Pythagore

1. Pythagore Moyennes et proportions Vers ~569 à ~475 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Les pythagoriciens avaient développé une représentation géométrique des nombres qui leur a permis de déterminer certaines des propriétés de ceux-ci. Nous en avons eu un aperçu dans la présentation « la géométrie des nombres ». Ils ont également étudié les progressions, les rapports et proportions et différents types de moyenne entre deux termes. Nous allons présenter ces notions en utilisant les définitions et notations modernes afin d’en faciliter la compréhension.

3. Suites Une suite est un ensemble ordonné de nombres. Elle peut être croissante ou décroissante selon la façon dont les termes sont ordonnés. Ainsi, l’ensemble des nombres triangulaires {1; 3; 6; 10; 15; 21; … } est une suite croissante. Tandis que l’ensemble est une suite décroissante.

4. Progression arithmétique Une progression arithmétique est une suite ayant comme caractéristique que chaque nombre de la suite est égal au précédent augmenté d’un nombre constant que l’on appelle la raison de la progression arithmétique. Les nombres d’une progression sont appelés les termes de la progression. La suite : {1; 2; 3; 4; 5; 6; … } est une progression arithmétique de raison 1 alors que la suite : {1; 3; 5; 7; 9; 11; … } est une progression arithmétique de raison 2. Pour les pythagoriciens, les progressions arithmétiques ont des propriétés géométriques intéressantes, ils sont en relation avec les nombres polygonaux.

5. Sommes partielles Considérons la progression arithmétique de raison 1, {1; 2; 3; 4; 5; 6; … } constituée des gnomons des nombres triangu-laires. Les sommes partielles des termes de cette suite donnent les nombres triangulaires. En effet, si on note Sn, la somme des n premiers termes, on a : S1 = 1 S2 = 1 + 2 = 3 S3 = 1 + 2 + 3 = 6 S4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

6. Forme générale Disposons les points de ces sommes partielles pour former des triangles rectangles. Reproduisons chacun des triangles avec une rotation de 180°. À chaque fois, on forme un rectangle dont le nombre de lignes est le rang du nombre dans la suite et le nombre de colonnes est le ne terme de la progression plus 1, soit n + 1. L’aire du rectangle donne : 2Sn = n(n + 1) Puisque la somme des n premiers termes donne le nombre triangulaire de rang n, cela permet de décrire la forme générale du nombre triangulaire de rang n, soit :

7. Progression de raison 2 Considérons maintenant la progres-sion arithmétique {1; 3; 5; 7; 9; 11; … } constituée des gnomons des nombres carrés. Les sommes partielles des termes de cette suite donnent les nombres carrés. S1 = 1 S2 = 1 + 3 = 4 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

8. Gnomons et forme générale On constate qu’en reproduisant ces triangles avec une rotation, on peut compléter des rectangles. À chaque fois, on forme un rectangle dont le nombre de lignes est le rang du nombre dans la suite et le nombre de colonnes est le ne terme de la progression plus 1, soit 2n. L’aire du rectangle donne : 2Sn = n(2n) d’où l’on tire : Sn = n2 La forme générale du nombre carré de rang n, est donc : Cn = n2

9. Nombres polygonaux et gnomons Les gnomons des nombres polygonaux forment des progressions arithmétiques et le terme de rang n peut s’exprimer en fonction du nombre de côtés du polygone. On a alors la progression de raison 1 : {1; 2; 3; 4; 5; …; n; … }, la progression de raison 2 : {1; 3; 5; 7; …; (2n – 1); … }, la progression de raison 3 : {1; 4; 7; 10; …; (3n – 2); … }, la progression de raison 4 : {1; 5; 9; 13; …; (4n – 3); … }. On peut continuer ainsi pour les différents nombres polygonaux. Voyons maintenant comment traduire algé-briquement la caractéristique géométrique des sommes partielles.

10. Raison 1 Pour déterminer la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique, il suffit de déterminer les dimensions du rectangle formé en doublant le triangle de cette somme. En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 2 + 3 + … + n En écrivant les termes dans l’ordre inverse : Sn = n + … + 3 + 2 + 1 En additionnant terme à terme, 2Sn = n (n + 1) D’où l’on tire :

11. Raison 2 De la même façon, on peut déterminer la somme des n premiers termes de la progression arithmétique de raison 2 géométriquement et algébriquement. En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) En écrivant les termes dans l’ordre inverse : Sn = (2n – 1) + … + 5 + 3 + 1 En additionnant terme à terme, 2Sn = n (2n) D’où l’on tire : Cn = n2.

