1 / 28

osnove teorije uzoraka

osnove teorije uzoraka. Osnove teorije uzoraka. UZORAK: slučajni, reprezentativni dio osnovnog skupa – populacije. Uzorci:. ( ). f x. f x. ( ). razdioba. aritmetičke. sredine uzorka. osnovni. skup. m. x x. ,. x. 1. x. 2. x. 3. x. 4. x. 5. x. 6.

fay-glass
Download Presentation

osnove teorije uzoraka

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. osnove teorije uzoraka

  2. Osnove teorije uzoraka UZORAK: slučajni, reprezentativni dio osnovnog skupa – populacije Uzorci:

  3. ( ) f x f x ( ) razdioba aritmetičke sredine uzorka osnovni skup m x x , x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Raspon osnovnog skupa Razdioba aritmetičke sredine uzorka osnovni skup: aritm. sredina uzorka:

  4. Nepristrane procjene parametara osnovnog skupa Pojam nepristrane procjene: neka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi: dakle: uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn. skupa dakle: varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa dakle: varijabla nepristrano procjenjuje varijancu osnovnog skupa

  5. Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka • Pomoću varijable s2 određuje se • VAŽNO: k = (n – 1)... broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka standardna pogreška ar. sredine

  6. Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa interval povjerenja (vjerodostojnosti) varijabla standardizirane normalne razdiobe

  7. Važno: • Veliki uzorci: n > 30 elemenata, podataka • vrijednost varijable z → iz standardizirane normalne razdiobe • Mali uzorci: n ≤ 30 elemenata, podataka • koristiti Studentovu t-razdiobu • Studentova t-razdioba • simetrična • za velike uzorke se ne razlikuje od normalne razdiobe

  8. Konačno: • Za velike uzorke Koristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu • Za male uzorke Koristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n – 1

  9. Primjer: • Podaci utvrđeni u nekom procesu:52.1, 49.0, 51.4, 50.0, 50.3, 49.6, 50.6, 50.8, 51.0, 51.7Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak, uz interval vjerodostojnosti 1 –  = 0,95 (95%) • Rezultati dobijeni računanjem, iz uzorka:n = 10; = 50,65; s = 0.96

  10. Opaska • U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa, nije nužno korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške • U tom je slučaju: • Za prethodni primjer:ako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa , slijedi:

  11. Intervalna procjena proporcija • Uzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p, tj. proporcijom istog događaja ali u uzorku: Vrijedi: uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 – a)

  12. Važne pretpostavke: • proporcija uzorka • sp ... nepristrana procjena standardne pogreške proporcije uzorka: • n ... veličina uzorka • VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n → 100)

  13. Intervalna procjena varijance • Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa • Vrijedi (K. Pearson, 1857.–1936.) • varijabla rasipa se prema c2 razdiobi s k = n – 1 stupanj slobode uz vjerojatnost (1 – a)

  14. Konačno: uz razinu povjerenja (1 – a)

  15. Testiranje statističkih hipoteza • T.S.H. predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorka • uzorak, n podataka: x1, x2, ... , xn • rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n-dimenzionalnom prostoru • prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju), dio A i dio B U praksi: umjesto n-dimenzionalnog modela služimo se jednodimenzionalnim varijablama (uglavnom).

  16. Postavimo dvije hipotezeH0: nulta hipotezaH1: alternativna hipoteza • Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A, smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je • Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B, smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je

  17. Pogreške pri testiranju hipoteza • Očito: pri uporabi opisanog modela moguće su pogreške • Uzrok pogrešaka: slučajnost odabira elemenata uzorka! • Vrste pogrešaka: • Pogreška 1. vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna: • Vjerojatnost pogreške 1. vrste: • Pogreška 2. vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1 • Vjerojatnost pogreške 2. vrste:

  18. Jakost testa • Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna: • očito:  +p = 1  p = 1–   ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho

  19. Testiranje hipoteza za očekivanje Hipoteze: • Uzorak – osnovni skup, hipoteze • Razdioba aritmetičke sredine uzorka • Studentova razdioba s k = n – 1 st. slob. Pogodna jednodimenzionalna varijabla: Ako je odbaciti Ho, uz vjerojatnost pogreške 1. vrste a ... varijabla Studentove t-razdiobe, k = n – 1 stup. slobode

  20. Primjer: • Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10; = 50.65; s = 0.96; • Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 51.5 jedinica, naprama alternativnoj hipotezi • Vjerojatnost pogreške 1. vrste a neka iznosi 0.05 (a = 0.05) Zaključak:

  21. Provjera hipoteza uzorak – uzorak • 1. skup: očekivanje m1, varijanca s201  1. uzorak: n1 podataka, • 2. skup: očekivanje m2, varijanca s202  2. uzorak: n2 podataka, Hipoteze:

  22. aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe • njihova razlika rasipat će se oko veličine • pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita, , varijabla d će se rasipati oko 0.

  23. ... za uzorke s (n1 + n2– 2) > 30 • pri tome je standardna pogreška varijable d: • varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze: ... za uzorke s (n1 + n2 – 2) ≤ 30, i ako se n1 i n2 znatno razlikuju ... varijabla Studentove t-razdiobe s k = n1 + n2 – 2 s. s. Ako  odbaciti Ho, uz vjerojatnost pogreške 1. vrste a.

  24. slučaj: uzorak – osn. skup osnovni dvoslojni skup s proporcijom P elementa sa svojstvom A. uzorak n elemenata s proporcijom p važno: E(p) = P rasipanje proporcije p oko proporcije P ima standardnu pogrešku: slučaj: uzorak – uzorak osnovni skupovi uzorci nulta hipoteza: alternativna hip.: Testiranje hipoteza za proporcije(atributivne podatke) 1. skup, proporcije P1 2. skup, proporcije P2 n1 pod., proporcija p1 n2 pod., proporcija p2

  25. varijabla za testiranje hipoteze Ho : P  razlika d = p1 – p2 rasipa se oko E(d) = 0, ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze: Vrijedi samo za VELIKE uzorketj. n  100 Zaključak:Ako

  26. Usporedba (testiranje) varijanci • 1. Osnovni skup: očekivanje m1, varijanca s201  nepristrana procjena varijance • 2. Osnovni skup: očekivanje m2, varijanca s202  nepristrana procjena varijance • Nulta hipoteza: naprama alternativnoj • Varijabla ... varijabla F-razdiobe s kb = n1 – 1 s.s. ikn = n2 – 1 s.s.

  27. Ako: Frač. > F0 odbaciti Ho Konvencija: Tipično: a = 0.05; 0.01 • F-razdioba: utemeljio G. Snedecor (1881.–1934.) • Naziv F-razdioba u čast R. Fishera (1890.–1962.) VAŽNO: Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnosti razlika među varijancama

More Related