Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

1. TBF 122 - Genel Matematik IIDERS – 8 : Doğrusal Eşitsizlikler Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. İki değişkenli doğrusal şitsizlikler. İki değişkenli doğrusal denklem tanımını anımsayalım: a, bvehreel sayılar olmak üzere ax + by = hifadesine bir doğrusal denklemdenir. aveb sayılarına bu doğrusal denklemin katsayıları,hsayısına denklemin sağ taraf sabiti , xveysembollerine de değişkenler veya bilinmeyenler denir. a, bvehreel sayılar olmak üzere , , , ifadelerinden her birine bir doğrusal eşitsizlik denir. Doğrusal denklemler için daha önce tanımlanmış olan katsayı, sağ taraf sabiti ve değişken terimleri eşitsizlikler için de geçerlidir. . x0 ve y0reel sayılar olmak üzere herhangi bir doğrusal eşitsizlikte x yerine x0 , yyerine y0 yerleştirilince ortaya çıkan sayısal eşitsizlik doğru ise, (x0 , y0 ) sıralı reel sayı ikilisine o doğrusal eşitsizliğin bir çözümü denir. Bu durumda, (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi sözkonusu eşitsizliği sağlıyor da denir. 3x - 4y < 12 eşitsizliğini düşünelim. (2,7) sayı ikilisi bu eşitsizliğin bir çözümüdür, çünkü 32- 47< 12eşitsizliği doğru bir eşitsizliktir. Diğer yandan,(7,2) sayı ikilisi bu eşitsiz-liğinçözümü değildir, çünkü 37- 42< 12 eşitsizliği doğru değildir.

3. Sol yarıdüzlem Sağ yarıdüzlem İki değişkenli doğrusal denklemler gibi, iki değişkenli doğrusal eşitsizliklerin de çözüm kümeleri düzlemde nokta kümeleri olarak düşünülüp grafikleri çizilebilir. İki değişkenli bir doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu biliyoruz. Bir doğrusal eşitsizliğin grafiğinin çiziminde o eşitsizlikle bağlantılı olan doğru belirleyici olmaktadır. Şöyle ki, her doğru, düzlemi iki yarıdüzleme ayırır. Bir eşitsizliğin, grafiği o eşitsizlikle bağlantılı olan doğrunun belirlediği yarıdüzlemlerden biridir. Yukarıda söylenenleri biraz açmak için düşey doğrularla başlayalım. Her düşey doğru, düzlemi iki yarı-düzleme ayırır. Bu yarıdüzlemlerden, doğrunun solunda bulunan yarıdüzle-mesol yarıdüzlem, sağında bulunana dasağ yarıdüzlemdenir. x= a y x Eşitsizlikler veya  biçiminde verildiğinde x=a doğrusu üzerindeki noktalar grafiğe dahil değildir; eşit-sizlikler veya  biçiminde veril-mişse, ilgili doğru üzerindeki noktalar grafiğe dahildir. x  a x  a

4. üst yarıdüzlem alt yarıdüzlem Düşey olmayan bir doğrunun belirlediği yarıdüzlemlerden doğrunun yukarısında bulunan yarıdüzlemeüst yarıdüzlem, aşağısında bulunana da alt yarıdüzlemdenir. Grafikte, doğrunun üzerindeki her (x , y) noktası içinax + by= h ya day = -(a/b)x + h/bdir. y Alt yarıdüzlemdeki her (x , y1) noktası için y1 < -(a/b)x+h/bve üst yarıdüzlemdeki her (x , y2) noktası için y2> -(a/b)x+h/bdir. ax+by = h y2 y Eğer b > 0 ise, y1 y < -(a/b)x+h/b  ax+by < h , x x y > -(a/b)x+h/b  ax+by > h olduğundan, bu durumda ax+by < hnin grafiği ax+by = hnin alt yarıdüzlemi, ax+by > hningrafiği de ax+by = hnin üst yarıdüzlemidir. Eğer b < 0 ise, y < -(a/b)x+h/b  ax+by > h , y > -(a/b)x+h/b  ax+by < h olduğundan, bu durumda ax+by < hnin grafiği ax+by = hnin üst yarıdüzlemi, ax+by > hnin grafiği de ax+by = hnin alt yarıdüzlemidir.

