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Analyse temps-fréquence

Analyse temps-fréquence. Spectrogramme Distribution de Wigner Ville. Les signaux non stationnaires. Un signal dont la ‘ structure ’ change au cours du temps parole, musique, impacts, ‘ chirp ’, machines tournantes lors d ’accélération ou décélération,

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Presentation Transcript

  1. Analyse temps-fréquence Spectrogramme Distribution de Wigner Ville SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  2. Les signaux non stationnaires • Un signal dont la ‘ structure ’ change au cours du temps • parole, musique, impacts, ‘ chirp ’, machines tournantes lors d ’accélération ou décélération, • on souhaite faire l ’analyse en fréquence de régions locales du signal .i.e. localisée temporellement. •  ANALYSE TEMPS FREQUENCE • Une limite « le principe d’incertitude  » • B largeur de bande fréquentiel d ’un signal, • T durée du signal • alors : BT 1/2 • plus on veut se localiser sur une portion d ’un signal • moins on peut spécifier les fréquences précisément SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  3. Le spectrogramme formulation • DSPx(t) signal stationnaire x(t) • x (f) = x(t).e-2jft 2 est indépendant du temps • Spectrogramme : non stationnaire = suite de non stationnarités • Sx (t,f) = x(u).h(u-t).e-2jft 2 est fonction du temps et de la fréquence • h(t) est une fenêtre glissante • bonne résolution temporelle si h(t) courte • bonne résolution fréquentielle si h(t) longue SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  4. Représentation ‘ Waterfall ’(ou cascade) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  5. Le spectrogramme Représentation plan SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  6. Le spectrogramme quelques propriétés • Les plus: • positif, • extension directe de Fourier, interprétation identique en fréquences • pas de termes d ’interférences • Les moins: • principe d ’incertitude BT 1/2, • compromis entre résolutions en fréquence et en temps • la résolution et les lois en fréquence sont fonction de la fenêtre • l ’optimisation des fenêtres nécessite des informations a priori sur le signal SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  7. Spectrogramme: chirpnfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  8. Spectrogramme: chirpnfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  9. Spectrogramme chirpnfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  10. Spectrogramme chirpnfft=512 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  11. Spectrogramme: double chirp (nfft=128) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  12. Spectrogramme: double chirp (nfft=256) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  13. Spectrogramme: double chirp (nfft=512) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  14. Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=256) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  15. Spectrogramme: signal d ’engrenage (nfft=1024) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  16. Comment définir une fréquence ? • Dans le cas stationnaire • Fourier • « Sinusoïde de durée infinie » • Dans le cas non stationnaire • même définition que le cas stationnaire mais QUI VARIE DANS LE TEMPS?? • Impossible à cause du principe d’incertitude • On définit alors la FREQUENCE INSTANTANEE • signal analytique, • cette quantité est fonction du temps, elle correspond à la sinusoïde qui suit au mieux le signal • cependant elle est adaptée à un signal à bande étroite (.i.e. une composante) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  17. Fréquence instantanée et retard de groupe pour un signal monochromatique • Fréquence instantanée • x(t) = cos (2. .f0.t) • xa(t) = cos (2. .f0.t) + j. sin (2. .f0.t) = e 2.j. .f0.t • fi (t) = 1/2. d/dt { arg (xa(t) } = f0 • localisation en fréquence d ’une composante temporelle • Retard de groupe • Xa(f) = TF { xa(t) } • tg = 1/2. d/df { Arg Xa(f) } retard de groupe • x(t) = cos (2. .f0.t), xa(t) = e 2. .f0.t • Xa(f) =  (f-f0)  tg=0 • x(t) = cos (2. .f0.(t-t0)), xa(t) = e 2. .f0.(t-t0) • Xa(f)=  (f-f0).e-2 .j f0t0 tg=t0 • localisation en temps d ’une composante fréquentielle SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  18. Distributions temps fréquence • Objectifs: • Améliorer la résolution en temps et en fréquence de l ’analyse d ’un signal non stationnaire • Des représentations temps- fréquence ont été développées pour avoir la meilleure répartition de l ’énergie dans ce plan. • Ces représentations sont dites représentations quadratiques • Distribution de Wigner, • Classe générale de Cohen • d ’autres représentations existent (Choï Williams, ..) