1 / 13

Kuidas matemaatikud ennustavad ?

Kuidas matemaatikud ennustavad ?. Tallinna Ülikooli Õpilasakadeemia 4. detsember 2010 prof Andi Kivinukk T allinna Ü likooli matemaatika osakond. Teemad. Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil Arvandmete tõlgendamine: aegrea muutumise kiirus, diferentsid, diferentssuhted

forbes
Download Presentation

Kuidas matemaatikud ennustavad ?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kuidas matemaatikud ennustavad ? Tallinna Ülikooli Õpilasakadeemia 4. detsember 2010 prof Andi Kivinukk Tallinna Ülikooli matemaatika osakond

  2. Teemad Veidi modelleerimisest, eriti funktsioonide abil • Arvandmete tõlgendamine: aegrea muutumise kiirus, diferentsid, diferentssuhted • Arvandmete esitamine funktsioonina, vähimruutude meetodil ennustamine

  3. Ennustame maailma rahvastiku arvu • 1. Maailma rahvaarvu aegrida (Eesti Entsüklopeedia andmed, pisut ümardatud) • Aeg t (a.) 1850 1930 1960 1975 1987 1999 • Rahvaarv N (miljardid) • 1 2 3 4 5 6 • Aja diferentsid: 80 30 15 12 12 • Tinglik aeg: 0 80 110 125 137 149

  4. Rahvaarvu tabel graafiliselt

  5. Milline funktsioon võiks esitada tabeli andmeid? • See ei saa olla väga konkreetne, selle kujus peaks olema parameeter, mida saaks sobivalt valida. Näiteks • N = N(t) = a t 2 + 1 • see sobib vähemalt 1850. a, sest N(0) = 1. Probleem, kuidas leida a, et pakutud funktsioon sobiks kuidagi antud andmetega.

  6. Muutumise kiirus (tuletis) on võrdeline olemasoleva suurusega • Nii toimub muutumine elusolendite koloonia suuruses või ka pangaarve seisus. S.t kehtib diferentsiaalvõrrandN’(t) = a N(t) või ka • diferentsvõrrand N(t+1) - N(t) = a N(t), t = 0, 1, … • Neid võrrandeid rahuldavad eksponentfunkts-d: 1) N(t) = ea t ja 2) N(t) = (1 + a) t , t = 0, 1, … • Kuidas parameetrit a määrata antud tabeli põhjal?

  7. Wikipedia (http://en.wikipedia.org/) artiklite arvu muutumine

  8. Vähimruutude meetod On antud arvupaarid (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)ja soovime, et need sobiksid võimalikult hästi valemiga y = f(x , a), kus a on mingi parameeter. Arvupaar (x1, y1) sobib ideaalselt, kui y1 = f(x1, a). Kuid kõiki arvupaare ei saa sobima panna, sest toodud võrrand määrab parameetri a üheselt ja teiste arvupaaridega tuleksid mingid teised parameetri a väärtused. Seepärast nõutakse, et erinevuste ruutude summa (sõltub a - st) ( y1 - f(x1 , a))2 +( y2 - f(x2 , a))2 +…+( yn - f(xn , a))2 oleks minimaalne (ideaalsel juhul on miinimum 0).

  9. Rahvaarv 2011 • Kui leida vähimruutude meetodil rahvaarvu mudelis N(t) = ea t parameeter a, siis saadakse N(t) = e0.012 t ,mis annab 2011. a., s.t 161 aastat peale 1850.a., • N(161) = e0.012*161= 6.9

  10. Lihtne näide Kukutades Pisa tornist raudkuule alla, leidis G. Galilei, et 1 sekundiga langes kuul 5m, 2 sekundiga 10m ja 3 sekundiga 45m. Oletades, et langemise kõrgus s on ajast t sõltuv valemiga s = at 2, leiame vähimruutude meetodil, mitu meetrit langeks kuul 4 sekundiga?

  11. Pisa torn, kõrgus ca 57m

  12. Galileo Galilei (1564 - 1642) (2009. a oli kuulutatud Galilei aastaks seoses tema tähtsate vaatlustega teleskoobi abil 400 aastat tagasi)

  13. Lahendus Erinevuste ruutude summa funktsioon on S(a)=(5 - a )2+ (10 - 4a)2+ (45 - 9a)2 = 98a2 - 900 a + 2150 . Selle miinimum ajärgi (ruutkolmliige a suhtes!) on juhul a = 900/(2* 98) = 4.6, seega langemise seadus on s = 4.6 t2ning4 sekundiga langeb kuul s = 4.6*42 = 4.6*16= 74m.

More Related