5. ax+by < heşitsizliğinin grafiği a) b > 0 ise,ax+by = hdoğrusununalt yarıdüzlemi, b) b< 0 ise, ax+by = h doğrusunun üst yarıdüzlemidir. ax+by > heşitsizliğinin grafiği a) b > 0 ise,ax+by = hdoğrusunun üst yarıdüzlemi, b) b< 0 ise,ax+by = hdoğrusunun alt yarıdüzlemidir. ax+by < hveya ax+by > heşitsizliğinin grafiği ax+by = hdoğrusu üzerindeki noktaları içermez; eşitsizliklerax+by hveyaax+by hbiçiminde verilmişse, ax+by = hdoğrusu üzerindeki noktalar da grafiğe dahildir. Bir eşitsizliğin grafiğinin o eşitsizlikle bağlantılı yarıdüzlemlerden hangisi olduğu, söz konusu doğru üzerinde olmayan bir sınama noktası (örneğin, eğer doğru üzerinde değilse, (0,0) noktası) seçilerek de belirlenebilir. Eğer sınama noktası eşitsizliği sağlıyorsa, grafik noktanın bulunduğu yarıdüzlem, aksi halde, diğer yarıdüzlemdir.

6. Elde ettiğimiz sonuçları bir teoremde özetleyelim. Teorem.a , b, h ℝ olsun. 1. Eğerb > 0 ise,ax + by < h nin grafiğiax + by = h doğrusununalt yarıdüzlemi, ax + by > h nin grafiği deax + by = h doğrusununüst yarıdüzlemidir. 2.Eğerb < 0 ise,ax + by < h nin grafiğiax + by = h doğrusununüst yarıdüzlemi, ax + by > h nin grafiği deax + by = h doğrusunun alt yarıdüzlemidir. 3.Eğerb = 0vea 0ise,ax < h ve ax > h den birinin grafiğix = h/adoğrusununsağ yarıdüzlemi, diğerinin grafiği de aynıdoğrununsol yarıdüzlemidir. a , b, h ℝ olsun. ax + by < h , ax + by  h , ax + by > hveya ax + by  heşitsizliğinin grafiğiniçizmek için şu adımlar izlenebilir: 1.ax + by = hdoğrusunu çiziniz. < veya > durumunda kesikli,  veya  durumunda kesiksiz doğru çiziniz. 2. Grafiğin hangi yarıdüzlem olduğuna karar veriniz. Bunun için a) bnin işaretine bakabilirsiniz veya b) (Çizdiğiniz doğru üzerinde olmayan)bir sınama noktası (örneğin, eğer doğru üzerinde değilse, (0,0) noktası) kullanabilirsiniz. Bu nokta eşitsizliği sağlıyorsa, grafik noktanın bulunduğu yarıdüzlem,aksi halde, diğer yarıdüzlemdir. Şimdi, yarıdüzlemlere somut örnekler vereceğiz.

7. (0,0) Sınama noktası (4,0) (0,-3) Örnek. 3x – 4y = 12doğrusunu ele alalım. b = – 4 < 0olduğundan, 3x – 4y < 12nin grafiği bu doğrunun üst yarıdüzlemidir. b = – 4 < 0olduğundan, 3x – 4y > 12nin grafiği bu doğrunun alt yarıdüzlemidir. y 3x – 4y = 12 3x – 4y < 12 üst yarıdüzlem x 3x – 4y > 12 alt yarıdüzlem Aynı sonucun (0,0) sınama noktası seçilerek de elde edilebileceğine dikkat ediniz. Üst yarıdüzlemde bulunasn (0,0) noktası 3x – 4y < 12eşitsizliğini sağlar.

8. (0,0) Sınama noktası (4,0) (0,-3) Örnek. 3x – 4y ≤12eşitsizliği. b = – 4 < 0olduğundan, 3x – 4y ≤12nin grafiği bu doğrunun üst yarıdüzlemidir. y 3x – 4y = 12 3x – 4y ≤12 üst yarıdüzlem x Aynı sonucun (0,0) sınama noktası seçilerek de elde edilebileceğine dikkat ediniz. Üst yarıdüzlemde bulunasn (0,0) noktası 3x – 4y < 12eşitsizliğini sağlar.