12. Raison 3 On peut procéder de la même façon pour la progression de raison 3 dont les sommes partielles donnent les nombres pentagonaux. En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 4 + 7 + … + (3n – 2) En écrivant les termes dans l’ordre inverse : Sn = (3n – 2) + … + 7 + 4 + 1 En additionnant terme à terme, 2Sn = n (3n – 1) D’où l’on tire :

13. Raison 4 Considérons maintenant la progression de raison 4 dont les sommes partielles donnent les nombres hexagonaux. En écriture algébrique moderne, la somme des n premiers termes est : Sn = 1 + 5 + 9 + … + (4n – 3) En écrivant les termes dans l’ordre inverse : Sn = (4n – 3) + … + 9 + 5 + 1 En additionnant terme à terme, 2Sn = n(4n – 2) D’où l’on tire : Hn =n(2n – 1) .

14. Généralisation De façon générale, les nombres gnomoniques que l’on additionne successivement pour obtenir les nombres poly-gonaux à k côtés forment une progression arithmétique de raison k – 2 et dont le premier terme est 1. On peut donc, en procédant de la même façon que dans les exemples précédents, déterminer la forme générale d’un nombre polygonal à k côtés de rang n. On remarquera que la démarche pour trouver la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique, tant sous la forme géométrique ancienne qu’algébrique moderne, est utilisable pour trouver la somme des n premiers termes d’une progression dont le premier terme est a et la raison est d.

15. Moyennes et proportions En cherchant à décrire la réalité par les nombres, les pythagoriciens ont étudié les rapports de nombres entiers et ébauché une première théorie des proportions. Cela les a amenés à déterminer différentes relations entre les longueurs de segments de droites. Ces relations pouvaient se décrire par des rapports de nombres entiers et avaient une interprétation géométrique Ainsi, à partir des longueurs de deux segments de droite, on peut déterminer d’autres segments dont la longueur, appelée médiété, est dans un rapport particulier avec les longueurs des deux segments. Nous allons présenter ici trois de ces médiétés, la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique.

16. Moyenne arithmétique Un nombre c est la moyenne arithmétique de deux nombres a et b, s’il dépasse le premier de la même quantité que le troisième le dépasse. Pour que c soit la moyenne arithmétique de a et b, il faut donc que : c – a = b – c Cela donne : 2c = a + b La moyenne arithmétique de a et b est donc le nombre c tel que : On remarque que la suite {a, c, b} forme une progression arithmétique. En posant d = c – a = b – c, On a alors : {a, c, b} = {a, a + d, a + 2d}.

17. Moyenne arithmétique Géométriquement, la moyenne arithmétique est la longueur du côté du carré ayant même périmètre que le rectangle de côtés a et b. Construisons, à la règle et au compas, la moyenne arith-métique des côtés a et b d’un rectangle. Déterminons le point milieu du segment de longueur a + b et élevons une perpendiculaire en ce point. Déterminons sur cette per-pendiculaire un segment dont la longueur est la moitié de la longueur a + b. Il reste à compléter le carré dont le périmètre est égal à celui du rectangle. Reportons d’abord la longueur du côté a dans le prolon-gement du côté b.

18. Moyenne arithmétique L’intérêt des pythagoriciens pour les rapports les a amené à exprimer les différentes moyennes comme médiétés de deux longueurs, c’est-à-dire comme mesures d’un segment qui divise une somme de segments dans un rapport donné. Ainsi, la moyenne arithmétique de a et b est le segment c qui divise le segment de longueur a + b de telle sorte que : On remarque que le segment c peut être moyenne arithmétique de plusieurs segments. Par exemple, lorsque la longueur totale des deux segments mis bout à bout est la même. Mais, ce qui intéressait les pythagoriciens, c’est le fait que le point (ou le segment c) a une caractéristique exprimable en terme de rapport.

19. Moyenne géométrique Un nombre g est la moyenne géométrique de deux nombres a et b, si le premier est à g comme g est au second de ces nombres. En écriture moderne, cela signifie que g est la moyenne géométrique de a et b si : Cela donne : g2 = ab d’où l’on tire :

20. Moyenne géométrique Géométriquement, la moyenne géométrique est la longueur du côté du carré ayant même aire que le rectangle de côtés a et b. Construisons, à la règle et au compas, la moyenne géomé-trique des côtés a et b d’un rectangle. Prolongeons le côté a jusqu’à sa rencontre avec le demi-cercle. Déterminons le point milieu du segment de longueur a + b. Le segment ainsi déterminé est le moyen géométrique. C’est également le côté du carré ayant même aire que le rectangle de côtés a et b. Traçons le demi-cercle centré en ce point milieu et dont le rayon est la moitié de la longueur du segment a + b. Reportons d’abord la longueur du côté a dans le prolon-gement du côté b.

