1 / 61

Teori Antrian Antrian M/M/1

Teori Antrian Antrian M/M/1. Hendrawan hend@telecom.ee.itb.ac.id. Outline. Motivasi Introduksi sistem antrian Elemen sistem antrian Notasi sistem antrian Background Proses kedatangan dan keberangkatan Little’s law Antrian M/M/1 Penurunan dan Hasil Aplikasi utk analisa multiplexing.

ezra
Download Presentation

Teori Antrian Antrian M/M/1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Teori AntrianAntrian M/M/1 Hendrawan hend@telecom.ee.itb.ac.id

  2. Outline • Motivasi • Introduksi sistem antrian • Elemen sistem antrian • Notasi sistem antrian • Background • Proses kedatangan dan keberangkatan • Little’s law • Antrian M/M/1 • Penurunan dan Hasil • Aplikasi utk analisa multiplexing

  3. Dasar Antrian • Pelanggan (customer) tiba untuk pelayanan, dan jika semua pelayan (server) sibuk, pelanggan diantrikan dan dilayani kemudian • Parameter: Kecepatan kedatangan (arrival rate), kecepatan pelayanan (service rate), jumlah pelayan (server) • Pengukuran: waktu tunggu, waktu pelayanan, waktu di dalam sistem, utilisasi server, jumlah pelanggan dalam antrian, jumlah pelanggan dlm sistem, ...

  4. Dasar Antrian • Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks • Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain • Process networks • Switching networks

  5. Resource Sharing Networks • Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) • Statistical Multiplexer/Concentrator • Packet-based (Packets: links) • Channel-based (Calls: channels) • Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium)

  6. Resource Sharing Networks • Ukuran performansi • Waktu tunggu • Probabilitas blocking • Pertanyaan • Bagaimana relasi antara jumlah user, pola penggunaan, jumlah resource dan performansi? • Apakah resource dimanfaatkan secara adil (fair)?

  7. Process Networks • Multi-stage switch • Distributed simulation system • Manufacturing process

  8. Process Networks • Ukuran performansi • Waktu penyelesaian (delay) • Throughput (penyelesaian persatuan waktu) • Pertanyaan • Bagaimana performansi dipengaruhi oleh pola penggunaan berbeda? • Proses mana yg menjadi “bottlenecks” yg membatasi performansi? • Apakaha input berbeda diperlakukan secara adil dalam hal performansi?

  9. Switching Networks • Jaringan telepon (telepon: circuit switches) • Jaringan signaling telepon (switches; STP) • Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) • Internet (komputer: router)

  10. Switching Networks • Ukuran performansi • Delay (end point to end point) • Throughput • Utilization • Blocking probability • Loss • Pertanyaan • Topologi jaringan yg terbaik? • Bagaimana me-routekan? • Bagaimana menjamin kualitas pelayanan (QOS)?

  11. Apa yang Bisa Dipelajari? Faktor • Jumlah pelanggan • Pola penggunaan (workload) • Karakteristik service • Jumlah resource • Performansi • Waktu tunggu • Blocking • Loss

  12. Elemen-Elemen Antrian

  13. Model Dasar • Pelanggan dari suatu populasi tiba pada sistem dg waktu kedatangan random •  adalah rate kedatangan pelanggan • Sistem antrian mempunyai c server identik • Pelanggan ke-j meminta pelayanan dan akan memerlukan sj unit waktu pelayanan dari satu server • Jika semua server sibuk, pelanggan yg datang bergabung dlm antrian sampai tersedia server

  14. Model Dasar • Disiplin pelayanan menspesifikasikan urutan dimana pelanggan dipilih dari antrian • Contoh: FIFO, LIFO, priority, random, … • Waktu tunggu tQj adalah waktu diperlukan pelanggan ke-j antara memasuki sistem dan memasuki pelayanan • Total delay dari sistem j = tQj + sj • n = jumlah pelanggan dlm sistem • suatu random variable • nq = jumlah pelanggan dlm antrian • suatu random variable

