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Deducción en la Lógica de Predicados

Deducción en la Lógica de Predicados. Roberto Moriyón. Razonamiento.

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Deducción en la Lógica de Predicados

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  1. Deducción en laLógica de Predicados Roberto Moriyón

  2. Razonamiento • Recordatorio: El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en deducir las consecuencias de un conjunto de axiomas. • Las reglas de deducción del Cálculo de Predicados permiten deducir a partir de un conjunto de axiomas cualquier consecuencia de ellos.

  3. Ejemplo de deducción • Axiomas: • Todas las personas andan • Todo objeto que anda se mueve • Juan no se mueve Demostrar que Juan no es una persona. • Posible formalización con proposiciones: Demostrar ~Persona Juan sabiendo que x,(Persona xAnda x), x,(Anda xMueve x) y ~Mueve Juan

  4. Ejemplo de deducción, II • Utilizando las iniciales: • Los símbolos de predicados unarios P, A y M representan las condiciones ser una persona, andar y moverse respectivamente. • El símbolo de constante J representa a Juan. • Axiomas: A = {x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ }

  5. Lenguaje lógico • Un lenguaje lógico está formado por una colección de símbolos de variables, constantes, funciones y predicados. • En este curso supondremos que hay al menos una constante, lo que implica que el conjunto de valores posibles de las variables no es vacío. • Esta hipótesis se puede evitar, pero con demostraciones más complicadas.

  6. Lenguaje lógico, II • En el ejemplo anterior hay una constante, J, ytres predicados unarios (P, A y M). • Un lenguaje lógico determina dos lenguajes asociados: términos y fórmulas. • En el ejemplo anterior hay un solo término, J, e infinitas fórmulas como las que se han mostrado como axiomas.

  7. Lenguaje lógico, III Otro ejemplo: • Constantes: 0. • Funciones: f (unaria). • Predicados: = (binario infijo). • Términos: fff…f0, fff…fx, etc. • Predicados: f0=ff0, x,fx=0, etc.

  8. Lenguaje Lógico, IV • Lenguaje de la Aritmética: • Constantes: 0. • Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma, binaria infija) y * (producto, binaria infija). • Predicado: = (binario infijo). • Términos: SS0+S(x*y) etc. • También abreviadamente: 2+(x*y+1), etc. • Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

  9. Lenguaje Lógico, V • Lenguaje de la Semiótica: • Constantes: 0 (cadena vacía). • Funciones: S (anteposición, unaria) y + (concatenación, binaria). • Predicado: = (binario infijo) • Términos: SaSb0+Sa(x+y), etc. • También abreviadamente: “ab”+Sa(x+y), etc. • Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.

  10. Ejemplo de deducción, III Recordamos nuestro ejemplo inicial: • Predicados unarios: P (es persona), A (anda) y M (se mueve). • Constante: J (Juan). • Axiomas: x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ.

  11. Ejemplo de deducción, IV • Dex,(PxAx) se deduce PJAJ • De lo anterior se deduce ~AJ~PJ [*] • De x,(AxMx) se deduce AJMJ • De lo anterior se deduce ~MJ~AJ • Por el modus ponens, de lo anterior y ~MJ se deduce ~AP. • Por el modus ponens, de lo anterior y [*] se deduce ~PJ.

  12. Ejemplo de deducción, V • La deducción anterior se escribe habitualmente como sigue: x,(AxUx) [Axioma] APUP [R. de especificación] ~UP~AP [R. implicación contrarr.] ~UP [Axioma] ~AP [Modus Ponens]

  13. Ejemplo de deducción, V x,(MxAx) [Axioma] MPAP [R. de especificación] ~AP ~MP [R. implicación contrarr.] ~MP [Modus Ponens] • La única regla nueva en el ejemplo anterior es la de especificación.

  14. Lógica de predicados:Reglas de deducción • Todas las de la lógica proposicional, sustituyendo sus átomos por los de la lógica de predicados (con una limitación en la regla de deducción de implicaciones que se describirá enseguida).

