Grafi

1. Grafi

2. Definizioni/1 • Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie • G=(V,E), |V|=n, |E|=m • V: insieme di Vertici o Nodi • E={{vi, vj}: vi, vj V} : insieme di Spigoli • {vi, vj} = {vj, vi} Grafo semplice o non orientato • E={(vi, vj): vi, vj V} : insieme di Archi • (vi, vj)  (vj, vi) Grafo diretto o orientato • spesso i termini spigolo ed arco vengono usati come sinonimi ASD - Grafi

3. Esempi • Relazioni di parentela • Alberi genealogici • Relazioni tra classi nei linguaggi OO • Grafo del Web • Assetti societari • Reti di trasporto • ................ ASD - Grafi

4. Definizioni/2 • Multigrafo: E è un multinsieme • Pseudografo: E contiene anche coppie (vi, vi)  cappi • Circuito in un grafo: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1)  E, v1= vk (senza archi ripetuti) • Ciclo in un grafo: Circuito con vi vj, per i  j • Grafo pesato: valore reale wk associato ad ogni arco ek ASD - Grafi

5. Definizioni/3 • Kn: Grafo semplice in cui sono presenti tutti gli archi. • numero di archi in Kn : • G’=(V’,E’) sottografo di G=(V,E) se e solo se V’V ed E’  E • grado(v): # di archi incidenti in v • (vi, vj)  E: vi adiacente a vj ASD - Grafi

6. Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato ASD - Grafi

7. Rappresentazioni • Lista di adiacenza: ogni vertice è associato con la lista dei vertici adiacenti. • Lista di adiacenza può essere una tabella o una lista concatenata • Matrice di adiacenza: aih=1 se (vi, vh)  E, aih=0 altrimenti • Matrice di Incidenza: aih=1 se vi  eh, aih=0 altrimenti ASD - Grafi

8. Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c), ASD - Grafi

9. Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e) ASD - Grafi

10. Vantaggi e Svantaggi • Lista di adiacenza: memoria O(m) Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v)) Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v)) • Matrice di adiacenza: memoria O(n2) Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1) Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n) • D.: matrice di incidenza ? ASD - Grafi

11. Visita di un Grafo • Obiettivo: visitare una sola volta tutti i nodi del grafo. • Es.: visitare un porzione del grafo del Web • Difficoltà: • Presenza di cicli: marcare i nodi visitati • Presenza di nodi isolati: la visita termina quando sono state considerate tutte le componenti isolate del grafo ASD - Grafi

12. Visita in profondità - DFS • La visita procede da tutti gli archi uscenti da un nodo. • Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo “predecessore”. • Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato. • I nodi vengono rinumerati secondo l’ordine di visita. ASD - Grafi

13. Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch ad un grafo ASD - Grafi

14. L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato ASD - Grafi

15. Implementazione della DFS/1 • I nodi sono inizialmente marcati con 0, i=1. • Assumi la visita sia arrivata ad un nodo v. • La visita prosegue da un nodo u adiacente a v se marcato 0. • Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile torna al nodo da cui si è raggiunto v oppure termina se v è il nodo iniziale. • Ogni volta che un nodo mai visitato è raggiunto, questo viene marcato con i++ • Viene marcato sia l’nizio che la fine della visita di un nodo v, risp. num(v) e fin(v) ASD - Grafi

16. Implementazione della DFS/2 depthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=fin(v)=0; // Vedi slide succ. edges = null; i=j=1; // per aggiornare num(v) e fin(v) while (<esiste v tale che num(v)==0>)//main loop DFS(v); <visualizza edges> } ASD - Grafi

17. Implementazione della DFS/3 DFS(v) { num(v)=i++; //prima visita di v for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { <inserisci lato (v,u) in edges> DFS(u); } fin(v)=j++; // ultima visita di v } ASD - Grafi

18. implementazione della DFS/4 • l’implementazione iterativa della DFS utilizza una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato • ad ogni passo si estrae l’arco sulla cima della pila • la visita prosegue dal nodo adiacente se marcato 0 ASD - Grafi

19. Proprietà della DFS • l’algoritmo DFS visita l’intera componente del grafo raggiungibile dal nodo di partenza • se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di alberi che coprono l’intero grafo • dipende dal fatto che un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai stato raggiunto. • gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore (forward edges) • gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore (back edges) ASD - Grafi