9. Sınama Noktası (2,0) (0,-3) 3.0 –2.0  6 (0,0) Örnek.3x – 2y  6nın grafiği . y 3x – 2y=6 b = – 2< 0 x üst yarıdüzlem

10. Örnek.2x – y > 6nın grafiği . y Sınama Noktası 2x – y =6 b = – 1< 0 x (3,0) (0,0) alt yarıdüzlem (0,-6) 2.0–0 < 6

11. Sınama Noktası (0,-2) 0 > -2 (0,0) Örnek.y > - 2nin grafiği . y x y = - 2

12. Sınama Noktası (3/2,0) 2·0 < 3 (0,0) Örnek.2x 3ün grafiği . y x 2x = 3

13. Sınama Noktası (3,1) (0,0) (0,1) 0 < 3·1 Örnek.x  3ynin grafiği . x - 3y 0ın grafiği . y b = – 3< 0 üst yarıdüzlem x = 3y x

14. Konvekslik. • Yarı düzlemlerin kolayca gözlemlenebilecek ve kanıtlanabilecek bir özelliği : • Bir yarıdüzlem içinde herhangi iki nokta alındığında, o iki noktayı birleştiren doğru parçası da o yarıdüzlem içinde kalır. Düzlemde bir nokta kümesi K verilmiş olsun. Eğer K içindeki her nokta çiftini bağlayan doğru parçası yine K içinde kalıyorsa, K kümesine konveks küme denir. Her yarıdüzlem bir konveks kümedir. Konveks kümelerin kesişiminin de konveks olduğunu görmek zor değildir. Dolayısıyla, düzlemde yarıdüzlemlerin kesişimi konvekstir.

15. Doğrusal Eşitsizlik Sistemleri. İki veya daha çok doğrusal eşitsizlikten oluşan bir eşitsizlikler topluluğuna bir doğrusal eşitsizlik sistemidenir. Bir doğrusal eşitsizlik sistemindeki tüm eşitsizliklerin çözümü olan bir sayı ikilisine o eşitsizlik sisteminin bir çözümü denir. Dolayısıyla, bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir. İki değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri de düzlemde nokta kümeleri olarak düşünülüp grafikleri çizilebilir. Bir eşitsizlik sisteminin grafiğine o sistemin çözüm alanıdenir. Eşitsizlik sisteminin çözüm alanını sınırlayan doğruların kesim noktalarından çözüm alanının sınırında bulunan her bir noktaya çözüm alanının birköşe noktasıdenir.

16. (4,1) (0,0) (0,1) (0,5) (5,0) Örnek. doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanını belirlemek için her iki eşitsizliğin grafiği çizilir ve iki grafiğin kesişimine bakılır. Grafikler çizilirken her bir eşitsizliğin ait olduğu doğru çizilir ve eşitsizliğin grafiğinin hangi yarıdüzlem olduğuna, y nin katsayısının işaretine baka-rak veya sınama noktası kulla-narak, karar verilir. Sonra eşit-sizliklerin grafiklerinin kesişimi alınır. y x –4y=0 Her bir eşitsizliğin grafiğini boyamak veya taramak yeri-ne ilgili doğrunun hangi yarı-düzlemi olduğunu gösteren oklar çizilerek elde edilen ya-rıdüzlemlerin kesişimini (çö-züm alanını) belirlemek daha elverişli olur. x x+ y=5

17. y (0,1) x x+ y=5 (5,0) (0,5) Çözüm alanının bir köşe noktası vardır: Çözüm Alanı x –4y=0 denklem sisteminin çözümü olan (4,1). (4,1) (0,0)

18. (5,6) (9,2) (0,0) (0,8) (0,11) (11,0) (10,0) (0,20) (20,0) Örnek. y 2x + 5y=40 x Çözüm Alanının Köşe noktaları x + y=11 (0,0) , (10,0) , (9,2) , (5,6) , (0,8) 2x+ y=20

