Cursul - 4 Trasformari liniare

1. Cursul - 4Trasformari liniare Fie V şi W două spaţii vectoriale peste câmpul K. Definiţia 1.Se numeşte transformare liniară (aplicaţie liniară, operator liniar sau morfism de spaţii vectoriale) o funcţie T:VW, care satisface proprietăţile: 1) T(x+y) = T(x) +T (y) , x, y  V 2) T(x) = T(x) ,  x  V , K. Propozitia 1. Aplicaţia T:VW, este o transformare liniară dacă şi numai dacă T(x+y) = T(x) + T (y) , x, y  V, , K. Exemple: 1oAplicaţia T:RnRm , T (x) = AX, AMmn(R) , X = tx este o transformare liniară. În particular, pentru n = m = 1 , aplicaţia definită prin T (x) = ax, aR, este liniară. 2° Aplicaţia T: C1 (a, b) C0(a,b) , T (f ) = f  este liniară. 3oAplicaţia T: C0 (a, b) R, T(f) = este liniară. 4oDacă T:VW este o transformare liniară bijectivă atunci T-1:W V este o transformare liniară. T:VW bijectiva - izomorfism T:VV – endomorfism (+bijectiv = automorfism)

2. Propozitia 2.Dacă T:VW este o transformare liniară oarecare, atunci :a) T (0V) = 0W , T (-x) = - T(x), xVb) Imaginea T (U) W, a unui subspaţiu vectorial U V, este subspaţiu vectorialc) Contraimaginea T-1 (W) V , a unui subspaţiu vectorial WW , este un subspaţiu vectoriald) Dacă vectorii x1, x2,..., xnV sunt liniar dependenţi atunci şi vectorii T (x1), T (x2) ,..., T (xn)  W sunt liniar dependenţi. Consecinţa 1.Dacă T:VW este o transformare liniară atunci : • Mulţimea KerT = T-1{0} ={xV | T (x) = 0 }V numită nucleul transformării liniare T, este un subspaţiu vectorial. • Im T = T (V)W, numită imagineatransformării liniare T, este un subspaţiu vectorial. • Dacă T(x1), T(x2), ... , T(xn) Wsunt liniar independenţi atunci şi vectoriix1, x2,..., xnV sunt liniar independenţi.

3. Propozitia 3.O transformare liniară T:VW este injectivă dacă şi numai dacă KerT = {0}.(T consrva liniar independenta ) Dimensiunea nucleului Ker T se numeşte defectul operatorului T . Dimensiunea imaginii Im T se numeşte rangul operatorului T . Teorema 1.(teorema rangului) Dacă spaţiul vectorial V este finitdimensional atunci şi spaţiul vectorial ImT este finit dimensional şi avem relaţiadim Ker T+ dim Im T = dim V Consecinţa 2.Dacă V şi W sunt două spaţii vectoriale finit dimensionale şi T:VW este o transformare liniară, atunci: 1) Dacă T este injectivă şi {e1, e2, ..., en} este o bază în V atunci { T (e1), T (e2), ..., T (en)} este o bază în ImT . 2) Două spaţii vectoriale izomorfe au aceeaşi dimensiune.

4. . Fie Vn şi Wm două K-spaţii vectoriale finit dimensionale şi T: V  W o transformare liniară. Dacă B = {e1, e2, ..., en} este o bază fixată în Vn , iar B = {f1, f2, ..., fm} este o bază fixată în Wm atunci transformarea liniară T este unic determinată de valorile T (ej)Wm . Pentru  j =1,n asociem imaginii T (ej) n-upla (a1j, a2j, ..., amj), adica A=( aij) Mmx n(K) – matricea asociata tranasformarii liniare T in raport cu bazele B si B’. Teorem 2.Dacă x = are imaginea y = T (x) = , atunci yi = ,  i =1,m. In adevar,

5. . In limbaj matriceal scriem Y = AX – numite ecuatiile transformarii liniare T in raport cu bazele considerate. Teorema 3.Două matrice A, AMn (K) relativ la bazeleB, BVn , reprezintă aceeaşi transformare liniară T : VnVn dacă şi numai dacă A = -1A .Unde este matricea de trecere de la baza B la baza B. Definiţia 2.Două matrice A, BMn(K) se numesc asemenea dacă există o matrice nesingulară CMn(K) astfel încât are loc relaţia B = C-1 A C . Observatii: 1oAsemanarea este o relatie de echivalenta 2o Doua matrice asemenea au acelasi determinant detB = det(C-1) detAdetC = det Arang A=:rang T