20. Complessità della DFS • O(n) per inizializzare marcatura dei nodi • Test degli archi uscenti da un nodo v: • O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza. • O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza. • Ogni arco viene testato al più due volte, una volta per ogni estremo • Complessivamente O(n + m), O(n2) (grafo denso) ASD - Grafi

21. Visita in ampiezza - BFS • La visita in ampiezza fa uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo v visitato che portano ad un nodo marcato 0 • I nodi raggiungibili marcati 0 vengono quindi marcati • La visita procede dall’arco (v,u) in testa alla coda ASD - Grafi

22. implementazione della BFS breadthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v)=0; edges = null; i = 1; while (<esiste v tale che num(v)==0>) { num(v) = i++; enqueue(v); while (<la coda non è vuota>) { v = dequeue(); ASD - Grafi

23. implementazione della BFS/2 for(<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { num(u) = i++; enqueue(u); <inserisci arco (v,u) in edges> } } } <visualizza edges> } ASD - Grafi

24. Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo ASD - Grafi

25. Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato ASD - Grafi

26. Ordinamento Topologico/1 • Grafi diretti aciclici (DAG) possono rappresentare ordinamenti parziali. • Ordinamento parziale: • Ogni elemento i è rappresentato da un nodo vi • i<j sse esiste un cammino diretto da vi a vj. • Se esiste un ciclo non è possibile rappresentare un ordine parziale. Perché? ASD - Grafi

27. Ordinamento parziale • Possono esistere coppie tra le quali non è definito alcun ordine • Es.: classi sorelle in linuaggi OO • Modellano molte situazioni di interesse pratico • Ereditarietà tra classi Java • Vincoli di precedenza in progetti complessi ASD - Grafi

28. Ordinamento Topologico/2 • Determinare un ordinamento dei vertici vp(1), vp(2),….., vp(n) tale che se esiste un cammino da vp(i) a vp(j) allora p(i)>p(j). • L’ordinamento topologico secondo la relazione < è ottenuto considerando la sequenza in ordine inverso • Per determinare l’ordinamento topologico occorre che ogni nodo nell’ordine sia seguito da tutti i suoi predecessori. • Un vertice pozzo è un vertice che non ha archi uscenti. In un DAG esiste sempre tale vertice. Perché? ASD - Grafi

29. Ordinamento Topologico/3 TopologicalSort() { for i = 1 to n { <trova un vertice pozzo v> num(v)=i; <elimina dal DAG tutti gli archi incidenti in v> } } ASD - Grafi

30. Ordinamento topologico: g,e,b,f,d,c,a ASD - Grafi

31. Ordinamento Topologico/4 • In pratica un ordinamento topologico si ottiene se nella sequenza ogni nodo è seguito dai suoi predecessori. • Si esegue una DFS e si ordinano i vertici secondo il valore fin(v). • Il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi predecessori. • L’ordinamento topologico si ottiene dalla sequenza ordinata secondo fin(v) scandita in ordine inverso. Come si dimostra? ASD - Grafi

32. Ordinamento Topologico/5 TS(v) num(v)=i++; per tutti i vertici u adiacenti a v if (num(u) == 0) TS(u); else if (fin(u)==0) errore; // identificato un ciclo /* dopo avere esaminato tutti i predecessori, assegna a v un numero maggiore di quelli assegnati a qualsiasi predecessore */ fin(v) = j++; ASD - Grafi

33. Ordinamento Topologico/6 topologicalSorting(digraph) per tutti i vertici v num(v)= fin(v) = 0; i = j = 1; while (esiste v tale che num(v) == 0) TS (v); Visualizza vertici in ordine inverso secondo fin(v); ASD - Grafi

34. Connettività in Grafi diretti • Due nodi u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v. • Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v e da v ad u. • Un grafo è debolmente connesso se ogni coppia di nodi è connessa da un cammino quando gli archi orientati si sostituiscono con gli archi non orientati. ASD - Grafi

35. Componenti fortemente connesse - SCC/1 • Un grafo diretto può essere decomposto in componenti fortemente connesse, V1 , V2 ,… , Vk, tale che • u connesso a v e v connesso ad u • Vj è un insieme massimale • GT=(V, ET) ET : ASD - Grafi

