700 likes | 1.63k Views
Teori Antrian Antrian M/M/1. Hendrawan hend@telecom.ee.itb.ac.id. Outline. Motivasi Introduksi sistem antrian Elemen sistem antrian Notasi sistem antrian Background Proses kedatangan dan keberangkatan Little’s law Antrian M/M/1 Penurunan dan Hasil Aplikasi utk analisa multiplexing.
E N D
Teori AntrianAntrian M/M/1 Hendrawan hend@telecom.ee.itb.ac.id
Outline • Motivasi • Introduksi sistem antrian • Elemen sistem antrian • Notasi sistem antrian • Background • Proses kedatangan dan keberangkatan • Little’s law • Antrian M/M/1 • Penurunan dan Hasil • Aplikasi utk analisa multiplexing
Dasar Antrian • Pelanggan (customer) tiba untuk pelayanan, dan jika semua pelayan (server) sibuk, pelanggan diantrikan dan dilayani kemudian • Parameter: Kecepatan kedatangan (arrival rate), kecepatan pelayanan (service rate), jumlah pelayan (server) • Pengukuran: waktu tunggu, waktu pelayanan, waktu di dalam sistem, utilisasi server, jumlah pelanggan dalam antrian, jumlah pelanggan dlm sistem, ...
Dasar Antrian • Single queue system biasa digunakan utk merepresentasikan shared resource networks • Network of queues biasa digunakan utk merepresentasikan tipe jaringan yg lain • Process networks • Switching networks
Resource Sharing Networks • Time-shared computers (Programs: CPU/DISK/IO) • Statistical Multiplexer/Concentrator • Packet-based (Packets: links) • Channel-based (Calls: channels) • Multiple-access & random access networks (Packets: shared medium)
Resource Sharing Networks • Ukuran performansi • Waktu tunggu • Probabilitas blocking • Pertanyaan • Bagaimana relasi antara jumlah user, pola penggunaan, jumlah resource dan performansi? • Apakah resource dimanfaatkan secara adil (fair)?
Process Networks • Multi-stage switch • Distributed simulation system • Manufacturing process
Process Networks • Ukuran performansi • Waktu penyelesaian (delay) • Throughput (penyelesaian persatuan waktu) • Pertanyaan • Bagaimana performansi dipengaruhi oleh pola penggunaan berbeda? • Proses mana yg menjadi “bottlenecks” yg membatasi performansi? • Apakaha input berbeda diperlakukan secara adil dalam hal performansi?
Switching Networks • Jaringan telepon (telepon: circuit switches) • Jaringan signaling telepon (switches; STP) • Jaringan Paket X.25 (komputer: packet switches) • Internet (komputer: router)
Switching Networks • Ukuran performansi • Delay (end point to end point) • Throughput • Utilization • Blocking probability • Loss • Pertanyaan • Topologi jaringan yg terbaik? • Bagaimana me-routekan? • Bagaimana menjamin kualitas pelayanan (QOS)?
