Introduction à la théorie des jeux

1. Introduction à la théorie des jeux INA PG 2006 UV Grands Enjeux Économiques Contemporains Estelle Gozlan - INRA, UMR Economie Publique

2. Séance Introductive / Survol 1. En quoi consiste la théorie des jeux ? 2. D’où vient-elle ? 3. Que peut-elle apporter comme applications pratiques ?

3. 1. En quoi consiste la théorie des jeux ? On parle de jeu dés que des personnes interagissent : • Vente aux enchères (avec les autres enchérisseurs) • Fixation d’un prix par un vendeur (jeu avec les clients mais aussi avec ses concurrents) • Négociation patron /syndicat • Kroutchev et Kennedy lors de la crise des missiles de Cuba

4. Qu'est-ce qu'un jeu ? • Définition : Un jeu est une situation où • des individus (les joueurs) sont conduits à faire • des choix (actions) parmi un certain nombre d'actions possibles • dans un cadre défini à l'avance (les règles du jeu).

5.  grand nombre de situations de la vie courante peuvent être étudiées comme un jeu • Pourtant il ne faut pas attendre de la théorie des jeux la réponse à tous ces problèmes • Théorie des jeux = description de ce qui se passe quand des personnes interagissent de manière rationnelle

6. La théorie des jeux peut être définie comme l’étude des modèles mathématiques de conflit et de coopération entre des décideurs intelligents et rationnels (Myerson 1991) • Un joueur est dit rationnel s’il fonde ses décisions sur la poursuite de ses objectifs personnels • Ex. maximisation de ses gains espérés

7. On utilise le langage issu des jeux de société (poker, échecs) pour discuter la logique de l’interaction stratégique • Ne veut pas dire qu’on trouve amusantes ces situations… • …mais qu’on essaye de se la représenter comme un problème soumis à une analyse rationnelle.

8. Réfléchir aux interactions stratégiques : pas toujours intuitif. • Raisonnement circulaire : • 2 joueurs A et B • Stratégie optimale de A dépend de la stratégie optimale de B (ou de l’idée qu’il s’en fait)… • … et réciproquement !  Théorie des jeux (logique involutive) offre de nombreuses solutions inattendues.

9. A votre avis… • Est-il possible qu’au sein d’un groupe, quelqu’un vote pour la proposition qui l’attire le moins et puisse considérer ce choix comme rationnel ? • Est-ce une bonne idée, pour un général, de jouer à pile ou face pour choisir s’il attaque le jour-même ou le lendemain ?

10. Exemple : le vote stratégique • 3 pays : l’Arabie Saoudite, le Koweït et le Venezuela forment un club de pays exportateurs de pétrole • Ils envisagent d’accepter (ou pas) un seul nouveau membre • 2 pays candidats: l’Irak et le Gabon

11. Chaque pays membre classe les possibilités par ordre de préférence:

12. Pour se départager… • Procédure de vote à deux tours : • 1er tour : sélectionner le pays candidat • 2ème tour : choisir de l’accepter ou pas Représentation du jeu par un arbre de décision

13. 1. IRAK ou GABON ? Gabon Irak 2. IRAK ou Personne ? 2. GABON ou Personne ? Personne GABON IRAK Personne

14. S’il n’y a pas de vote stratégique, le Gabon va entrer dans le club : • Solution préférée de l’Arabie Saoudite, mais n°2 seulement pour les autres. • Supposons maintenant que le Koweït choisisse l’IRAK au premier tour… • …c’est à dire son dernier choix. Pourquoi ?

15. 1. IRAK ou GABON ? Gabon Irak 2. IRAK ou Personne ? 2. GABON ou Personne ? Personne GABON IRAK Personne

16. Autrement dit, en choisissant l’alternative qui lui plaît le moins • … et en anticipant les votes des autres pays • Le Koweït parvient finalement à la solution qu’il préfère (personnen’entre dans le club). Mais si les autres joueurs anticipent que le Koweït vote de manière stratégique ?

17. Pour le Venezuela, le résultat que personne ne rentre dans le club est le pire ; • Lui aussi va donc voter de manière stratégique au premier tour, et choisir le GABON (choix n°2) plutôt que l’IRAK (choix n°1) Pourquoi ?

18. 1. IRAK ou GABON ? Gabon Irak 2. IRAK ou Personne ? 2. GABON ou Personne ? Personne GABON IRAK Personne

19. L’induction à rebours (algorithme de Zermelo) Raisonnement utilisé pour voter de manière stratégique : • Prédire ce qui va se passer dans l’avenir (ici, étape 2 du jeu) et d’en tenir compte pour les choix présents (étape 1). Induction à rebours : un des principes de base de résolution des jeux à plusieurs étapes  On commence tjrs par la fin, et on remonte dans l’arbre.

