2. Grafi

1. 2. Grafi

2. Indice Tipi di grafi Rappresentazione di grafi Misure su grafi distanza minima centralità dei nodi betweenness, clustering closeness, Distribuzione dei gradi dei nodi Esercizi: Pajek Octave:

3. multiarco loop Un grafo è un insieme di nodi (o vertici) V, collegatitraloro da un insieme di archi [arcs,links] o spigoli (o collegamenti o archi non orientati) [edges] E. Si indica con G=(V,E). numerospigoli=|E|=m; numerovertici=|V|=n L’ordinedi un grafo è ilnumero di verticin Un grafosi dice semplice se non ha multiarchi (multiple arcs) o loop Archi: realazioni personali, sequenze temporali, … Nodi: persone, eventi, jobs, etc.

4. Un percorso (walk) è una sequenza di nodi adiacenti. Un percorso chiuso è un percorso in cui il primo e l’ultimo vertice coincidono ovvero che congiunge un nodo a se stesso Due archi si dicono connessi se hanno un nodo in comune Un cammino (path) è una sequenza di archi connessi che congiunge due nodi (in modo tale che nessun nodo si ripeta) Un ciclo è un cammino che congiunge un nodo a se stesso Un grafo si dice connesso se dati due nodi qualsiasi esiste un cammino che li congiunge

5. n1 n5 n2 n4 n3 Percorso diretto (Directedwalk) n5-n1-n2-n3-n4-n2-n3 Cammino diretto (DirectedPath) n5 n4 n2 n3 Cammino non diretto (Semipath) n1 n2 n5 n4 n3 Ciclo (Cycle) n2 n3 n4 n2 Ciclo non diretto (Semicycle) n1 n2 n5 n1

6. Un sottografo (sub-graph) di un grafo è un grafo i cui nodi e archi sono un sottoinsieme di quelli di G. Una componente di un grafo è un sottografo connesso.

7. Grafo pesato Un grafo è orientato(directed graph o digraph) quandotutti i suoiarchi lo sono.

8. Un albero è un grafo connesso senza cicli Un albero è un grafo tale che |n-m|=1 La struttura ad albero di un grafo permette di raggiungere tutti i nodi con il minimo numero di archi  Albero di Ricoprimento Minimo =minimum spanningtree (mst) Un insieme di alberi disgiunti è una foresta

9. Algoritmi per calcolare il mst Prim’s algorithm Kruskal’salgorithm Boruvka’salgorithm

10. Un grafo si dice completo se da ogni nodo si raggiunge qualsiasi altro percorrendo un solo spigolo Il numero di spigoli in un grafo completo è: m=n(n-1)/2 Il grado di ogni vertice è n-1

11. Un grafo si dice regolare se tutti i nodi hanno lo stesso grado

12. Come si rappresenta matematicamente un grafo

13. Matrice di adiacenza Matrice binaria. E’ simmetrica se il grafo non è orientato e viceversa

14. 1 4 2 3 E1 E2 E3 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 Matrice adiacenza Matrice Incidenza 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 1 1 4 2 1 4 3 1 Lista adiacenza

15. Se il grafo è pesato allora è descritto da una matrice W del tipo:

16. Matrice laplaciana: L=Deg-A: Esempio Alcune proprietà: Siano g autovalori di L L è sempre semidefinita positiva Il numero degli autovalori nulli è quello delle componenti connesse

17. Distanza e diametro La lunghezza di un cammino è il numero di spigoli (link) in esso contenuti (per i relativi pesi) La distanza d(i,j) tra due nodi (non necessariamente distinti) i e j è la lunghezza del cammino minimo che li congiunge. Il diametro di un grafo è la massima delle distanze minime tra le coppie dei suoi vertici Il diametro di un grafo completo è 1, indipendente da n La lunghezza caratteristica [characteristic path length ], è la media delle distanze minime n(n-1)/2 =n° totale di link se la rete è non diretta

18. 2m 2*8=16

19. Eigenvectorcentrality: Authoritiesand Hubs Nelle reti orientate i gradi in entrata (xi) ed in uscita (yi) dei nodi hanno un significato diverso. Si deve risolvere un problema agli autovalori (anzi 2) Av=lv WWW Le authority (grande xi) contengono grandi informazioni su un dato tema. Gli hub (grande yi) dicono dove trovare quelle informazioni

