1 / 7

Gamme de Pythagore

Gamme de Pythagore. Arguments mathématiques. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques. Le Cycle des quintes « ne se ferment » que si il existe 2 nombres entiers N et P tels que N quintes = P octaves ou encore 1,5 N = 2 P. -1- Pourquoi 1,5 N = 2 P n’a pas de solution.

fatima-york
Download Presentation

Gamme de Pythagore

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Gamme de Pythagore Arguments mathématiques

  2. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques Le Cycle des quintes « ne se ferment » que si il existe 2 nombres entiers N et P tels que N quintes = P octaves ou encore1,5 N = 2 P. -1- Pourquoi 1,5 N = 2 P n’a pas de solution. -2- Solutions approchées de 1,5 N = 2 P. -3- Mesure des intervalles en fraction d’octave. -4- Mesure des intervalles en degré (gamme circulaire).

  3. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques 1,5 N = 2 Pa-t-elle des solutions entières ? 1,5 N = 2 P (3/2) N = 2 P 3 N = 2 P+N 3 N est un nombre impair (produit de facteurs 3) 2 P+Nest un nombre pair (produit de facteurs 2) Il ne peut donc y avoir d’égalité entre 3 N et 2 P+N L’équation 1,5 N = 2 P n’a donc pas de solutions entières

  4. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques Solutions approchées de 1,5 N = 2 P Empiriquement, on peut constater en examinant les puissances successives de 1,5 et 2 que les meilleures approximations sont: 1,5 5 7,59 et 2 3 = 8 Cela donne la gamme pentatonique Erreur  0,41 / 8  5% 1,5 12 129,7 et 2 7 = 128 Cela donne la gamme de Pythagore Erreur  1,7 / 128  1,3% 1,5 41 16585998,5 et 2 24= 16777216 Cela donne une gamme de 41 notes Erreur  1,1%

  5. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES On choisit donc la gamme de Pythagore: 12 quintes  7 octaves. La différence sera le COMMA. 12 quintes > 7 octaves (1,5 12 129,7 et 2 7 = 128) 1 comma = 12 quintes - 7 octaves Le coefficient multiplicateur du comma est donc: 1,5 12 / 2 7 = 3 12 / 2 19 1,0136432… 1 octave contient combien de comma? 1 octave = x comma Il s’agit de trouver x tel que (3 12 / 2 19) x = 2. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 / 2 19) = Log (2) Cela donne : x = Log (2) / Log (3 12 / 2 19)  51,1508725 On a donc: 1 octave = 51,1508725… comma

  6. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES De la même façon, on calcule combien une quinte contient de comma: 1 quinte = x comma Il s’agit de trouver x tel que (3 12 / 2 19) x = 1,5. En passant par les logarithmes: x Log (3 12 /2 19) = Log (1,5) Cela donne : x = Log (1,5) / Log (3 12 / 2 19)  29,9213423 On a donc: 1 Octave = 51,1508725… comma 1 Quinte = 29,9213423… comma Ecrit autrement: 1 comma =1 / 51,1508725…= 0,01955001…Octave 1 Quinte =29,9213423… / 51,1508725…= 0,5849625…Octave

  7. Gamme de Pythagore : Arguments mathématiques MESURE DES INTERVALLES EN DEGRE Sur la gamme circulaire, 1 octave mesure 360° 1 quinte mesure 0,5849625 octave soit en degré 360 x 0,5849625  210,5865: 1 quinte  210,5865° 1 comma mesure 0,019550001 octave soit en degré 360 x 0,019550001  210,5865: 1 comma  7,03800312° De la même façon, on mesure les autres intervalles:

More Related