  15. Lógica de predicados:Reglas de deducción, II • Si permitiéramos lenguajes lógicos sin constantes habría que restringir la utilización del modus ponens para no permitir deducciones como x=x, x=xy,y=y  y,y=y

  16. Lógica de predicados:Reglas de deducción, III • Regla de especificación Ejemplo:a,~Sa=0 ~S(c+SS0)=0 - , [: Cualquier variable] - , /[: Cualquier variable] [: Término todas cuyas variables son nuevas] Sin la restricción anterior, habría deducciones falsas como a,b,b=Sa b,b=Sb

  17. Lógica de predicados:Reglas de deducción, IV • Regla de generalización: Ejemplo: (~x=0  y,x+x=SSy) x, (~x=0 y,x+x=SSy) -   , [: Cualquier variable no ligada en ]. Significado: Las variables libres pueden tener valor arbitrario.

  18. Lógica de predicados:Reglas de deducción, V Limitación en la regla de deducción de implicaciones (,     ): • La deducción de partida (,  ) no puede incluir ninguna generalización sobre ninguna variable libre de . • Consecuencia: en una deducción auxiliar, no equivalen una fórmula  y x,. Se puede aplicar especificación a la última, pero no generalización a la primera.

  19. Deducción de implicación a partir de inferencia • Si se permitieran generalizaciones en las deducciones que dan lugar a implicaciones, se podrían hacer deducciones falsas como la siguiente: • Deducción auxiliar: a=0 a,a=0[Generalización]  Sa=0 [Especificación] • Fórmula deducida: a=0 Sa=0

  20. Lógica de predicados:Reglas de deducción, VI • Regla de intercambio: Ejemplo:a,~Sa=0 ~a,Sa=0 - A,~B  A~,B[: variable] • Observaciones: • x,~ ~x,

  21. Lógica de predicados:Reglas de deducción, VII • Comentario a la regla de intercambio: ,~  ~, Se pueden añadir las reglas A,~B  A~,B

  22. Lógica de predicados:Reglas de deducción, VIII • Regla de existencia: Ejemplos: a) a,~Sa=0 b,a,~Sa=b b) a,~Sa=0 ^ a,~SSa=0 b, (a,~Sa=b ^ a,~SSa=0) -  ,// [: Término en ]

  23. Lógica de predicados:Reglas de deducción, IX • Regla de ámbito: Ejemplo: y,(SSy=Sy+S0 vz,Sz=0) (y,SSy=Sy+S0) v z,~Sz=0 - ,(v)  (,)v [ no libre en ] - ,(^)  (,)^ [ no libre en ]

  24. Lógica de predicados:Reglas de deducción, X • Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas bajo la hipótesis de existencia de constantes: - ,(^)  (,)^ - (,)v  ,(v) [ no libre en ] (pero no en general: las partes derechas pueden ser falsas si el dominio es vacío aunque las partes izquierdas sean ciertas)

  25. Lógica de predicados:Reglas de deducción, XI • Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas en general: - (,)^  ,(^) - ,(v)  (,)v [ no libre en ] La demostración se dará más adelante. Podemos aceptar cuatro reglas de deduc-ción correspondientes a estas deducciones.

  26. Lógica de predicados:Reglas de deducción, XII • Reglas para la igualdad: R. fundamental:  = R. de simetría: = = de Transitividad: =, = = R. de Sustitución: =,   // [, , : Términos]

  27. Lógica de predicados:Reglas de deducción, XIII • Las tres primeras reglas de la igualdad se pueden reescribir de manera natural como axiomas (son la idempotencia, simetría y transitividad de la igualdad). • En general, todo el sistema de reglas se puede sustituir por un conjunto de axiomas junto con una sola regla: el modus ponens.