  15. Notasi Antrian a/b/m/K • a = tipe proses kedatangan • M (Markov) menunjukan kedatangan Poisson, shg waktu antar kedatangan iid exponential random variables • b = service time distribution • M (Markov) menunjukan distribusi eksponensial • D (Determistic) menunjukan service time konstan • G (General) menunjukan iid service times mengikuti suatu general distribution

  16. Notasi Antrian a/b/m/K • m = jumlah server • K = jumlah maksimum pelanggan yg dibolehkan dlm sistem

  17. Background: Proses Poisson • Kedatangan terjadi dg rate  • Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+t]] =  t • Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+t]] = 1 -  t • Dg membuat t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson

  18. Distribusi Kedatangan • Pn(t) = P[Jumlah kedatangan sampai saat t = n]

  19. Jumlah Kedatangan • Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t • Mean • Variance

  20. Kelayakan Apakah proses Poisson cukup layak digunakan? • Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket) sehingga • Users serupa • Users independen

  21. Kelayakan • Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson • Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) =  • Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{  s} dan independen • Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate  dg n  

  22. Waktu Antar Kedatangan • Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson • T adalah random variables • Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables • Fungsi distribusi dan densitas utk distribusi eksponensial

  23. Memoryless Property • Distribusi eksponensial adalah memoryless • Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t • Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan • Untuk waktu service • Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai

  24. Memoryless Property • Utk waktu antar kedatangan • Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi • Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless • Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric

  25. Markov Property • Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1 • Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t

  26. Markov Property • Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu • Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space

  27. Markov Property • Jika kita tahu sistem ada dlm state a pd saat tk, probabilitas transisi ke state lainnya pd saat tk+1 dp ditentukan • tidak perla tambahan informasi masa lalu

  28. Little’s Law • Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dg rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm sistem (antrian)

  29. Little’s Law • Misalkan • Rate kedatangan () • Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian nQ(t), jumlah dlm pelayanan nS(t) • Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian Q, waktu dlm pelayanan s • Relasi parameter-parameter dg Little’s Law • Jumlah dlm sistem : E[n] = .E[] • Jumlah dlm antrian : E[nQ] = .E[Q] • Jumlah dlm service :  = E[nS] = .E[s]

  30. Utilisasi • Utilisasi dari sistem single server • Utilisasi dari sistem c-server

  31. In-Class Exercise • Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu?

  32. Saluran Transmisi

  33. Saluran Transmisi • Parameter •  adalah rate kedatangan • NQ adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan) • W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi) • Little’s law memberikan NQ = .W • Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi  (rata-rata jumlah transmisi paket)  = .X

  34. Saluran Transmisi • Perhatikan kasus dimana • 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan • jika  > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani • Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang •  > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil

  35. Network of Transmission Lines

  36. Network of Transmission Lines • Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate 1, 2, … ,m • N adalah jumlah paket total dlm jaringan • Little’s law memberikan delay rata-rata per paket

  37. Network of Transmission Lines • Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket • Juga utk node i, Ni = iTi

  38. Antrian M/M/1 • Antrian tunggal (single queue) • Server tunggal (single server) • Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate  per-detik • Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/ detik • Buffer tak terbatas

  39. Markov Chain • Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp diekspresikan sbg continuous-time Markov chain

  40. Probabilty Flux • Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi • Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi • Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan • Menuju pd global balance equations

  41. Global Balance • Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n • Dynamic equilibrium

  42. Global Balance Equations • Global balance equation utk antrian M/M/1 • Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut

  43. Local Balance • Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A • Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1

  44. Local Balance Equations • Persamaan local balance utk anrian M/M/1

  45. Menyelesaikan Local Balance Equations • Pers local balance menghasilkan n-1 rekursi berikut

  46. Menyelesaikan Local Balance Equations • Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’

  47. Menyelesaikan Local Balance Equations • Dg  = / dan menggunakan identitas berikut • Maka

  48. Hasil • Jika  = / < 1 , kita dp • Utilisasi • Mean dari jumlah pelanggan, n

  49. Hasil • Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem • Dan waktu rata-rata dlm antrian

  50. Hasil • Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian

More Related