Dalle potenze ai numeri binari

1. Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I grado A.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: AritmeticaRealizzato dal prof. Aurelio Nardelli Dalle potenze ai numeri binari

2. La potenza di un numero Cimentatevi con il seguente rompicapo. In una città vi sono 7 strade, su ciascuna delle quali si affacciano sette palazzi di sette piani; a ogni piano abitano sette famiglie, ciascuna composta da sette persone; se ogni persona mangia sette biscotti al giorno, quanti biscotti verranno consumati in sette settimane?

3. La potenza di un numero La soluzione del problema è più facile di quando non sembri a prima vista. Si ha infatti: Il numero di strade è: 7 Il numero di palazzi è: 7x7=49 Il numero dei piani è: 7x7x7=343 Il numero delle famiglie è: 7x7x7x7=2401 Il numero delle persone è: 7x7x7x7x7=16807 Il numero dei biscotti consumati al giorno è: 7x7x7x7x7x7=117649 Il numero di biscotti consumati alla settimana è: 7x7x7x7x7x7x7=823543 Il numero di biscotti consumati complessivamente in sette settimane è: 7x7x7x7x7x7x7x7=5764801

4. La potenza di un numero Se consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero 7 per se stesso 8 volte. L' operazione consistente nel calcolare il prodotto di fattori tutti uguali fra loro si chiama elevamento a potenza. Il fattore che si ripete viene detto base; il numero dei fattori esponente. Definizione: La potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero detto base, quanti ne indica l'esponente

5. Le proprietà delle potenze I proprietà Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. prodotto di potenze somma degli esponenti 3 4 3+4 7 3 ∙ 3 = 3 = 3 stessa base

6. Le proprietà delle potenze II proprietà Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. quoziente di potenze differenza degli esponenti 6 4 6-4 2 7 : 7 = 7 = 7 stessa base

7. Le proprietà delle potenze III proprietà La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. potenza di potenze prodotto degli esponenti 2 3 2∙3 6 (3 ) = 3 = 3 stessa base

8. Le proprietà delle potenze IV proprietà Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. stesso esponente 4 4 4 4 6 ∙ 3=(6∙3) = 18 prodotto di potenze prodotto delle basi

9. Le proprietà delle potenze V proprietà Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. stesso esponente 4 4 4 4 6 : 3=(6:3) = 2 quoziente di potenze qoziente delle basi

10. Le potenze con 0 e 1 I caso Una potenza di qualsiasi numero naturale diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale a 1 potenza con esponente zero 0 7 = 1

11. Le potenze con 0 e 1 II caso Una potenza con esponente uno è sempre uguale alla base stessa Regole: » Le potenze del numero 1 sono sempre uguali a 1 qualunque sia l'esponente. » Le potenze del numero 0, con esponente diverso da zero,sono sempre uguali a 0. » La potenza 0 non ha significato potenza con esponente 1 1 6 = 6 0

12. La notazione scientifica La notazione scientifica di un numero consiste nella sua scrittura sotto forma di espressione in cui il valore posizionale di ciascuna cifra è dato dalla potenza del 10 corrispondente 0 10 = 1 10 = 10 10 = 100 10 = 1 000 10 = 10 000 10 = 100 000 10 = 1 000 000 10 = 10 000 000 10 = 100 000 000 10 = 1 000 000 000 10 = 10 000 000 000 Per capire meglio l'utilità di questa scrittura consideriamo le potenze di 10 1 2 3 Possiamo vedere che i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall’esponente. 4 5 6 7 } esponente 5 5 zeri 8 9 5 10 = 100000 10

13. La notazione scientifica Ora, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale. Vediamo come fare. Consideriamo il numero 4 567 703 Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale: 4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1 Considerato quanto abbiamo detto all’inizio, dalla scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale. 6 5 4 3 2 1 0 4 x 10 + 5 x 10 + 6 x 10 + 7 x 10 + 7 x 10 + 0 x 10 + 3 x 10

14. La notazione scientifica Di seguito riportiamo un esempio con il quale si capisce la maggiore sinteticità della notazione scientifica rispetto alla scrittura per esteso di un numero molto grande.. Distanza terra – luna Scrittura estesa: Notazione scientifica: 390 000 Km 5 3,9 x 10 Km Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi numeri che terminano tutti con uno o più zeri. Esempi 10 80 000 000 000 = 8 x 10 13 25 000 000 000 000 = 2,5 x 10