  28. Ejemplo de deducción, VI • Axiomas: • A todos los gatos les gusta el pescado • Todos los gatos comen todo lo que les gusta • Ziggy es un gato • Demostrar que Ziggy come pescado

  29. Ejemplo de deducción, VII • Constantes: • Ziggy  z • Pescado  p • Predicados: • x es un gato  g x • A y le gusta z  t yz • u come w  c uw

  30. Ejemplo de deducción, VIII • x, g x t x p [Axioma] • x, y, g x ^ t xy c xy [Axioma] • g z [Axioma] • g z  t z p [Espec. 1] • t z p [Modus pon.] • g z ^ t z p [3, 5] • y, g z ^ t z y c z y [Espec. 2] • g z ^ t z p  c z p [Espec.] • c z p [Modus pon.]

  31. Ejercicio obligatorio • [PESC] Deducir que algún lenguado es un desgraciado a partir de los siguientes axiomas: • Todo tiburón se come un lenguado • Todo pez grande y blanco es un tiburón • Algunos peces grandes blancos viven en aguas profundas • Todo lenguado comido por un pez que vive en aguas profundas es desgraciado

  32. Universalidad delCálculo de Predicados • La última demostración es válida independientemente del dominio. Podría ser, por ejemplo, una demostración acerca de números y funciones, alcachofas y caballos o puntos y rectas. • Esto es cierto en todas las deducciones formales basadas en el Cálculo de Predicados. • Las personas razonamos en base a unas reglas lógicas fijas, pero guiamos nuestro razonamiento en base a nuestro conocimiento del modelo que tenemos en mente.

  33. Ejemplo de deducción, IX • x,(F  G)  (x,F)  (x,G) x,(F  G) (x,F)  Gy/x F G y,((~x,F)vGy/x) [ x,F y,(Gy/xv(~x,F)) F (y,Gy/x)v(~x,F) G (~x,F)v(y,Gy/x) Gy/x] (x,F)  (y,Gy/x)

  34. Ejemplo de deducción, X • x,(F  G)  (x,F)  (x,G) x,(F  G) x,~G~Fy/x F G (x,G)v(~Fy/x) ~G  ~F (~Fy/x)v(x,G) [ x,~G y,((~Fy/x)v(x,G)) ~G (y,~Fy/x)v(x,G) ~F (y,Fy/x)(x,G) ~Fy/x]

  35. Ejemplo de deducción, XI • x,  ; (  )  x, • Demostración: x, (x,~)~   x,((x,~)~) [ x, ~ (x,~)x,~ ~ (x,) x, ~~ x, ~]

  36. Ejemplo de deducción, XII • ,(FvG)  (,F)vG [ no libre en G] • Demostración: [ ~G [ (FvG)^~G FvG ~G ~GF F]

  37. Ejemplo de deducción, XIII … ((FvG)^~G) F x,((FvG)^~G) x,F [VISTO EN CLASE] ((x,FvG)^~G)x,((FvG)^~G) [REGLA DE AMBITO] [ (x,FvG)^~G x,((FvG)^~G) [MODUS PONENS] x,((FvG)^~G) x,F x,F] [MODUS PONENS]

  38. Ejemplo de deducción, XIV … (x,(FvG))^~Gx,F (x,(FvG))^~G x,F] [MODUS PONENS] ~Gx,F (x,F)vG UFFFF!!!

  39. Ejemplo de deducción, XV • x,F, x,G x,F • Demostración: [ x,~F [[Reducción al absurdo]] ~F F F^~F] (x,~F)  F^~F (x,~F)  (x, F^~F) [General. y ámbito]

  40. Ejemplo de deducción, XVI … (x,Fv~F)  (x,F) Fv~F G  (Fv~F) x,G x,(Fv~F) [VISTO EN CLASE] x,G [AXIOMA] x,(Fv~F) x,F [MODUS PONENS]

  41. Ejercicios obligatorios • [LOB] Se supone que en la lobera hay lobos, que son carnívoros, y hombres, que pueden ser carnívoros o hervíboros. También se supone que los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que está en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre. • [ARD] Resolver el ejercicio anterior suponiendo que en la lobera también puede haber ardillas, que son hervíboras, y que los hombres también pueden ser omníboros, así como que los herví-boros no comen carne, que los omníboros comen carne y lechuga y que Tom come carne y lechuga. Es innecesaria alguna de las hipótesis?

