1 / 17

Sisteme liniare

Sisteme liniare. Sisteme Cramer. Un sistem se numeste sistem Cramer daca matricea A a sistemului este inversabila , deci daca det A≠0. Un sistem Cramer are solutie unica (x 1, x 2, x 3 , …, x n ) ∈ C n , data de formulele : .

yama
Download Presentation

Sisteme liniare

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sistemeliniare

  2. Sisteme Cramer • Un sistem se numestesistem Cramer dacamatricea A asistemuluiesteinversabila, decidacadet A≠0. • Un sistem Cramer are solutieunica(x1, x2, x3, …, xn)∈Cn , data de formulele: . • Notam cu A matriceacoeficientilornecunoscutelor x1, x2, …., xn, deci A=(aij )∈Mn(ℂ). Matricea A se numestematriceasistemului. (1)

  3. Demonstratie.Notammatriceacoloana a necunoscutelorsi cu matriceacoloana a termenilorliberi. Atuncisistemul (1) se scrie AX=B (forma matriceala a sistemului). Cum A esteinversabila, aceastaecuatiematriceala are solutiaunica X=A-1 B ∈ Mn,1(ℂ). Daca (x1, x2, x3, …, xn)∈Cnestesolutiasistemului, atunci B= unde C1, C2, …., Cnsunt coloanelematricei A.

  4. Fie j∈{1, 2, …, n}. Din proprietatea 3 a determinantilorrezulta ca △j=det(C1, C2, …, Cj-1, B, Cj, …, Cn)=det(C1, C2, …., Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)= = det(C1,C2,…,Cj-1, Ck, Cj+1,…., Cn)= =xjdet(C1, C2, ….,Cj-1, Cj, Cj+1, …, Cn)=xjdet A= =xj△, deoarece A=(C1, C2, …, Cj-1, Cj, Cj+1,…, Cn) sipentruoricek≠jdet(C1, C2,…, Cj-1, Ck, Cj+1, …, Cn)=0 fiinddeterminantuluneimatrice cu douacoloaneegale. Cum △≠0 rezulta ca xj= , j∈{1, 2,…., n}.

  5. EXEMPLU: Sa se rezolvepesteℂ sistemul Matriceasistemului are determinantul decisistemuleste Cramer. Avem: , si Aplicandregulalui Cramer obtinem: x=△1/△=12/12=1, y=△2/△=24/12=2 si z=△3/△=36/12=3. Decisolutiasistemuluiese (1, 2, 3)

  6. Exercitiipropuse:

  7. SistemeCompatibile • Forma generala: (1) unde a11, a22, …, amn∈ℂ, b1, b2, … bm ∈ℂ, x1, x2,…., xn ∈ℂ. x1, x2,…., xn - necunoscute b1, b2, … bm - termeniliberi aij∈ℂ(1≤i≤m, 1≤j≤n) – coeficientiinecunoscutelor

  8. In cazul in care m=n adicanumarul de ecuatii coincide cu nr de necunoscute, sistemulliniarrespectiv se numestesistemliniarpatratic. • Sistemuluiliniar (1) ii asociem in mod natural urmatoareledouamatrice: ∈Mm,n(ℂ) numitamatricea sistemului Ā= ∈Mm,n+1(ℂ) numita matriceaextinsa • Observam ca matriceaextinsaprovine din matriceasistem, careia ii adaugamcoloanatermenilorliberi.

  9. Dacanotam cu X coloananecunoscutelorsi cu B coloanatermenilorliberi, adica: ∈Mn,1(ℂ) ∈Mm,1(ℂ) , observam ca sistemulliniar (1) se scrie sub forma ecuatieimatriceale: AX=B (2). Egalitatea (2) se numesteforma matricealaa sistemuluiliniar (1). Sistemulliniar (1) se numestecompatibildaca are celputin o solutie, respectivincompatibildaca nu are nici o solutie.

  10. In cazulcandsistemulestecompatibilsi are o solutie, spunem ca sistemulestecompatibildeterminant,iardaca are maimultesolutiispunem ca estecompatibilnedeterminat. RangulmatriceiA asistemului se mainumesterangulsistemului; ecuatiile care corespundliniilorprincipale(respectivsecundare) ale matricei A se numescecuatiiprincipale(respectivsecundare); necunoscutele care corespundcoloanelorprincipale(respectivsecundare) se numescnecunoscuteprincipale(respectivsecundare).

  11. Teorema 1 (Kronecker – Capelli) Un sistemliniarestecompatibildacasinumaidacarangulmatriceisistemuluiesteegal cu rangulmatriceiextinse. • Demonstratie: S. l. (1) se scrie sub forma echivalenta: (3) Presup. s. l. (1) compatibilsidemonstram ca matricele A si Ā au acelasi rang. S. l. (1) compatibilrezulta ca exista x1, x2, …, xn∈ℂ a.i . are loc egalitatea (3). r si r’ suntrangurilematricelor A si Ā. A estesubmatrice a matricei Ā rezulta ca r≤r’.

  12. Fie △ un minor de ordin r+1 al matriceiextinse Ā. Daca △ este minor al matricei A, de rang r, rezulta ca △=0. Daca △ are ultimacoloanaformata din termeniliberi din (3) rezulta ca aceastacoloanaeste o combinatieliniara de coloane ale matricei A siatunci △ estecombinatieliniara de minori de ordin r+1 aimatricei A, minorinuli, prinurmare △=0. Din r≤r’ sir’≤rrezulta r’=r.

  13. Definitie: Fie △ un minor principal al matricei A asistemuluiliniar (1). Bordatiiminorului △ in matriceaextinsa Ā, care au ultimacoloanaformata din termeniliberi (dacaexistaasemeneabordati) se numescminoricaracteristici. • Dacamatricea A are rangul r, minoriicaracteristici au ordinul r+1, iarconditianecesarasisuficientasaexisteminoricaracteristicieste r<m, adicarangulsa fie maimicdecatnumarulecuatiilor. • Exemplu:Dacasistemulliniar: are minorul principal △= atunciminoriicaracteristicisunt: si

  14. Teorema (2) (Rouche) In cazul r<m (rangulsistemuluimaimicdecatnumarulecuatiilor) s. l. (1) estecompatibildacasinumaidacatotiminoriicaracteristicisuntnuli. • Demonstratie:Presupunem s. l. (1) compatibil. Rangulmatriceiextinse Ā esteegal cu rangul r al matricei A (Teorema (1)). Deoareceminoriicaracteristicisuntminori de ordinul r+1 aimatricei Ā, rezulta ca eisuntnuli.

  15. Exemplu: Solutie: =1 ≠0, deci r=2/. r=m rezultasistemulestecompatibil. Deoareceminorul principal este△p= rezulta ca necunoscuteleprincipalesunt x si y, iarnecunoscutasecundara z. Sistemul se scrieechivalentsi, aplicand regulalui Cramer, obtinem x= =2z; y= =1-3z Notam z=λ ∈ℂ rezultamultimeasolutiilorsistemuluieste S={(2λ, 1-3λ, λ) | λ∈ℂ}

  16. Exercitiipropuse: • (5) • (6)

  17. Raspunsuri: (1) (3, 1, 1) (2) (1, 1, 1) (3) a≠-3 (4) a∈ R \ {-2, 1} (5) (λ, m, -λ+2m, -1) (6) incompatibil

More Related