19. Örnek. y (0,5) (1,4) 4x – y=0 (4,1) x (0,0) (5,0) x – 4y=0 x+ y=5 Çözüm Alanının Köşe noktaları (4,1) , (1,4)

20. y (0,15) (2,5) (0,0) (4,3) (0,7) (0,6) x (7,0) (5,0) (12,0) Örnek. 3x+ y=15 x + 2y=12 x + y=7 Çözüm Alanının Köşe noktaları (0,0) , (5,0) , (4,3) , (2,5) , (0,6)

21. y 3x+ y=15 (0,0) x + y=7 (2,5) (0,7) x + 2y=12 (0,6) (4,3) x (5,0) Örneklerimizde ele alınan doğrusal eşitsizlik sistemlerinin çözüm alanları önemli bir hususta farklılık göstermektedir. Bazı örneklerdeki çözüm alanları bir çember içine alınabilmekte, ancak bazı örneklerdeki çözüm alanları için bu mümkün olmamaktadır. Bu farklılığı ifade etmek için aşağıda tanımlanan deyimler kullanılır. y Düzlemde bir bölgeyi içine alan bir çember varsa, o bölgeye bir sınırlı bölge denir. Sınırlı olmayan bölgelere sınırsız bölge denir. (0,5) (1,4) 4x – y=0 (4,1) x (0,0) (5,0) x – 4y=0 x+ y=5 Sınırlı Sınırsız

22. A ve B reel sayılar olmak üzere K(x,y) = Ax+ Bydenklemi ile tanımlanan doğrusal fonksiyonun bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanında aldığı değerlerden en büyüğü (maksimum) veya en küçüğü (minimum) var mıdır? Varsa, nasıl bulunur? Dersimizin kalan kısmında bu soruların yanıtını araştıracağız. Bu soruların yanıtlanmasında konvekslik kavramı önem kazanmaktadır. Aha önce yarıdüzlemlerinkesişiminin konveks olduğunu görmüştük. Doğrusal eşitsizlik sistemlerinin çözüm alanları yarıdüzlemlerin kesişimi olduğundan, konveks kümelerdir. Çözüm alanlarının konveksliği kullanılarak aşağıdaki teorem kanıtlanabilir: Teorem (Köşe Noktası Teoremi). İki değişkenli bir doğrusal fonksiyonun bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanında maksimum veya minimum değeri varsa, bu değer(ler) çözüm alanının köşe noktalarında ortaya çıkar.

23. Teorem (Köşe Noktası Teoremi). İki değişkenli bir doğrusal fonksiyonun bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanında maksimum veya minimum değeri varsa, bu değer(ler) çözüm alanının köşe noktalarında ortaya çıkar. D, bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanını göstersin ve (x0,y0)  D olmak üzere K(x0,y0) = Ax0+ By0 = K0 değeri K(x,y) = Ax+ Bydoğrusal fonksiyonunun bu çözüm alanında aldığı maksimum değer olsun. Böylece, her (x,y)  Diçin K(x,y) = Ax+ By≤ K0eşitsizliği sağlanır. Başka bir deyişle, D çözüm alanı Ax+ By≤ K0eşitsizliğinin belirlediği yarıdüzlem içinde kalmaktadır. Eğer D çözüm alanının Ax+ By = K0 doğrusu üzerinde (x0,y0) dan başka noktası yoksa, (x0,y0) çözüm alanının bir köşe noktasıdır. Aksi takdirde, çözüm alanının bir kenarı Ax+ By = K0doğrusu üzerindedir. Her durumda, çözüm alanının bir köşesi Ax+ By = K0doğrusu üzerindedir; söz konusu K(x,y) = Ax+ Bydoğrusal fonksiyonunun bu köşe noktasındaki değeri maksimum değe-ridir. Yukarıda K(x,y) = Ax+ Bydoğrusal fonksiyonunun Dçözüm alanındaki maksimum değeri için söylenenlerin benzerinin, varsa minimum değeri için de söylenebileceği açıktır.