6. Vectori si valori proprii. Cautam cea mai simpla forma de exprimare pentru ecuatiile transformarii T: Definiţia 3.Fie V un K-spaţiu vectorial şi TEnd(V) un endomorfism. Un vector x  V, x 0 se numeşte vector propriu al endomorfismului T :VV dacă există K astfel încât T(x) = x . Scalarul K se numeşte valoarea proprie a lui T corespunzătoare vectorului propriu x. Mulţimea valorilor proprii ale endomorfismului Teste numit spectrul operatorului T şi se notează cu  (T). Teorema 4.Dacă V este un K-spaţiu vectorial şi TEnd(V), atunci 1) Fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singură valoare proprie (T) 2) Vectorii proprii ce corespunde la valori proprii distincte sunt linair independenţi. 3) Mulţimea S = {xV | T x= x ,  (T)} V este un subspaţiu vectorial, invariant în raport cu T , adică T (S) S . Subspaţiul vectorial se numeşte subspaţiu propriu corespunzător valorii proprii  (T).

7. Definiţia 4.Matricea nenulă XMn(K)se numeşte vector propriu al matricei A dacă K astfel încât AX =X. Scalarul K se numeşte valoare proprie a matricei A. Ecuaţia matriceală AX = X poate fi scrisă sub forma (A -I )X = 0 şi este echivalentă cu sistemul de ecuaţii liniare şi omogene care admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă P() = det(A -I ) = PolinomulP() = det(A -I )-polinomul caracteristic al matricei A P() = 0 -ecuaţia caracteristică P() = (-1)n [n - 1n-1+ ... + (-1)nn ]

8. Observatii:1o Soluţiile ecuaţiei caracteristice det(A -I ) = 0 sunt valorile proprii ale matricei A.2o Dacă K este un câmp închis  toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt în corpul K vectorii proprii corespunzătorise vor găsi în K-spaţiul vectorial Mn1(K).3oPentru o matrice reală şi simetrică valorile proprii sunt reale.4o Două matrice asemenea au acelaşi polinom caracteristic. Dacă AMn(K) şi P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + anK[X] atunci polinomul P(A) = a0An + a1An-1+ ... + anI se numeşte polinom de matrice. Teorema 5.(Hamilton – Cayley)Dacă P() este polinomul caractersitic al matricei A, atunci P(A) = 0. Consecinţa 3.Orice polinom în AMn(K) de grad  n poate fi exprimat printr-un polinom de grad n – 1. Consecinţa 4.Inversa matricei A poate fi exprimată prin puteri ale matricei A, inferioare ordinului acesteia. Valorile proprii ale endomorfismului T, dacă există, sunt rădăcinile polinomului P() în câmpul K, iar vectorii proprii ai lui T vor fi soluţiile ecuaţiei matriceale (A -I )X = 0.

9. Forma canonica a unui endomorfism Fie endomorfismul T :VnVn definit pe K-spaţiul vectorial n-dimensional Vn. Dacă în spaţiul vectorial Vn considerăm bazele B şi B , atunci A = -1A. Definiţia 5.Endomorfismul T: VnVn se numeşte diagonalizabil dacă există o bază B= {e1, e2, ..., en} în spaţiul vectorial Vn astfel încât matricea corespunzătoare lui T în această bază să aibă forma diagonală. Teorema 4.Un endomorfism T: VnVn este diagonalizabil dacă şi numai dacă există o bază a spaţiului vectorial Vnformată numai din vectori proprii corespunzători endomorfismului T. Rezultă că matricea asociată lui T, în această bază, este data de în care scalarii iK nu sunt neapărat distincţi.

10. Consecinţa 5.Dacă endomorfismul T are n valori propri distincte, atunci vectorii proprii corespunzători determină o bază în Vn şi matricea asociată lui T în această bază este o matrice diagonală având pe diagonala principală valorile proprii ale lui T.Consecinţăa 6.Dacă AMn(K) este diagonalizabilă atunci detA = 12 ... n. Polinomul caracteristic P(λ) poate fi scris mk – multiplicitatea algebrica dim S - multiplicitatea geometrica , dim S mk Teorema 5.Un endomorfism T : VnVn este diagonalizabil dacă şi numai dacă polinomul caracteristic are toate rădăcinile în câmpul K şi dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare.

11. . Consecinţa 7.Dacă T :VnVn este un endomorfism diagonalizabil, atunci spaţiul vectorial Vn poate fi reprezentat sub forma Algoritm pentru diagonalizarea unui endomorfism (matrice): 1o det(A -I )= 0 20 Se aplica Teorema 5. I. pentru λkK,  i =1,2,...,p(dim S = n - rang(A - iI )) a) daca dim S = mk ,  i = 1,p T este diagonalizabil b) dacă  i K a.î.dim S< mi,  T nu este diagonalizabil II. Dacă  i  K, atunci T nu este diagonalizabil.