21. Moyenne géométrique La moyenne géométrique peut elle aussi s’exprimer comme médiété de deux longueurs. Ainsi, la moyenne géométrique de a et b est le segment g qui divise le segment de longueur a + b de telle sorte que : On remarque que si a et b varient tout en conservant la même somme, le segment g dépend de la longueur de ces deux segments.

22. Moyenne harmonique La moyenne harmonique h de deux nombres a et b est l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses multi-plicatifs de ces nombres. La moyenne arithmétique des inverses multiplicatifs de a et b est : En mettant au même dénominateur, La moyenne harmonique est l’inverse de l’expression obtenue, soit :

23. Moyenne harmonique On peut exprimer la moyenne harmonique sous la forme : En l’écrivant sous cette forme, on constate que la moyenne harmonique est le rapport de l’aire du rectangle de côtés a et b sur le quart de son périmètre. On peut également définir la moyenne harmonique comme le segment qui divise a + b de telle sorte que : Philolaos avait découvert que le nombre de sommets d’un cube (8) est la moyenne harmonique entre son nombre de côtés (12) et son nombre de faces (6).

24. Moyenne harmonique Les pythagoriciens ont défini jusqu’à dix médiétés de segments à cause de leur vénération de la Tetraktys. Nous ne les présenterons par toutes, car les seules encore en usage sont les trois précédentes et la division en extrême et moyenne raison, ou proportion du nombre d’or, qui fera l’objet d’un autre diaporama. Signalons que les proportions harmoniques sont présentes dans plusieurs domaines de la physique: dans l’étude de l’optique, (miroirs et lentilles), de l’électricité, de l’hydrodynamique et de la gravitation.

25. Proportions et musique Selon la légende, Pythagore, passant devant l’atelier d’un forgeron, aurait été attiré par les différences de tons et aurait eu l’idée de peser les marteaux des forgerons pour expliquer ces différences. Il aurait alors songé à appliquer ces rapports pour l’étude des cordes vibrantes. Les Babyloniens et les Égyptiens avaient déjà étudié les cordes vibrantes. Ils savaient que pour une tension donnée, la hauteur (donc la fréquence) du son émis par la corde augmente lorsque la longueur en vibration diminue. Les pythagoriciens se sont beaucoup intéressés à ce phénomène en utilisant une simple corde sous tension sur une caisse de résonance.

26. Proportions et musique À l’aide d’un chevalet mobile sur une échelle graduée, ils faisaient vibrer une partie de la corde en comparant au son émis par une corde en pleine longueur. Ils pouvaient ainsi « écouter » les différentes proportions. Ils ont exprimé les propriétés des cordes vibrantes en termes de rapports de nombres naturels.

27. Proportions et musique Ainsi, si la moitié de la corde vibre, le son émis est un octave plus haut que le son émis par la corde entière. Si les deux tiers de la corde vibrent, le son est plus élevé de 1/5 que le son produit par la vibration de la corde entière. L’octave, la quinte, la quarte étaient considérés comme les sons les plus harmonieux.

28. Conclusion Pour les pythagoriciens, les sons harmonieux sont produits par la vibration de cordes dont les longueurs sont des rapports de nombres naturels et plus le rapport est simple, c’est-à-dire exprimé par les nombres de la Tetraktys, meilleure est la consonance. Ils ont imaginé que les corps en mouvement dans l’espace émettaient un son inaudible à l’oreille humaine. Plus la planète est éloignée, plus sa vitesse est grande et plus le son est élevé. Pour eux, les distances entre les planètes et les rapports entre leurs vitesses devaient être harmoniquement déterminés. Les sons émis par les planètes s’harmonisaient entre eux, ces croyances sont à l’origine des mythes de la musique des sphères et de l’harmonie céleste.

29. Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 1979 2 vol., 587 p. Duvillié, Bernard, Sur les traces de l’homo mathematicus, les mathématiques avant Euclide, Paris, Ellipses, 1999, 461 p Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol. 1 299 p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. Vitrac, Bernard, Euclide, Les Éléments, 4 vol. Paris, PUF, 1990, 1994, 1998, 2001. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ Fin