24. y Ax+ By = K1 x (0,0) Köşe noktası teoremi, bir doğrusal fonksiyonun bir çözüm alanı üzerinde maksimum veya minimum değerlerinin varlığı hususunda sonuçlar çıkarmamıza da yardımcı olur. Örneğin, eğer D çözüm alanı sınırlı ise, öyle K1 ve K2 sayıları bulunabilir ki, D çözüm alanı Ax+ By = K1 doğrusunun üst yarıdüzleminde, Ax+ By = K2 doğrusunun alt yarıdüzleminde kalır (Aşağıda soldaki şekle bakınız). Bu durumda, K(x,y) = Ax+ ByninD üzerinde hem maksimum değeri, hem de minimum değeri vardır. y Ax + By = K2 Ax+ By = K1 D x (0,0) Eğer D birinci çeyrek düzlem içinde kalan bir sınırsız bölge ise ve A > 0, B > 0 ise (Yukarıda sağdaki şekilden izleyiniz), bu takdirde, uygun bir K1 sayısı için Dçözüm alanı Ax+ By = K1 doğrusunun üst yarıdüzleminde kalır, ancak D çözüm alanı Ax+ By = K2 doğrusunun alt yarıdüzleminde kalacak biçimde bir K2 sayısı bulunamaz.

25. Böylece, aşağıdaki teorem kanıtlanmış oldu. Teorem.D, bir doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanı ve K(x,y) = Ax+ Bybir doğ-rusalfonksiyon olsun. a)Eğer D sınırlı ise, K(x,y) = Ax+ ByninD üzerinde hem maksimum değeri, hem de minimum değeri vardır. b)Eğer D birinci çeyrek düzlem içinde kalan bir sınırsız bölge ise ve A > 0, B > 0 ise, K(x,y) = Ax+ ByninD üzerinde minimum değeri vardır, maksimum değeri yoktur. Teoremin b) şıkkında, A ve Bsayılarının pozitif olma koşulu vardır. Bu koşul, Ax+ By = C doğrusunun eğiminin negatif olması demektir. Teoremin a) şıkkında A veBsayıları üzerinde herhangi bir koşul yoktur.

26. y (0,8) (5,6) (9,2) D x (10,0) (0,0) Örnek. eşitsizlik sisteminin çözüm alanı üzerinde K(x,y) = 4x + 5y nin maksimum ve minimum değerlerini bulalım. Tablodan görüldüğü üzere, K(x,y) = 4x + 5y fonksiyonu D çözüm alanı üzerindeki maksimum değerini (5,6) köşesinde, minimum değerini de (0,0) köşesinde almaktadır. Maksimum değer K(5,6) = 50, minimum değer K(0,0)= 0 dır.

27. y (1,4) (4,1) x (0,0) Örnek. eşitsizlik sisteminin çözüm alanı üzerinde K(x,y) = 4x + 5y veL(x,y) = 4x - 5y fonksiyonlarının maksimum ve minimum değer-lerinibulalım. Teoreme göre K(x,y) = 4x + 5y nin bu çözüm alanı üzerinde minimum değeri vardır, maksimum değeri yoktur. K(4,1)=21 minimum değer-dir. L(x,y) = 4x-5y fonksiyonuna gelince, katsayılardan biri negatif olduğun-dan bu fonksiyon için Teorem 2 uygulanamaz. Köşe noktalarındaki L(1,4)=-16, L(4,1)=11 değerleri Liçin maksimum veya minimum değerler olamaz; çünkü hert ≥ 17 sayısı için (t,t) ve (3t,t) noktaları örneğimizdeki eşitsizlik sisteminin çözüm alanı içinde noktalardır ve L(t,t) = 4t – 5t=-t < -16, L(3t,t) = 12t – 5t=7t > 11.

