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Démonstration du théorème de Pythagore

Démonstration du théorème de Pythagore. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. b. a. c. c. b. b. a. a. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. c. c. c. b. b. b. b. a. a. a. a.

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Démonstration du théorème de Pythagore

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Presentation Transcript

  1. Démonstration du théorème de Pythagore

  2. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a

  3. c c b b a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  4. c c c c b b b b a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  5. c c c c c b b b b b a a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  6. c c c c c b b b b b a a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

  7. c c c c c b b b b b a a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

  8. c c c b b b b a a a a a c a b b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

  9. c c b b b a a a a b b a c a c a b c b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

  10. a c b b b c a a a b b b a a c a c a b b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes à l’intérieur de deux carrés de côté a+b

  11. a c b b b c a a a + b a a + b a + b b b b a a c a c a b c b On obtient alors les deux figures suivantes : A B A B C C D D

  12. a c b b b c a a a a + b a + b b b b b a a a c a c a b c b ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b B I B A M A N a + b F G E S C C D D H R

  13. a c b b b c a a a + b a a + b a + b b b b b a a a c a c a b c b ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Nature du quadrilatère MNRS ? Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b B I B A M A N F G E S C C D D H R

  14. a a c c N b b b b S c c c a a a C D R a + b b b C D a R c c a b Nature du quadrilatère MNRS : b B B A A M M a N N S S

  15. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b Donc les angles DRS et RNC sont égaux C D a R De même les angles DSR et NRC sont égaux c c a b Nature du quadrilatère MNRS : SDR et RCN sont deux triangles semblables

  16. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c c a b Nature du quadrilatère MNRS : Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires.

  17. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure c a b Nature du quadrilatère MNRS : Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires. Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires. 90°

  18. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c c a b Nature du quadrilatère MNRS : MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit. Donc MNRS est un carré.

  19. a c b b b c a a a + b a a + b a + b b b b B A M b a a a c N a c S a b c C D R b ABCD est un carré AGFI est un carré de côté a MNRS est un carré de côté c HFEC est un carré de côté b I B A F G E C D H

  20. a c b b b c a a a + b a a + b a + b b b b B A M b a a a c N a c S a b c C D R b L’aire des deux figures est identique. Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire: I B A F G E C D H

  21. c c b b a a c a b L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : b I A M A a a c c N a F G E S c b b b b c C C D D H a a R

  22. c c b b a a c a b L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c b b b b c C C D D H a a R

  23. c c b b a a L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c c b b b b c C D D H a a R

  24. L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : L’aire du carré AGFI est a² L’aire du carré MNRS est c² L’aire du carré HFEC est b² Donc: a² + b² = c² I M A a c c N a F G E S c c b b C H R

  25. c b a² + b² = c² a Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse.

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