Algoritmi sui grafi

1. Algoritmi sui grafi Ordinamento topologico Cammino minimo dalla sorgente

2. Ordinamento topologico Dato un grafo finito orientato aciclico G = V, A, un ordinamento topologico di G consiste in una permutazionev1,…,vn di V tale che: (vi, vj)  A i j. Esempio: G 1 2 1, 3, 2, 4 è un ordinamento topologico di G; 1, 2, 4, 3 non lo è perché (3,2)  A mentre 3 segue 2 in questa permutazione. 3 4

3. Visita in profondità rivista DFS (G = V,A) foreach v  V // inizializza i colori Color[v] := White; Time[v] := indef; time := 0; // variabile globale foreach u  V // itera la visita in prof. if Color[u] =White then DFS-Visit(u) DFS-Visit (u) Color[u] := Gray; time := time + 1; foreach v  Adj[u] if Color[v] = White then DFS-Visit(v); Color[u] := Black; Time[u] := time; time := time + 1;

4. Tempi e precedenze • Teorema. Sia G = V, A un grafo orientato aciclico. • Se (u,v)  A, conu  v, allora dopo DFS(G) Time[u] > Time[v]. • Dim. P.a. sia (u,v)  A tale che Time[u] < Time[v]. • Allora al tempo t = Time[u] si ha • Color[u] = Black, Color[v] = White  Color[v] = Gray. • Color[v] = White è impossibile perché, se (u,v)  A allora la visita di u non è completa (e quindi u non avrebbe potuto diventare nero al tempo t); • Color[v] = Gray: allora esiste t< t tale che si abbia: • al tempo t Color[u] = White  Color[v] = Gray, • al tempo t + 1 Color[u] = Color[v] = Gray. • Quindi esiste in G un cammino da v ad u (per la struttura della frontiera in DFS-Visit); ma allora (u,v)  A implica che G sia ciclico. • 

5. Topological Sorting (TS) TS (Graph G = (V,A)) foreach v  V // inizializza i colori Color[v] := White; l := NIL; // lista di vertici (globale) foreach u  V // itera la visita in prof. if Color[u] =White then DFS-Visit-List(u) return l; DFS-Visit-List (Vertex u) Color[u] := Gray; foreach v  Adj[u] if Color[v] = White then DFS-Visit(v); Color[u] := Black; l := Cons(u,l); // se u precede v in l allora // Time[u] > Time[v] in DFS(G)

6. Cammini minimi Dato un grafo orientato pesato G = V, A, w (w:A funzione peso), ed un cammino  = (v0, v1), … , (vk-1, vk) in G (not. v0vk), si definisce il peso di  come la somma dei pesi degli archi: Problema del cammino minimo da sorgente singola. Dato G orientato e pesato ed un vertice s, per ogni vertice v determinare un cammino  tale che s v e w*() = (s,v), dove: Nolta: w*() = 0 ( è il cammino vuoto), dunque (v,v) = 0 per ogni v.

7. Algoritmo di Dijkstra E’ una tecnica greedy basata sulla definizione di un confine superiore d[v] a (s,v) per ogni v, che viene progressivamente migliorato. Dijkstra(Graph G = (V,A), Vertex s) foreach v  V do d[v] := ; d[s] := 0; q := EmptyPriorityQueue (); // la priorita’ di ogni v in q e’ d[v] foreach v  V do Enqueue(v,q); whilenot IsEmptyQueue(q) do u := DequeueMin(q); foreach v  Adj[u] do if d[v] > d[u] + w(u,v) then d[v] := d[u] + w(u,v); RedefinePrior(v,d[v],q); return d; coda con estrazione del minimo rilassamento assegna priorità d[v] al vertce v in q

8. Osservazioni • Nell’algoritmo di Dijkstra: • si presuppone che il grafo abbia pesi non negativi oppure che sia aciclico; • si mantiene una partizione tra vertici visitati e non (v è stato visitato se • e solo se d[v]  ); • la priorità di un vertice v in q è d[v] ; • l’invariante del ciclo principale è: • se v è stato visitato, allora d[v] = (s,v) • dove (s,v) è il valore di (s,v) nel sottografo formato dai vertici visitati e • dagli archi i cui estremi siano stati visitati.

9. Fine