedź na pytanie czy dana liczba naturalna jest pierwsza, czy nie – nosi nazwę testu pierwszości. Wśród takich metod praktyczne zastosowanie mają testy probabilistyczne, to znaczy takie, które pozwalają określić pierwszość liczby z dostatecznie dużym prawdopodobieństwem np: test pierwszości Millera-Rabina, test pierwszości Solovaya-Strassena.

26. Test pierwszości • Test pierwszości to algorytm określający czy dana liczba jest pierwsza czy złożona. Nie jest to równoważne znalezieniu jej rozkładu na czynniki pierwsze. W obecnej chwili (2011 rok) nie są znane efektywne algorytmy rozkładu na czynniki pierwsze, natomiast testy pierwszości można przeprowadzać bardzo szybko.

27. Metoda naiwnaNajprostszy test pierwszości wygląda następująco: dla danej liczby n sprawdzamy czy dzieli się ona kolejno przez 2, 3, aż do n-1. Jeśli przez żadną z nich się nie dzieli, oznacza to, że jest pierwsza. • Zamiast testować wszystkie liczby do n-1, wystarczy sprawdzać podzielność n przez liczby mniejsze lub równe . • Kolejne udoskonalenie polega na sprawdzaniu podzielności n jedynie przez liczby pierwsze mniejsze lub równe . Ich listę łatwo możemy uzyskać metodą sita Eratostenesa. • Metoda ta niestety wciąż wymaga wykonania dużej ilości () dzieleń, co oznacza, że już dla 50-cyfrowych liczb pierwszych jest niewykonalna na współczesnych komputerach.

28. Testy probabilistyczne • Obecnie najbardziej efektywne i najczęściej stosowane są testy probabilistyczne. Korzysta się w nich z losowo wygenerowanych liczb z ustalonego przedziału – pewien dobór tych wartości może dać błędny wynik testu, ale przy wybraniu wystarczająco wielu z nich prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest znikome. • Przebieg testu probabilistycznego wygląda następująco: • Wybierz losowo liczbę a • Sprawdź pewne równanie zawierające a oraz zadaną liczbę n. Jeśli okaże się fałszywe, zwróć wynik n jest złożona. Wartość a jest wtedy świadkiem złożoności i test można zakończyć. • Powtarzaj całą procedurę aż uzyskasz wystarczającą pewność. • Jeśli w wystarczająco wielu próbach nie uda się stwierdzić złożoności n, test zwraca odpowiedź: n jest prawdopodobnie pierwsza.

29. Liczby pierwsze możemy również odszukiwać za pomocą wzorów • Legendre podał wzór , który daje liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=28 • Euler wskazał wzór dający liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=39 • Escott zastępując we wzorze Eulera x przez x-40 otrzymał wyrażenie ,które przy wartościach od x=0 do x=39 daje liczby pierwsze • Wzór dla k=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 daje liczby pierwsze. Przy k=37 wzór zawodzi dając liczbę 45 812 984 491, która jest iloczynem liczby 1777 przez 25 781 083.

30. Rodzaje liczb pierwszych- Liczby bliźniaczeSą to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.  • Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych: • jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". • Ciekawostka:Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 545ˇ26 625-1,  260 497 545ˇ26 625+1).

31. Liczby zaprzyjaźnione Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A. Takimi liczbami "przyjaciółkami" są  liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220=1+2+4+71+142, a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.

32. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych: A B 220 2841184 1 210 2620 2 924 5050 5 564 6232 6 368 10744 10 856 12285 14 595 17296 18 416 63020 76 084 66928 66 992 9363584 9 437 056 Ciekawostka:Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263!

33. Liczby czworacze – liczby pierwsze mające postać: Czyli pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie – zauważmy przy tym, że określenie liczby czworacze w odniesieniu do liczb postaci nie miałoby sensu, bowiem z trzech (a więc tym bardziej czterech) kolejnych liczb nieparzystych co najmniej jedna jest podzielna przez 3. Łatwo zauważyć, że ostatnimi cyframi liczb czworaczych są odpowiednio: 1, 3, 7 i 9.

