Laudo Barbosa (07 de Novembro, 2006)

1. Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Minicurso – Cristalografia e Difração de Raios-XSegunda aula: Interações de Raios-x com a Matéria Laudo Barbosa(07 de Novembro, 2006)

2. Plano de apresentação • Espalhamento Thomson, Efeito Compton, Efeito Fotoelétrico • Espalhamento de raios-x por uma, duas e n partículas • Difração de raios-x por um arranjo linear de partículas (Condições de Laue, Lei de Bragg) • Difração por um cristal

3. p1 p1 p2 p2 Espalhamento Outra possibilidade Uma possibilidade • Há diversas possibilidades de interação entre partículas (colisão elástica, colisão inelástica, fusão, fissão, desintegração... ) • Cada interação tem uma probabilidade de ocorrência • A probabilidade depende, em geral, da energia e das características de cada partícula envolvida na interação • A probabilidade específica para uma interação é chamada Seção de Choque • O resultado efetivo das interações é naturalmente relacionado com a Seção de Choque NOTA: na descrição física mais rigorosa, não se fala mais em campos, pois o próprio campo é composto por partículas. Também não se calculam valores exatos, somente probabilidades

4. Processo análogo Raios-X (interação de fóton com elétron) Espalhamento Thomson ( = “clássico”) Ef E Ef E • O campo elétromagnético (fóton) leva o elétron a oscilar em sua órbita • A oscilação implica aceleração/desaceleração • Elétrons acelerados emitem radiação • A radiação emitida tem a mesma frequência da incidente (coerente)

5. λ2 >λ1 Raios-X (interação de fóton com elétron) Espalhamento Compton Ef>> E Ef E λ1 • A energia do fóton é muito maior que a energia de ligação do elétron • Portanto, é como se o elétron estivesse “livre” • Ocorre colisão inelástica • O elétron adquire energia, o fóton perde energia

6. Raios-X (interação de fóton com elétron) Efeito fotoelétrico Ef> E Ef E • A energia do fóton é apenas maior que a energia de ligação do elétron • O elétron adquire (absorve) a energia do fóton • Com o excesso de energia, o elétron se desprende do átomo • O fóton desaparece

7. Produção de pares Produção de Par elétron-pósitron Ef> mec2 (512keV) Ef • A energia do fóton é suficiente para “materializar” um elétron e um pósitron • O núcleo do átomo adquire momento de recuo • O fóton desaparece (aniquilação)

8. Interação de fótons com a matéria Resumo Compartivo das seções de choque http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html Para a difração de raios-x, o efeito relevante é o espalhamento coerente (Thomson)

9. Espalhamento (coerente) por uma partícula Conforme já foi mostrado, o campo elétrico se exprime como uma soma infinita (integral) de termos: Cada um dos termos se refere a um comprimento de onda específico, e contribui com amplitude F = F(k,) Consideremos o caso de uma onda monocromática, de amplitude constante Podemos calcular o espalhamento da onda Yo por uma partícula carregada (elétron)

10. O ^ So 2 P ^ S D Espalhamento (coerente) por uma partícula Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yosobre um elétron ? Encontra-se: • A amplitude da onda espalhada depende do ângulo e cai com 1/D • A intensidade [  |Y|2 ] da onda espalhada cai com 1/D2 • A onda espalhada chega ao ponto P depois de um intervalo de tempo D/c • A onda espalhada é defasada por um fator αs relativamente à onda incidente

11. ^ r O2 O2 O2 2 ^ ^ ^ So So So O1 O1 O1 P ^ ^ ^ D S S S Espalhamento (coerente) por duas partículas Pergunta-se: qual é a amplitude Y da onda espalhada devido à incidência de Yosobre dois elétrons ? Diferença de caminho óptico: Encontra-se: Como r << D  O ângulo de espalhamento é o mesmo para as duas partículas

12. Espalhamento (coerente) por n partículas Por extensão deste raciocínio, podemos calcular o espalhamento devido a várias partículas, não necessariamente idênticas. O único que muda é o termo referente à amplitude de espalhamento para cada partícula, . As contribuições individuais de cada partícula se somam: • A intensidade do espalhamento é o que efetivamente se mede. • Nesta medida estão “embutidas” as informações sobre estrutura rj. • Idealmente, uma medida complementar deveria prover a informação sobre a fase, para se chegar à disposição espacial das partículas (“problema da fase”)

13. Difração por um arranjo linear de partículas Porquê “Difração” ? • Como o espalhamento é coerente, cada centro espalhador (elétron, partícula) atua como re-emissor da onda incidente. • Num dado ponto de observação, as contribuições de cada centro re-emissor se somam (interferem) • A interferência pode ser construtiva ou destrutiva • O fenômeno é chamado de difração, em alusão ao que ocorre com as ondas.

14. So a  S n 1 2 n partículas regularmente espaçadas n.a << D Tomamos a expressão genérica, para o espalhamento de n partículas, com rj = j.a Os termos do somatório estão em progressão geométrica, de razão e2ias

15. n partículas regularmente espaçadas A intensidade do espalhamento numa dada direção é dada por: Para um número muito grande de partículas, fn(x) só é significativa quando x é um número inteiro

16. Intensidade x Condição de Laue A condição para que a intensidade difratada seja significativa é: (*) Lembra a Lei de Bragg

17. Difração por um cristal Um cristal é, por definição, uma rede de centros espalhadores, distribuídos regularmente num arranjo periódico sobre as três direções espaciais Portanto, a posição de cada um dos centros espalhadores de um cristal pode ser especificada por: A mesma análise usada no caso unidimensional se aplica, estendida a três dimensões. Chegamos a uma expressão que envolve o produto de três somatórios:

18. Difração por um cristal Em vez de apenas uma, temos, para o cristal, três “Condições de Laue”: Existe um vetor que, substituindo s, satisfaz simultaneamente as três condições Portanto, as condições de Laue se reduzem a:

19. w v 1/v 1/w u 1/u dhkl S/λ So /λ 2 s Difração por um cristal • Verifica-se que o vetor de rede recíproca é normal ao plano hu+kv+lw=1 • Verifica-se que o módulo deste vetor é 1/dhkl, onde dhkl é a distância entre o plano e a origem • dhkl é também a distância entre planos paralelos a este e adjacentes: hu+kv+lw=n, n inteiro Tomando o valor absoluto dos dois vetores, obtemos: Lei de Bragg

20.  d Família de planos Outra maneira de se deduzir a Lei de Bragg A diferença de caminho óptico para o feixe refletido é: 2dsen Nas direções em que a diferença de caminho óptico é múltiplo deλ tem-se interferência construtiva