Apa yang Bisa Dipelajari? Faktor • Jumlah pelanggan • Pola penggunaan (workload) • Karakteristik service • Jumlah resource • Performansi • Waktu tunggu • Blocking • Loss
Model Dasar • Pelanggan dari suatu populasi tiba pada sistem dg waktu kedatangan random • adalah rate kedatangan pelanggan • Sistem antrian mempunyai c server identik • Pelanggan ke-j meminta pelayanan dan akan memerlukan sj unit waktu pelayanan dari satu server • Jika semua server sibuk, pelanggan yg datang bergabung dlm antrian sampai tersedia server
Model Dasar • Disiplin pelayanan menspesifikasikan urutan dimana pelanggan dipilih dari antrian • Contoh: FIFO, LIFO, priority, random, … • Waktu tunggu tQj adalah waktu diperlukan pelanggan ke-j antara memasuki sistem dan memasuki pelayanan • Total delay dari sistem j = tQj + sj • n = jumlah pelanggan dlm sistem • suatu random variable • nq = jumlah pelanggan dlm antrian • suatu random variable
Notasi Antrian a/b/m/K • a = tipe proses kedatangan • M (Markov) menunjukan kedatangan Poisson, shg waktu antar kedatangan iid exponential random variables • b = service time distribution • M (Markov) menunjukan distribusi eksponensial • D (Determistic) menunjukan service time konstan • G (General) menunjukan iid service times mengikuti suatu general distribution
Notasi Antrian a/b/m/K • m = jumlah server • K = jumlah maksimum pelanggan yg dibolehkan dlm sistem
Background: Proses Poisson • Kedatangan terjadi dg rate • Probabilitas [secara eksak satu pelanggan tiba dlm interval [t, t+t]] = t • Probabilitas [tidak ada kedatangan dlm interval [t, t+t]] = 1 - t • Dg membuat t mendekati nol, kita mendapatkan proses Poisson
Distribusi Kedatangan • Pn(t) = P[Jumlah kedatangan sampai saat t = n]
Jumlah Kedatangan • Mis. E[n] adalah mean dari jumlah kedatangan dlm perioda interval t • Mean • Variance
Kelayakan Apakah proses Poisson cukup layak digunakan? • Secara umum proses Poisson adalah model yg baik jika terdapat sejumlah user yg besar (sumber paket) sehingga • Users serupa • Users independen
Kelayakan • Misalkan kita menggabungkan n proses Poisson • Tiap proses mempunyai rate /n, shg rate gabungan (aggregate) = • Waktu antar kedatangan , utk tiap proses mempunyai distribusi F(s) = P{ s} dan independen • Proses penggabungan mendekati proses Poisson dg rate dg n
Waktu Antar Kedatangan • Mis. T = waktu antar kedatangan dlm proses Poisson • T adalah random variables • Utk proses Poisson, waktu antar kedatangan adalah exponentially distributed random variables • Fungsi distribusi dan densitas utk distribusi eksponensial
Memoryless Property • Distribusi eksponensial adalah memoryless • Apa yg terjadi setelah waktu t adalah independen thd apa yg terjadi sebelum t • Pengetahuan masa lalu tidak membantu memprediksi masa depan • Untuk waktu service • Waktu tambahan yg diperlukan utk menyelesaikan service pelanggan yg sedang berlangsung independen thd kapan service dimulai
Memoryless Property • Utk waktu antar kedatangan • Waktu utk kedatangan berikutnya independen thd kapan kedatangan terakhir terjadi • Distribusi eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinyu mempunyai sifat memoryless • Distribusi diskrit yg mempunyai sifat memoryless adalah distribusi geometric
Markov Property • Memoryless property memungkinkan menggunakan Markov Chain untuk menganalisa antrian M/M/1 • Diberikan independensi dari waktu antara kedatangan dan waktu service, jumlah pelanggan dlm sistem kedepan hanya tergantung pd N(t), jumlah pelanggan dlm sistem pada saat t
Markov Property • Proses random adalah proses Markov jika masa depan proses diberikan saat ini independen thd masa lalu • Markov chain adalah proses Markov dg discrete state space
Markov Property • Jika kita tahu sistem ada dlm state a pd saat tk, probabilitas transisi ke state lainnya pd saat tk+1 dp ditentukan • tidak perla tambahan informasi masa lalu
Little’s Law • Jumlah pelanggan rata-rata dlm sistem (antrian) sama dg rate kedatangan dikalikan waktu rata-rata dlm sistem (antrian)
Little’s Law • Misalkan • Rate kedatangan () • Jumlah dlm sistem, n(t), jumlah dlm antrian nQ(t), jumlah dlm pelayanan nS(t) • Waktu dlm sistem , waktu dlm antrian Q, waktu dlm pelayanan s • Relasi parameter-parameter dg Little’s Law • Jumlah dlm sistem : E[n] = .E[] • Jumlah dlm antrian : E[nQ] = .E[Q] • Jumlah dlm service : = E[nS] = .E[s]
Utilisasi • Utilisasi dari sistem single server • Utilisasi dari sistem c-server
In-Class Exercise • Pelanggan memasuki toko dg rate rata-rata 32 pelanggan per jam. Rata-rata pelanggan menghabiskan waktu 12 menit di dlm toko. Berapa banyak pelanggan yg kita harapkan kita jumpai di dlm toko dlm sembarang waktu?