20. Manuale Pajek

21. Eingenvectorcentrality Un nodo è importante se ha «amici» importanti La matrice di adiacenza A è non negativa (ha autovalori ≥0) Il teorema di Perron-Froboenius afferma che se la rete è connessa allora il massimo autovalore è reale e le componenti dell’autovettore corrispondente sono positive Le si può normalizzare e trovare un ranking dei nodi . La componente con il valore più grande è quella con gli «amici più importanti». E’ il metodo usato da Google. Una pagina è importante se puntata da pagine importanti

22. DegreecentralityeDegreecentralization Le persone sono centrali se l’informazione può facilmente raggiungerle La degreecentralityè Il più semplice indicatore di centralità di un nodo ovvero è il numero dei sui vicini (il suo grado) La degreecentralizationdi una rete è la misura di quanto la sua struttura sia lontana da quella di una rete a stella. Esempio v2 v1 v3 v2 v2 v5 v1 A v1 v5 v5 v4 v3 v3 C B v4 v4 In una rete con linee multiple o loops (non semplice) il grado di un vertice è diverso dal numero di vicini (e la centralization può essere >1). In questo caso non è opportuno usare la misura di degreecentralization

23. ClosenessCentrality and ClosenessCentralization In una rete di comunicazione l’informazione raggiunge una persona più facilmente ed in modo più corretto se il percorso che deve fare è breve. LaClosenessCentrality di un vertice è l’inverso della somma delle distanze del vertice dagli altri divisa per il numero di vertici : (Sum distanze dai vertici/ n°dei vertici) -1 =( n°di vertici/sum distanze dai vertici) LaClosenessCentralizationè la variazione della closenesscentrality dei vertici divisa per la variazione della closenesscentrality in una rete a stella delle stesse dimensioni N.B. Per calcolare le distanze i nodi devono essere connessi. La closenesscentralizationè una misura definita solo su una componente connessa.

24. Centrality: efficiency (di un grafo) Questa quantità è basata sull’assunzione che l’efficienza nella comunicazione tra due nodi i e j è uguale a L’efficienza del grafo G è definita così:

25. Il grado può non riuscire a cogliere l’importanza di un nodo La betweenness (‘’essere tra’’) di un nodo i è il numero di cammini minimi (geodesic paths) tra altri vertici che lo attraversano diviso per il numero totale di cammini minimi .

26. BetweenneessCentrality and BetweennessCentralization Una misura di centralità è quella dell’ «essere intermediario» ad esempio in una rete di comunicazione cioè il flusso di informazioni che una persona può controllare perché la attraversa. LaBetweennesscentralitydi un vertice è il numero di cammini minimi (geodesiche) che attraversano un nodo diviso per il numero totale di cammini minimi LaBetweennesscentralizationè la variazione della BetweennessCentrality dei vertici divisa per la variazione della betweennesscentrality in una rete a stella delle stesse dimensioni.

27. La betweenneespuò essere una misura della vulnerabilità del grafo ad attacchi selettivi ai suoi nodi

28. degree Alaska

31. Clustering coefficient Il coefficiente di clustering Ci del nodo i è il numero di spigoli esistenti tra i suoi nodi vicini diviso per tutti i nodi possibili tra i vicini stessi 21=7*6/2 In Pajek

32. Clustering coefficient Deg(v)=degree of v |E(G1(v)|=n°di connessioni tra i vicini di v

33. Il Clustering Coefficient del grafoè la media dei clustering dei nodi: Esistono altre definizioni di clustering Coefficient che danno valori simili (ma non identici) Gli alberi hanno coefficiente di Clustering =0 Il Clustering misura la connessione dell’intorno di una rete e fornisce un’altra misura dellarobustezza del grafo. Se un grafo ha un valore di Clustering alto anche se eliminiamo un nodo il grafo rimane connesso

34. Piccardi ACN2010

35. Esercizi: Pajek Applicazione delle misure di centralità viste Octave: degreedistribution