20. 2. D’où vient la Théorie des Jeux ? • XIXème siècle : deux économistes français, Cournot puis Bertrand, formalisent l’interaction stratégique d’entreprises en concurrence sur un marché • Mais vraie naissance de la th. des jeux (1944) The theory of games and economic behaviorVon Neumann et Morgenstern

21. VNM  Distinction entre deux approches très différentes : • L’approche stratégique ou Théorie des Jeux NON COOPERATIFS • L’approche en termes de coalitions ou Théorie des Jeux COOPERATIFS

22. Jeux non-coopératifs • Les plus étudiés • Principe : • On détermine ce que les joueurs peuvent faire au cours du jeu (Règles du jeu) • On recherche une stratégie optimale pour chaque joueur • Ce qui est optimal n’est pas tjrs immédiat… • Dépend de ce qu’on pense être la stratégie optimale de l’adversaire

23. Cas particulier résolu par Von Neumann & Morgenstern : Jeux à somme nulle (ou strictement compétitifs) = jeux à 2 joueurs dans lesquels tout gain d’un joueur est immédiatement compensé par une perte correspondante de l’autre • Ex. échecs, poker…

24. Théorie des jeux coopératifs • Approche coalitionnelle • Principe : cherchent à décrire le comportement optimal dans les jeux à plusieurs joueurs. • … beaucoup + difficile  VNM n’ont pas cherché à indiquer la stratégie optimale pour chaque joueur • Mais une classification des modèles de coalitions correspondant à un comportement rationnel

25. Début des années 50 : John Nash (mathématicien) l’équilibre dans les stratégies (jeux non coop.) … idée déjà suggérée par Cournot (1832), mais sur laquelle VNM avaient buté (d’où leur limitation aux jeux à somme nulle) D’où vient la th. des jeux (suite)

26. Equilibre de Nash • Outil le + important de la théorie des jeux • Déf. L’équilibre de Nash se produit lorsque le choix stratégique de chaque joueur est la meilleure réponse aux choix stratégiques des autres joueurs

27. Equilibre de Nash (suite) • Implication : on est à l’équilibre (de Nash) si aucun joueur n’a intérêt à dévier unilatéralement de cette situation … c. à d. qu’aucun joueur n’a moyen d’agir individuellement pour améliorer ses gains.

28. 3. Que peut apporter la théorie des jeux ? • Applications en économie • Applications en sciences politiques • Applications en biologie • (Applications en philosophie sociale) … quelle fonction objectif ?

29. Applications en économie • Degré de concurrence sur un marché peut varier d’une situation de monopole (firme unique) à ce qu’on appelle la concurrence parfaite. • Déf. de la concurrence parfaite: firmes suffisamment nombreuses sur un marché donné pour qu’aucune n’ait individuellement de pouvoir de marché, c. à d. d’influence sur les prix. • Rarement le cas en pratique… (mais utile comme situation de référence)

30. Applications en économie (suite) • Très souvent, un nombre réduit de firmes (oligopole) qui ont conscience que leurs profits dépendent non seulement de leurs propres choix (prix, quantités produites) mais également de ceux de leurs concurrents • Marchés enconcurrence imparfaitesont caractérisés par desinteractions stratégiquesentre firmes

31. Applications en économie (suite) • Modèle de l’Oligopole de Cournot : • N firmes sur un marché • On suppose le même coût unitaire c pour toutes • Toutes doivent choisir simultanément un niveau de production (quantité) qi • La quantité totale offerte Q=q1 +…qi +… +qN détermine le prix de marché p

32. L’oligopole de Cournot • Propriété de la F° de demande (sauf pour des catégories de biens particuliers): décroissante avec le prix. • Ex. très simple (linéaire): D(p)= a – p • Le prix de marché s’ajuste de manière à ce que l’offre totale Q = la demande  Q = a - p ou de manière équivalente p= a - Q

33. L’Oligopole de Cournot (suite) • Les firmes sont des agents rationnels, leurs stratégies sont cohérentes avec leurs objectifs… • Objectif pour chacune : maximiser son profit • Le profit dépend non seulement de sa propre stratégie, mais de celle des autres •  situation de jeu stratégique (non-coopératif)

34. Oligopole de Cournot (suite) • Fonction objectif à maximiser : i = (p – c)* qi = (a-Q-c)* qi à l’équilibre • L’effet d’augmenter son volume de production a deux effets sur le profit : • Augmenter ses ventes (+) • Faire baisser le prix d’équilibre (-) Marge unitaire

35. Cournot (suite): meilleure réponse • La meilleure réponse que puisse faire la firme i aux choix stratégiques des autres entreprises est de choisir qi tel que : i /qi = 0 • Exercice : déterminer les fonctions de meilleure réaction et l’équilibre de Nash dans le cas d’un duopole de Cournot.