15. La numerazione binaria Il sistema di numerazione che noi utilizziamo prende il nome di sistema decimale. Questo perché esso è caratterizzato dal fatto che 10 unità di un dato ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore. Il numero 10 è la base del sistema. I numeri inferiori al 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) servono per rappresentare tutti i possibili numeri. Il sistema decimale non è però il solo esistente. Un altro sistema di numerazione è quello binario. Tale sistema, utilizzato dai sistemi elettronici (es. computer), è caratterizzato dal fatto che 2 unità di un dato ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore. Questo sistema utilizza solo due simboli: i numeri 0 e 1 . I numeri inferiori al 2 (0,1) servono per rappresentare tutti i possibili numeri.

16. La numerazione binaria E' possibile costruire la tabella del sistema binario nel modo seguente: » i numeri 0 e 1 si scrivono come nella numerazione decimale; » per rappresentare il numero successivo (2), si scrive il numero 1 nella colonna delle Coppie e lo 0 nella colonna delle Unità; (si legge uno zero) » per rappresentare il numero 3, si scrive il numero 1 nella colonna delle Coppie e il numero 1 nella colonna delle Unità; (si legge uno uno) » per rappresentare il numero 4, si scrive il numero 1 nella colonna delle Quaterne, il numero 0 nella colonna delle Coppie e il numero 0 nella colonna delle Unità; (si legge uno zero zero). Così via per tutti gli altri numeri decimali.

17. La numerazione binaria Dalla base 2 alla base 10 La conversione di un numero dalla base 2 alla base 10 può essere effettuata tramite scrittura polinomiale. Per fare ciò basta calcolare le somme relative ai prodotti delle potenze crescenti di due Esempi (1011) = 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ = 11 2 4 (11011) = 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ + 1·2 = 27 2

18. La numerazione binaria Dalla base 10 alla base 2 La conversione di un numero dalla base 10 alla base 2 può essere effettuato tramite il metodo delle divisioni successive. Per fare ciò basta dividere il numero decimale dato fino a quando l'ultimo quoziente è uguale a 0 Esempio Trasformare il numero 37 dalla base 10 alla base 2: 37 : 2 = 18 resto 1 18 : 2 = 9 resto 0 9 : 2 = 4 resto 1 4 : 2 = 2 resto 0 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto 1 Prendendo la successione dei resti nell'ordine inverso abbiamo che: 37 = (100101) 2

19. Le quattro operazioni nel binario L'addizione L'addizione tra due o più numeri binari si esegue come una normale addizione. Bisogna però ricordare che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore. Esempio Vogliamo sommare tra loro i numeri binari 10011 e 10001 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 19 e 17. 1 1 riporto I addendo 10011 + II addendo 10001 = somma 1 0 0 1 0 0

20. Le quattro operazioni nel binario La sottrazione Anche la sottrazione tra due numeri binari si esegue come una normale sottrazione. Bisogna però tenere conto che ogni volta che si deve sottrarre dalla cifra 0 la cifra 1, occorre CHIEDERE IN PRESTITOuna unità alla cifra di ordine immediatamente superiore e che essa vale 2 unità dell'ordine immediatamente inferiore. Esempio vogliamo sottrarre al numero binario 11101 il numero binario 1110 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 29 e 14. 10 prestito minuendo 11101 + sottraendo 1110 = differenza 1 1 1 1

21. Le quattro operazioni nel binario La moltiplicazione La moltiplicazione tra due o più numeri binari si esegue come una normale moltiplicazione, ricordando però che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore. Esempio vogliamo moltiplicare il numero binario 111 con il numero binario 101 che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 7 e 5. I fattore 111 x II fattore 101 = 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 riporto prodotto 1 0 0 0 1 1

22. Le quattro operazioni nel binario La divisione Anche nel caso della divisione tra due numeri binari si applicano le regole consuete della divisione, ricordando sempre che 2 unità di un dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore. Esempio vogliamo dividere il numero binario 111100 con il numero binario 100che indicano, rispettivamente, i numeri decimali 60 e 4. » Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e dividiamo per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111 - 100 = 11. » Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 111- 100 = 11. » Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 110- 100 = 10. » Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100 per 100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100. Eseguiamo 100- 100 = 0.