28. A, Bve Creel sayılar olmak üzere N(x,y) = Ax + By + C denklemi ile tanımlanan fonksiyonun bir çözüm alanında maksimum ve minimum değerlerini araştırdığımızı düşünelim. Söz konusu çözüm alanını D ile gösterelim ve K(x,y) = Ax + Bytanım-layalım. • Eğer K(x,y) = Ax + By fonksiyonunun D üzerinde maksimum (veya minimum) değeri yoksa, N(x,y) = Ax + By+ C nin de D üzerinde maksimum(veya minimum) değeri yoktur. • Eğer K0 değeri, K(x,y) = Ax + By fonksiyonunun D üzerinde maksimum değeri ise, K0 + C değeri de N(x,y) = Ax + By + CninD üzerinde maksimum değeridir. • Eğer K1 değeri, K(x,y) = Ax + By fonksiyonunun D üzerinde maksimum değeri ise, K1 + C değeri de N(x,y) = Ax + By + CninD üzerinde maksimum değeridir.

29. y (0,8) (5,6) D (9,2) x (0,0) (10,0) y (1,4) (4,1) x (0,0) Örnek. N(x,y) = 4x + 5y + 20 fonksiyonunun yanda verilen çözüm alanı üzerinde maksimum değerinin N(5,6) = 70 ve minimum değerinin N(0,0) = 20 olduğu, çözüm alanının köşe nokta-larındaN fonksiyonunun aldığı değerlere bakı-larak veya K(x,y) = 4x + 5ynin maksimum ve minimum değerlerine 20 eklenerek görülebilir. Örnek. N(x,y) = 4x + 5y + 20 fonksiyonunun sağda verilen çözüm alanı üzerinde minimum değerinin N(4,1) = 41 olduğu, maksimum değerinin bulunmadığı görülür.

30. Çok Değişkenli Doğrusal Eşitsizlikler.n 2 vea1 , a2, ... , an r eel sayılar,x1 , x2, ... , xndeğişkenler olmak üzere ifadesinendeğişkenli doğrusal denklemdediğimizi anımsayalım. Bu ifadedeki eşit işareti = yerine < , > , ≤ veyaeşitsizlik işaretlerinden herhan-gibiri yerleştirilince elde edilen ifadeyendeğişkenli doğrusal eşitsizlikdenir. O halde, aşağıdakilerden her biri bir doğrusal eşitsizliktir. , , n değişkenli doğrusal denklemler için tanımlanmış bulunan katsayı, sağ taraf sabiti, değişken terimleri eşitsizlikler için de geçerlidir. c1 , c2 , . . . , cnreel sayılar olmak üzere herhangi bir doğrusal eşitsizliktex1 yerinec1, x2yerinec2, . . . , xnyerine cnyerleştirilince ortaya çıkan sayısal eşitsizlik doğru ise, (c1 , c2 , . . . , cn ) sıralı reel sayın-lisineo doğrusal eşitsizliğin bir çözümüdenir. Değişken sayısın=2ise, değişkenler içinx1, x2gösterimi yerinex , y;n=3 ise,x1, x2, x3yerine x , y , z sembolleri de kullanılır.

31. Örnek. x1 + 2x2 - 3x3 + 4x4 < 15 eşitsizliğinin çözümlerinden biri (1,2,3,4) tür, çünkü 1+2.2-3.3+4.4 =12 < 15 tir. Diğer yandan, (2,3,4,5) bu eşitsizliğin bir çözümü değildir, çünkü 1.2+2.3-3.4+4.5 =16 > 15 tir. İki değişkenli bir doğrusal eşitsizliğin çözüm kümesi düzlemde nokta kümesi, üç değişkenli bir doğrusal eşitsizliğin çözüm kümesi de uzayda bir nokta kümesi olarak düşünülüp somutlaştırılabilir. Değişken sayısı üçten fazla olunca bunu gerçekleştirmek imkansızdır. İki değişkenli durumda olduğu gibi çok değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemleri de düşünülebilir. Böyle bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir. İki değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemleri için çözüm kümesini grafik çizerek belirleyebiliyoruz, ancak üç veya daha çok değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemleri için bu mümkün değildir. Bununla beraber iki değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemleri gibi üç veya daha çok değişkenli doğrusal eşitsizlik sistemleri de günlük yaşamdan bazı problemlerin matematiksel modelinin oluşturulmasında ve çözümünde araç olarak kullanılır. İlerdeki derslerimizde bu tür modelleme örnekleri göreceğiz.