36. SCC / 2 Strongly ConnectedComponent(G) Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni vertice v; Calcola GT ; Calcola DFS(GT) considerando i nodi nel Main Loop in ordine decrescente di fin(v) ; Output ogni albero di DFS(GT ) come una componente fortemente connessa separata • Complessità: O(m+nlog n). DFS più ordinamento in ordine decrescente rispetto a fin. ASD - Grafi

37. G GT a b c d a b c d 8/6 6/8 1/5 5/4 2 1 4 5 Esempio di esecuzione dell’algoritmo per SCC e f g h e f g h 7/7 3/1 2/3 4/2 3 7 6 8 num/fin num Radici Alberi DFS: b, c, g, h SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h} ASD - Grafi

38. Il Problema dei Cammini Minimi • G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi • d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v) • Cammino dal nodo s al nodo t: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t • Lunghezza del cammino: • Il cammino di lunghezza minima non contiene cicli ……se le distanze sugli archi sono positive. Come si dimostra? ASD - Grafi

39. Il problema dei Cammini Minimi/2 • Determinare il cammino di lunghezza minima • dal nodo s al nodo t • dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP) • tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP) • Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,…. ASD - Grafi

40. Single Source Shortest Paths/1 • Consideriamo un grafo pesato con pesi non negativi. • Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo • Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo. • Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v i,…,j è un cammino minimo da i a j. Come si dimostra? ASD - Grafi

41. Single Source Shortest Paths/2 • La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V può essere sempre posta nella forma di un albero. Come si dimostra? • Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi. • Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente. • Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra. • Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono modificare tutte le etichette lungo l’intera esecuzione dell’algoritmo. ASD - Grafi

42. Dijkstra/1 • Due insiemi di nodi Q ed R. • Inizialmente Q= {}, R={1,..,n} • Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min dist(v) ed inserisci v in Q • Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza da s ad u attraverso nodi in Q: ASD - Grafi

43. Un’esecuzione diDijkstraAlgorithm ASD - Grafi

44. Dijkstra/2 • Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q. • Dijkstra termina in n passi. • Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità. • Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n) • Complessità di Dijkstra O((n + m )log n). ASD - Grafi

45. Dijkstra/3 • Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza minima d(v) da s a v quando v è incluso in Q. • Per assurdo, considera il primo nodo v inserito in Q per cui dist(v) > d(v) • Esiste un cammino da s a v alternativo più breve che contiene almeno un nodo in R. • Sia v’ il primo nodo in R sul cammino da s a v. • v’ è connesso ad s con un cammino formato di soli nodi in Q, con dist(v’) < dist(v). • Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato selezionato in luogo di v. ASD - Grafi

46. Dijkstra/4 DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source) for tutti i vertici v dist(v)= ; dist(source)=0; R = tutti i vertici; while (R!=0) v = vertice in R con minimo dist(v); for tutti i vertici u in R adiacenti a v if dist(u) > dist(v) + d(v,u) dist(u) = dist(v) + d(v,u); pred(u) = v; ASD - Grafi

47. Dijkstra/5 • La collezione dei pred(u) forma l’albero dei cammini minimi con sorgente s. • Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti. Complessità:O(n (m +n) log n). ASD - Grafi

48. Minimo Albero Ricoprente – MST • Si desidera selezionare un sottografo di un grafo che mantenga la connettività tra tutti i nodi al minore costo possibile. • Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte aeree che permettono di raggiungere tutte le destinazioni con costo minimo. • Assumiamo un grafo semplice e pesi non negativi d(u,v) sugli archi. • La rete ottima è un albero. Perché? ASD - Grafi

49. 8 7 b c d 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 2 10 1 h g f A Graph and its MST ASD - Grafi

50. MST / 2 • Strategie Greedy: procedi attraverso una sequenza di scelte ottime locali. • in generale portano alla soluzione ottima solo in casi particolari. • Per il MST, consideriamo algoritmi che mantengono la seguente proprietà: P1. Ad ogni passo l’insieme degli archi selezionati è un sottoinsieme del MST finale. • Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto alla soluzione mantenendo P1 ASD - Grafi