34. Liczby izolowane • Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

35. Liczby Sophie Germain Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą. Np.: 5, 11, 23, 29. Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwo trafienia na liczbę Sophie Germain wsród n początkowych liczb pierwszych dąży do zera (dla n dążącego do nieskończoności).

37. W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych postaci 2n - 1. Stwierdził, że 2n - 1 jest liczbą pierwszą dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 i nie jest nią dla żadnej inne wartości n mniejszej od 257. Przez następne dwa wieki nikt nie był wstanie tego potwierdzić ani zaprzeczyć.

38. Marin Mersenne (filozof, matematyk, popularyzator nauki) był franciszkańskim mnichem, który przeżył większą część swojego życia w paryskich klasztorach.

40. Test Lucasa – LehmeraTest pierwszości dla liczb Mersenne'a. Test jest bardzo szybki i bardzo prosty. Właśnie przy jego użyciu znaleziono największe liczby pierwsze. Test wymaga jak najszybszego algorytmu mnożenia np. szybkiej transformaty Fouriera.

41. Niech M oznacza liczbę Mersenne'a dla pewnej nieparzystej liczby pierwszej P (tzn. liczby pierwszej większej od 2). Definiuje się następujący ciąg liczb naturalnych Sk: • Test Lucasa-Lehmera orzeka, że liczba Mp jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dzielnikiem wyrazu o numerze (p-2) w tym ciągu, co krótko zapisuje się kongruencją: • Resztę z dzielenia liczby przez nazywa się residuum Lucasa-Lehmera liczby P. Istotę testu można zatem streścić sformułowaniem: • liczba Mersenna jest pierwsza wtedy, i tylko wtedy, gdy residuum Lucasa-Lehmera liczby P równe jest zeru.

42. Przykład zastosowania testu lucasaRozważmy M7 = 127 • S1 = 4 • S2 = 42 −2 = 14 • S3 = 142 −2 = 194 ≡ 67 (mod 127) • S4 ≡ 672 −2 = 4487 ≡ 42 (mod 127) • S5 ≡ 422 −2 = 1762 ≡ 111 (mod 127) • S6 ≡ 1112 −2 = 12319 ≡ 0 (mod 127) • liczba M7 = 27−1 = 127 jest liczbą pierwszą.

43. Cechy podzielności liczbCzasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem. • A oto niektóre z nich:

44. Cecha podzielności przez 2Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0. • Przykład • Liczba 5434567860 jest podzielna przez 2, ponieważ jest parzysta (ostatnia cyfra liczby wynosi 0)

45. Cecha podzielności przez 3 • Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. • Przykład • Liczba 26348671893 jest podzielna przez 3, ponieważ suma cyfr: 2 + 6 + 3 + 4 + 8 + 6 + 7 + 1 + 8 +9 + 3 = 57 jest podzielna przez 3.

46. Cecha podzielności przez 4 • Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2. • Przykład • Liczba 4234557780 jest podzielna przez 4, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: 80 jest podzielna przez 4.

47. Cecha podzielności przez 5 • Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. • Przykład • Liczba 928463870 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

48. Cecha podzielności przez 6 • Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. • Przykład • Liczba 26348671890 jest podzielna przez 6, ponieważ jest parzysta i suma cyfr: 2 + 6 + 3 + 4 +8 + 6 +7 +1 + 8 + 9 + 0 = 54 jest podzielna przez 3.

49. Cecha podzielności przez 7 • Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7. Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 tą metodą, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry (o ile posiada) i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 - to liczba wyjściowa, także dzieli się przez 7. • Przykład • Liczba 123456790 jest podzielna przez 7, ponieważ suma 790 - 456 + 234 - 1 = 567 jest podzielna przez 7.

50. Cecha podzielności przez 8 • Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2. • Przykład • Liczba 1234567248 jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr 248 jest podzielna przez 8.