1 / 23

10. KROVNI GRAFI

10. KROVNI GRAFI. Pojem krovnega grafa. Motivacija: Denimo, da nas dvakrat zaprejo v povezan grafni labirint. Ali lahko ugotovimo, da sta labirinta različna? Denimo, da je prvi grafni labirint X, drugi pa Y. Vprašanje. Ali lahko ločimo (s sprehajanjem) med zgornjim in spodnjim labirintom?

osman
Download Presentation

10. KROVNI GRAFI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 10. KROVNI GRAFI

  2. Pojem krovnega grafa • Motivacija: • Denimo, da nas dvakrat zaprejo v povezan grafni labirint. Ali lahko ugotovimo, da sta labirinta različna? Denimo, da je prvi grafni labirint X, drugi pa Y.

  3. Vprašanje • Ali lahko ločimo (s sprehajanjem) med zgornjim in spodnjim labirintom? • Odgovor: Da, lahko ločimo med njima. V zgornjem sta dve trivalentni vozlišči sosednji, v spodnjem pa ne!

  4. Drug zgled • Po drugi strani pa ne morem razločiti (lokalno) med zgornjim in spodnjim grafom. Vsakemu sprehodu zgoraj lahko priredimo sprehod spodaj, tako da med njima ne moremo ločevati.

  5. Še en zgled • C4 nad C3 ni dovolj. Medtem ko je C6 nad C3 v redu.

  6. Homomorfizem • Naj bosta X in Y grafa. Preslikava : X  Y je homomorfizem, če x y  (x) (y) • Kadar X in Y nimata zank: x y  (x)  (y)

  7. Lokalni izomorfizem • Naj bosta X in Y grafa. N(v)={u VX; u  v} – sosedi vozlišča v • Homomorfizem  : X  Y je lokalni izomorfizem, če je za vsak y VY in vsak x  N((y)-1) :  |N((y)-1): N((y)-1)  N(y) bijektivna. y X x  Y 

  8. Krovna projekcija Naj bosta X in Y povezana grafa in  : X  Y surjektivna preslikava •  : VX  VY •  : SX  SY (polpovezave), ki je lokalni izomorfizem. Potem je X krovni graf nad baznim grafom Y,  pa je krovna preslikava.

  9. Vlakna in listi krova • Pravimo, da je C6dvolistni krov nad C3. Rdeči vozlišči sta v istem vlaknu. Podobno sta v istem vlaknu črtkasti povezavi. • Preslikava  : C6 C3 je krovna projekcija. • Prasliko vozlišča -1(v) (ali povezave) imenujemo vlakno. • Moč vlakna k =| -1(v)| je število listov.

  10. Še en zgled • Graf kocke Q3 je dvolistni krov nad polnim grafom K4. • Vlakna sestavljajo pari antipodnih vozlišč kocke.

  11. Krovi nad predgrafi • Graf K4. Lahko razumemo kot štirilistni krov nad grafom z enim vozliščem, eno zanko in eno polpovezavo.

  12. Kletke kot krovni grafi

  13. Napetostni grafi • X = (V,S,i,r) – povezan (pred)graf. • (G,A) – permutacijska grupa, ki deluje na prostoru A. • g:S G – porazdelitev napetosti. • Pogoj: za vsak s iz S je g[s] = g-1[r(s)].

  14. Napetostni graf določa krov • Vsak napetostni graf (X,G,A,g) določa krovni graf Y in krovno projekcijo : Y  X takole: • Krovni graf Y = (VY,SY,i,r) • VY := VX x A • SY := SX x A • i: SY  VY: i(s,a) := (i(s),a). • r: SY  SY: r(s,a) := (r(s), g[s](a)). • Krovna projekcija  • : VY  VX:  (x,a) := x. • : SY  SX:  (s,a) := s.

  15. Opomba • Napetostni graf (X,G,A,g) • VX={v1,v2},SX={a1,a2,b1,b2,c1,c2}, i:(a1,a2,b1,b2,c1,c2) (v1,v1,v2,v2,v1,v2) r=(a1 a2)(b1 b2)(c1 c2) • A=Z5, g(a1)=(01234), g(a2)=(43210), g(b1)=(02413), g(b2)=(32420), g(c1)=g(c2)=id • enakovredno podamo s sliko usmerjenega grafa z napetostmi na povezavah, saj g[s] = g-1[r(s)]. id (02413) (01234)

  16. (Retorična) vprašanja • “Različni” napetostni grafi lahko določajo “isti” krov. Kaj pomeni “isti” in kako dobimo vse “različne” napetostne grafe? • Napetostni graf je v bistvu določen že z abstraktno grupo. Kakšno vlogo igra permutacijska grupa? • Kako naj zagotovimo, da bo ob povezanem X povezan tudi Y?

  17. Kroneckerjev krov grafa • Kanonski dvojni krov ali Kroneckerjev krov grafa X: KC(X) je dvolistni krov, ki ima na vsaki povezavi baznega grafa netrivialno napetost iz Z2. • Opišemo ga lahko tudi kot tenzorski produkt KC(X) = X  K2.

  18. Naloge • N1: Dokaži, da je Kroneckerjev krov vedno dvodelen graf. • N2: Dokaži, da je posplošeni Petersenov graf P(10,2) dvolistni krov nad Petersenovim grafom P(5,2). • N3: Poišči Kroneckerjev krov nad P(5,2). • N4: Poišči nek Zn krov nad lisicami P(1,1), ki ni posplošeni Petersenov graf P(n,r).

  19. Kvocientni graf • Naj bo X graf in G grupa, ki deluje na X • Kvocientni graf X/ G ima množico vozlišč VX/ G in EX/ G ter [x]  [y]  obstajata a[x] in b[y], da je a  b v X.

  20. Regularni krovi I. • Naj bo X krov nad Y. Zanimajo nas avtomorfizimi Aut(X,Y)  Aut X, ki ohranjajo vlakna. • Krov X je regularen, če deluje Aut(X,Y) tranzitivno na vsakem vlaknu.

  21. Regularni krovi II. • Regularne krove opisujemo z napetostnimi grafi, pri čemer permutacijska grupa (G, A) deluje regularno nase z levimi ali desnimi translacijami: (G, G).   - regularna krovna projekcija G - grupa, ki deluje brez fiksnih točk na X i - izomorfizem X Y q G i X/ G

  22. Naloge • N1: Dokaži, da je vsak dvolistni krov regularen. • N2: Poišči primer trilistnega krova, ki ni regularen. • N3: Zapiši graf na levi kot krov nad predgrafom z enim vozliščem.

  23. Ciklični krovi • Pri cikličnih krovih vzamemo G = Zk in A = Zk • Pri tem i  G deluje na A takole: • i: AA • i(s) = s + i (mod k)

More Related