AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 2)

1. AUTOMATYKAiROBOTYKA(wykład 2) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału:WIMiRNazwa katedry:Katedra Automatyzacji Procesów AGH

2. Przekształcenie Laplace’a • Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a „s”. • Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje się konieczne przekształcenia • Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.

3. Definicja transformaty Laplace’a Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek: dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki: £ Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem s =σ + jω .

4. Podstawowe twierdzenia 1.Liniowość: £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe 2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej: £

5. Podstawowe twierdzenia cd. 3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej: £ • pierwsza pochodna: £ • druga pochodna: £

6. Podstawowe twierdzenia cd. 4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) £ 5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) £

7. Podstawowe twierdzenia cd. 6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej £ T jest stałą 7. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s) £ T jest stałą

8. Podstawowe twierdzenia cd. 8. Zmiana skali: £ ,a jest stałą dodatnią 9. Splot funkcji (twierdzenie Borela): £{f1(t) * f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £

9. Przykład wyznaczania transformaty z definicji Dana jest funkcja liniowo narastająca: Wtedy z definicji można zapisać: Przy wyznaczaniu całki zastosowana została metoda całkowania przez części: gdzie u=At oraz dv=e-stdt

10. Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji

11. ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY LAPLACE'A DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Etapy: 1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę s przez transformatę Laplace'a przy użyciu tablicy transformat. 2. Przekształcanie transformowanego równania algebraicznego i jego rozwiązywanie. 3. Rozkładu transformowanego równania algebraicznego na ułamki proste. 4. Wyznaczenie odwrotnej transformaty Laplace'a z tablicy transformat.

12. Przykład 1 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s. Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równań różniczkowych: Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:

13. Przykład 2 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s. Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równania różniczkowego: Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:

14. ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE Dana jest funkcja: gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy założeniu, że rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być zapisany następująco: gdzie a0 , a1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.

15. Bieguny funkcji G(s) są jednokrotne gdzie s1 ≠ s2 ≠…≠ sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący: Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki (i = 1, 2, ..., n). Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.

16. Przykład Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Zapisujemy podaną funkcję w następującej postaci: Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano: Przekształcając: Porównując współczynniki równania: Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy:

17. Przykład cd. Po podstawieniu otrzymujemy:

18. Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy niż stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika C-liczba całkowita

19. Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów Tzw. metodą residuów, polega na obustronnym pomnożeniu wyrażenia G(s) przez (s-si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie współczynnika Ki. Odbywa się następująco:

20. Przykład Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuów) funkcję operatorową: Rozwiązanie:

21. Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej G(s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas można zapisać: W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) może być wyrażona w sposób: współczynniki A1 , A2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą zostać wyznaczone metodą (klasyczną) podaną dla poprzedniego przypadku.

22. Przykład Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Rozwiązanie: Funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na ułamki proste odbywa się według zależności: Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano : Po uporządkowaniu:

23. Przykład cd. Porównując współczynniki równania otrzymujemy: Rozwiązanie układu: Po rozłożeniu na ułamki proste funkcja G(s) zapisujemy w postaci::

24. Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne-metoda residuów • Współczynniki wyznaczane są w następujący sposób: ……………………………………………….

25. Przykład Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Rozwiązanie:

26. Funkcja G(s) ma bieguny zespolone W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci: gdzie: b, c – stałeoraz Rozkładając tego typu funkcję na ułamki proste, funkcję G(s) zapisujemy:

27. Przykład Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową: Otrzymujemy rozwiązanie:

28. Przykład cd. Po rozłożeniu na ułamki proste podana transmitancja przyjmuje postać: albo:

29. Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru: £-1 gdzie c jest stałą . Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.

30. Przykład 1 Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s): Odczytując wprost z tablicy transformat: i z własności transformat ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”: £

31. Przykład 1 cd. Transformata odwrotna (czyli oryginał ) funkcji ma następującą postać:

32. Przykład 2 Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s): Po rozłożeniu na ułamki proste:

33. Przykład 2 cd. Składnik należy obliczyć następująco: Korzystamy z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”: £ Otrzymujemy: Wyznaczony oryginał:

34. Przykład 3 Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s): Oryginał pierwszego składnika: Drugi składnik należy przekształcić w następujący sposób: Korzystając z własności „Liniowość” £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s) Otrzymano:

35. Przykład 3 cd. Korzystając z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”: £ Otrzymujemy: Odwrotna transformata:

36. Przykład 4 Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniższym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a. Rozwiązanie: Podaną funkcję zapisujemy: Albo f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)} Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy: