Cálculo de Predicados

1. Cálculo de Predicados Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br

2. Cálculo de Predicados A: Todos são mortais. B: Alguém é bondoso. Utilizando a lógica proposicional, poderíamos explicitar a diferença entres as sentenças acima?

3. Cálculo de Predicados • Na lógica proposicional as duas sentenças são tratadas como unidades – Elas não podem ser decompostas em sentenças menores ligadas pelos conectivos lógicos – Por isso não conseguimos falar da diferença entre elas na lógica proposicional

4. Cálculo de Predicados • Considere a premissa • “Sócrates é humano”. Esse enunciado é uma declaração de que determinado indivíduo (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano). • Na linguagem natural, o indivíduo que possui a propriedade é chamado sujeito, enquanto a propriedade descrita é chamada predicado.

5. Cálculo de Predicados O predicado explicita certas qualidades que o sujeito possui e que permite incluí-lo em uma categoria • por exemplo, quando dizemos “Sócrates é humano” queremos dizer que o objeto chamado “Sócrates” possui certas características que permitem incluí-lo no conceito que fazemos daquilo que chamamos “humano”.

6. Cálculo de Predicados Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e dos parênteses, os seguintes novos símbolos: variáveis: x,y,z,... • as variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.); constantes: a,b,c,... • as constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. ); quantificadores:  (universal),  (existencial)

7. Quantificadores  Símbolo de quantificação universal; leia-se “para todo”, “todo”.  Símbolo de quantificação existencial; leia-se “algum”, “existe”.

8. Cálculo de Predicados Representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses; assim, “Sócrates é humano” fica representado por – H (Sócrates) • Exemplos – "Maria é inteligente": I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". – "Alguém gosta de Maria": G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".

9. Exemplos • A Terra é redonda R(t) • Simba é um mamífero M(s) • Quatro é um número par N(q)

10. Exemplos Todo número inteiro par é divisível por 2. Para qualquer x, se x for um número inteiro par, x é divisível por 2. Para qualquer x, (P(x)  D(x))

11. Exemplos Todo número inteiro par é divisível por 2 (x)(P(x) D(x)) Todo coala come folhas de eucalipto (x)(C(x) E(x)) Alguém estudou aqui (x)(E(x))

12. Exemplos Ele foi para o Alasca (x)(I(x)) Ninguém estuda aqui (x)(~A(x)) Nem todo cão é manso (x)[C(x)  (~(m(x)))]

13. Sentenças Abertas e Fechadas O sujeito é uma constante Ex.: “Sócrates é humano”, pode ser verdadeira ou falsa; O sujeito é uma variável Ex.: “Ele foi presidente do Brasil”, ela não é verdadeira nem falsa, dependendo de nome que assuma o lugar do pronome. Uma frase como essa não é, portanto, um enunciado.

14. Sentenças Abertas e Fechadas Os enunciados são chamados sentenças fechadas, enquanto que frases como: • “x foi presidente do Brasil” • “y escreveu Os Lusíadas” • “z viajou para os Estados Unidos” são chamadas sentenças abertas.

15. Sentenças Abertas e Fechadas As sentenças abertas não são verdadeiras nem falsas; podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros. A substituição das variáveis de uma sentença aberta por constantes chama-se instanciação ou especificação; A instanciação transforma uma sentença aberta em um enunciado, e este sim, pode ser verdadeiro ou falso.

16. O Universo • O Universo de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir. • O conjunto dos números • O conjunto dos números naturais maiores que 5

17. Conjunto-Verdade Chama−se Conjunto-Verdade (VP) de uma sentença aberta P(x), o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado; ou seja VP = { a  U | VL [ P (a) ] = V } VL (Valor Lógico)

18. Conjunto-Verdade Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por P(x). • Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }. O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x é divisor de 10” é: • VP = { x  N | x é divisor de 10} = {1, 2, 5, 10}

19. Proposição Universal Afirmativa Tem a forma geral Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P. – Forma simbólica: x (S(x)  P(x))

20. Proposição Universal Negativa Tem a forma geral Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos em comum. – Forma simbólica: x (S(x)  ~P(x))

21. Proposição Particular Afirmativa Tem a forma geral Algum S é P e indica que alguns membros da classe S também pertencem à classe P. – Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))

22. Proposição Particular Negativa Tem a forma geral Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P. – Forma simbólica: x (S(x) ^~P(x))

23. Diagramas de Venn • Cada classe é representada por um círculo, rotulado com o nome da classe; • Para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos sombreamos o interior do círculo; • Para indicar que a classe possui pelo menos um elemento, incluímos um x no círculo.

24. Diagramas de Venn Proposição Universal Afirmativa Todo S é P Forma simbólica: x (S(x)  P(x))

25. Diagramas de Venn Proposição Universal Negativa Nenhum S é P Forma simbólica: x (S(x)  ~P(x))

26. Diagramas de Venn Proposição Particular Afirmativa Algum S é P Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))

27. Diagramas de Venn Proposição Particular Negativa Algum S não é P Forma simbólica: x (S(x) ^ ~P(x))