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  19. Quelles sont les propriétés souhaitées pour une représentation T-F ?? SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  20. Fréquence instantanée et retard de groupe pour un chirp • Chirp (sinus à balayage linéaire d ’amplitude constante (durée infinie) • x(t) = a. cos ( 2(t)) = a. cos(2(f0t + b/2.t2)) • xa(t) = a. e 2j(f0t + b/2.t^2), Xa(t) = A(f) e j  (t) • fréquence instantanée f(t) = (1/2).d(t)/dt = f0+b/2.t • retard de groupe tg(f)= (1/2).d(t)/df = -2/b.(f-f0) • réciprocité entre la fréquence instantanée et le retard de groupe • Ces notions sont importantes • pour les signaux mono composantes • pour les signaux dont l ’amplitude varie lentement vis-à-vis de la fréquence la plus basse • Dans les autres cas, la fréquence instantanée sera une valeur moyenne SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  21. La fonction d’autocorrélation et DSP • Aléatoire stationnaire • Aléatoire , non stationnaire SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  22. La fonction d’autocorrélation signal déterministe • Ecriture de la fonction d ’autocorrélation • Déterministe SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  23. Spectre de Wigner Ville : définition • Pour un signal déterministe • Cas particulier : • On obtient la transformation de Wigner Ville SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  24. Distribution de Wigner Ville • Signaux déterministes Signaux aléatoires • Rem: la représentation de Wigner Ville prend en compte TOUT le signal. • Pour les signaux déterministes => Représentation de WV • Pour les signaux aléatoires => Spectre de WV SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  25. Propriétés de la TF de Wigner Ville(1) SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  26. Propriétés de la TF de Wigner Ville(2) • Inconvénients • Valeurs négatives locales !!! • Interférences entre les composantes des signaux • ceci est du au produit x(t-T/2) x(t+T/2) • Avantages • meilleure résolution en temps et fréquence puisque on utilise tout le signal • propriétés marginales • estimation des modulations de fréquences • du retard de groupe SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  27. Wigner Villecas discret • l ’indice l, dans la TFWV directe correspond à l.t/2 • l ’indice k, dans la TFWV inverse correspond à k/2.M.t • D ’où un échantillonnage 2 fois plus fin! • Autre interprétation: • le produit des 2 signaux x(t), x(t+T/2) donne dans le domaine fréquentiel une convolution avec un spectre de largeur double! D ’où la nécessité d ’échantillonner à une fréquence double de celle de Nyquist! SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  28. Transformée de Wigner VilleUtilisation du signal analytique • Au lieu d ’utiliser x(t), on utilise souvent le signal analytique de x(t) • Ce signal a un spectre défini uniquement pour les fréquences positives. • Ce permet: • d ’éviter d ’échantillonner à la fréquence double! • d ’éviter les interactions entre les fréquences positives et négatives du spectres. • Formulation basée sur la TF des signaux • remarque: • il n ’y a pas de pertes d ’informations • WV est défini pour les fréquences positives, sans pertes d ’informations SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  29. Pseudo Wigner-Villeet Pseudo Wigner-Ville Lissé • Pseudo Wigner Ville : lissage en fréquence • version lissée en fréquence • on utilise une portion du signal • moins bonne résolution en fréquence • Pseudo Wigner Ville Lissé : lissage en temps et fréquence • convolution bi-dimensionnelle • réduction des interférences • positivité • perte de résolution T-F SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  30. Pseudo WV chirp nfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  31. Pseudo WV chirp nfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  32. Pseudo WV chirp nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  33. Pseudo WV chirp2 nfft=64 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  34. Pseudo WV chirp2 nfft=128 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  35. Pseudo WV chirp2 nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  36. Pseudo WV signaux d ’engrenage nfft=256 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  37. Pseudo Xigner Ville Lissé etSpectrogramme • Spectrogramme • Interprétation: • le spectrogramme correspond à une version lissée du spectrogramme WV du signal WV de la fenêtre SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  38. Annexe : représentation générale des représentations quadratiques La classe de Cohen SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

  39. Cas particuliers de la classe de Cohen • Forme générale SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence

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