36. Applications en sciences politiques • Moins d’impact de la th. des jeux en Sc. Politiques qu’en éco. • Comportements moins rationnels quand il s’agit d’idées et non d’argent ?? • Quelques applications : modèles de vote stratégique, choix d’un mode de scrutin, choix d’un programme électoral, etc.

37. Ex. choix d’un programme • On suppose 2 partis politiques : «Formaliste » et «Idéaliste » • Aucun n’a de principe: seul le pouvoir les intéresse, et ils choisissent un programme électoral avec pour seul objectif de maximiser leur nombre de suffrage aux prochaines élections

38. Ex. choix d’un programme électoral (suite) • Les électeurs, au contraire, ne se déterminent qu’en fonction des principes, et ne sont pas fidèles à un parti. • Représentation des opinions : réel x dans un intervalle [0,1] • Hyp. Distribution uniforme des opinions

39. Choix d’un programme électoral (suite) • Choix d’un programme = choix d’une position sur le spectre politique • Electeurs votent pour le parti dont le programme se rapproche le + de leurs principes.  Exercice : représentation graphique

40. Choix d’un programme électoral (suite) • Hypothèse: les chefs de partis interviennent de manière séquentielle pour annoncer leur programme. • Parti Idéaliste d’abord • Parti Formaliste ensuite • Quelle est la meilleure strategie du parti « Idealiste » ? (utiliser l’induction à rebours)

41. Applications en biologie • Livre « Evolution and the Theory of Games », Maynard Smith 1982 • Ex : Lepomis macrochirus (poisson) • 2 types de mâles: • Casanier : délai de 7 ans pour parvenir à maturité sexuelle / attire les femelles / féconde les œufs et s’occupe des petits • Opportuniste : 2 ans / guette la ponte et se précipite pour fertiliser avant le Casanier / le laisse s’occuper des petits

42. Applications en biologie (suite) • Théorie des jeux permet d’expliquer pourquoi les deux types de mâles parviennent à coexister dans des proportions fixes • Lac avec N mâles • 2 stratégies possibles (casanier, opportuniste) • Objectif: transmettre ses gènes à un max. de descendants

43. Applications en biologie (suite) • Gain d’un joueur dépend des stratégies choisies par les autres • Si bcp de casaniers, la meilleure réponse est d’être opportuniste • S’il bcp d’opportunistes, être casanier est une meilleure stratégie (car difficulté de trouver quelqu’un à cocufier)

44. Applications en biologie (suite) • Équilibre de Nash : qd la proportion de joueurs de chaque type atteint des proportions telles que chaque joueur devient indifférent entre l’une ou l’autre des stratégies. • Les poissons n’état des optimisateurs rationnels capables de choisir les gènes à porter, comment expliquer que les deux types de mâles coexistent ?

45. Applications en philosophie sociale • Théoriciens des jeux tentent de montrer de manière formelle que même les pires égoïstes finiront par considérer qu’il va de leur propre intérêt à long terme d’avoir des bonnes relations avec leur entourage •  Équilibres de jeux répétés • … déjà énoncé par philosophe David Hume au XVIIIème siècle !

46. Jeux non coopératifs :nomenclature et concepts de solution

47. Jouer … Théorie des Jeux: - Description de l’interaction stratégique - Vous êtes dirigé par votre intérêt personnel (rationnel & égoïste) - … comme les autres joueurs Outils : • Reconnaissez que vous êtes dans un jeu • Identifiez le type de jeu • Reconnaissez toutes les issues possibles • Manipulez la structure du jeu

48. Structure d’un jeu • L’environnement stratégique • Les joueurs • Les stratégies • Les gains • Les règles du jeu • Timing (ordre des mouvements) • Nature du conflit et de l’interaction • Quelle information ? • Possibilité de passer des accords ou des contrats • Les hypothèses • Rationalité • Connaissance commune (common knowledge)

49. L’environnement stratégique • Joueur : n’importe qui ayant une influence sur vos gains (evt. Le hasard) • Stratégie : • Plan d’action complet • Spécifie une décision pour tous les cas possibles • Gains : valeurs associées à chaque issue possible du jeu • Rq. GAINS ESPERES si les issues du jeu sont aléatoires

50. Les règles du jeu • Timing du jeu • Mouvements des joueurs sont-ils simultanés ou séquentiels ? Ordre ? • Nature du conflit et de l’interaction • Intérêt des joueurs = conflit ou coopération ? • Joueurs interagissent une seule fois ou de manière répétée ? • Information • y-a t’il Information complète ? Des avantages informationnels ? • Possibilités ou non de favoriser la coopération ? (contrats, accords…)