  42. Ejercicios opcionales [TAUT] Demostrar que las siguientes fórmulas lógicas son tautologías: • (x,y,P x y)  (y,z,(P 0 y ^ P y z) • (P  (Q^R))  ((P  Q) ^ (P  R)) • ((P  Q) ^ (P  R))  (P  (Q^R)) • ((x, R x v Q x) ^ x,~R x) x,Q x

  43. Interpretación: Definición formal • Recordatorio: En los sistemas formales que hemos estudiado una interpretación asigna objetos de un conjunto a partes de la palabra de partida. • En la Lógica de Predicados una interpretación asigna objetos de un conjunto a los términos y afirmaciones acerca de esos objetos a los predicados. • El conjunto de objetos asociado a una interpretación se llama su dominio (puede ser vacío).

  44. Interpretación:Definición formal, II • Una interpretación I de un lenguaje lógico consiste en un conjunto D (su dominio) y: • Para cada variable , un elemento de D, I. • Para cada constante c, un elemento de D, cI. • Para cada símbolo de función n-aria f, una función fI: DxDx…xD  D. • Para cada símbolo de predicado n-ario P, un subconjunto PI  DxDx…xD.

  45. Interpretación:Definición formal, III • En la definición anterior las operaciones se consideran funciones binarias. • La interpretación de los símbolos de un lenguaje formal se extiende a todos los términos y todas las fórmulas del lenguaje: • Los términos se interpretan como elementos del dominio. Si un término tiene la forma f(1, …, n), su interpretación es fI(1I, …, nI). • Las fórmulas se interpretan como booleanos.

  46. Interpretación:Definición formal, IV • Las fórmulas se interpretan … • Si una fórmula tiene la forma P(1, …, n), su interpretación es (1I, …, nI)  PI. • Las fórmulas compuestas se interpretan como en el cálculo de proposiciones. Por ejemplo, F^G se interpreta como FI^GI. • Las fórmulas con cuantificador se interpretan como sigue: • x,F es cierta si xD,FI. • x,F es cierta si  xD,FI.

  47. Teorema de coherencia delCálculo de Predicados • Si una fórmula F se deduce a partir de un conjunto de fórmulas A, es consecuencia de dicho conjunto de fórmulas. • Demostración: Es consecuencia de que en cada regla de deducción, si todas fórmulas de su cabecera son ciertas en una interpretación, su cuerpo también es cierto.

  48. Teorías lógicasDeducción como sistema formal • Una teoría lógica está formada por un lenguaje lógico, un cálculo lógico (sistema formal) y un conjunto de axiomas, que son fórmulas cerradas. Las fórmulas deducidas de los axiomas se denominan teoremas. • El conjunto de axiomas de una teoría lógica puede ser infinito, pero tiene que ser recursivo.

  49. Deducción y consecuencia • En una teoría lógica basada en el Cálculo de Predicados, dada cualquier deducción que utilice los axiomas Ai para demostrar un teorema T, la fórmula A1^A2^…^ANT es una tautología. Demostración: Es consecuencia del teorema de coherencia para el Cálculo de Predicados.

  50. Modelos • Un modelo es una interpretación de una teoría lógica en la que todos los axiomas son ciertos (y por lo tanto los teoremas también). • Ejemplo: En una lógica con un sólo símbolo de función f y un único axioma, A = { x,y,fx = fy  x = y }, cualquier conjunto D con una aplicación inyectiva f:DD es un modelo.

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