Saluran Transmisi • Parameter • adalah rate kedatangan • NQ adalah jumlah rata-rata paket menunggu dlm antrain (belum ditransmisikan) • W adalah rata-rata waktu tunggu dlm antrian (tidak termasuk waktu transmisi) • Little’s law memberikan NQ = .W • Jika X adalah waktu transmisi rata-rata, Teorema Little memberikan utilisasi (rata-rata jumlah transmisi paket) = .X
Saluran Transmisi • Perhatikan kasus dimana • 1/ adalah rata-rata waktu antar kedatangan • jika > 1, maka ekspektasi waktu service lebih besar drpd ekspetasi waktu antar kedatangan, yaitu pelanggan datang lebih cepat drpd yg dp dilayani • Antrian akan overflow atau meningkat sangat panjang • > 1, menghasilkan situasi yg tidak stabil
Network of Transmission Lines • Paket tiba pada n node berbeda utk transmisi dg rate 1, 2, … ,m • N adalah jumlah paket total dlm jaringan • Little’s law memberikan delay rata-rata per paket
Network of Transmission Lines • Perlu dicatat bahwa rata-rata delay per-paket adalah independen dari distribusi panjang paket dan metoda utk me-routing-kan paket • Juga utk node i, Ni = iTi
Antrian M/M/1 • Antrian tunggal (single queue) • Server tunggal (single server) • Pelanggan (paket) tiba sesuai dg proses Poisson dg rate per-detik • Distribusi waktu pelayanan adalah eksponensial dg mean 1/ detik • Buffer tak terbatas
Markov Chain • Karena memoryless property dari r.v. eksponensial, jumlah pelanggan dlm sistem saat t, N(t), dp diekspresikan sbg continuous-time Markov chain
Probabilty Flux • Probabilitas flux transisi adalah perkalian probabilitas state dimana transisi dimulai dan rate transisi • Indikasi rata-rata brp kali per-detik event sesuai dg korespondesni transisi terjadi • Dlm kondisi steady-state, rata-rata brp kali/det suatu state dimasuki adalah sama dg rata-rata brp kali/det suatu state ditinggalkan • Menuju pd global balance equations
Global Balance • Total rate transisi keluar dari state n sama dg total rate transisi ke state n • Dynamic equilibrium
Global Balance Equations • Global balance equation utk antrian M/M/1 • Jika ada N state, ada N persamaan, termasuk relasi berikut
Local Balance • Utk Markov Chain, rate transisi dari state A ke state B sama dg rate transisi dari B ke A • Sbg contoh, rate transisi dari n-1 ke n sama dg rate transisi dari n ke n-1
Local Balance Equations • Persamaan local balance utk anrian M/M/1
Menyelesaikan Local Balance Equations • Pers local balance menghasilkan n-1 rekursi berikut
Menyelesaikan Local Balance Equations • Normalisasi dicapai melalui ‘conservation of probability’
Menyelesaikan Local Balance Equations • Dg = / dan menggunakan identitas berikut • Maka
Hasil • Jika = / < 1 , kita dp • Utilisasi • Mean dari jumlah pelanggan, n
Hasil • Dg Little’s law, dp dicari waktu rata-rata dlm sistem • Dan waktu rata-rata dlm antrian
Hasil • Dg Little’s Law lagi, jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian