Stochastické modely a simulácie

1. Prednáška Stochastické modely a simulácie

2. Otvorený systém M/M/1 s vynútenou netrpezlivosťou Systém s ohraničeným počtom požiadaviek Systém s ohraničeným časom čakania • v systéme • vo fronte Predpoklady: • systém má 1 kanál obsluhy • požiadavky prichádzajú z nekonečného zdroja • vstupný prúd je Poissonov s parametrom  • obsluha je s exponenciálnym rozdelením s parametrom 1/ • výstupný prúd je Poissonov s parametrom  • požiadavky majú nekonečnú trpezlivosť a vytvárajú fronty • rad čakajúcich požiadaviek je ohraničený počtom N

3. - . p0 +  . p1 = 0  . p0 – ( + ) . p1 +  . p2 = 0 . . .  . pn-1 - ( + ) . pn +  . pn+1 = 0 . . .  . pN-1 -  . pN = 0  pi = 1 sústava rovníc stabilného systému:

4. p1 =  /  . p0 p2 = ( / )2 . p0 . pk = ( / )k . p0 = k . p0 pre k < N pk = 0 pre k  N . . pN = ( / )N . p0 = N . p0 (1 +  + 2 + ......... + N) p0= 1 Odvodenie numerickýchcharakteristík:

5. 1 +  + 2 + ......... + N = (1 - N+1) / (1 - ) p0 = (1 - ) / (1 - N+1) pk = k * (1 - ) / (1 - N+1) k  N,  1  = 1, p0 = p1 = p2 = .......... = pN = 1 / (N+1) mN =  * (1 – pN) Z(N) = mN * z0 – (N – 1).c

6. Čerpacia stanica má len jeden stojan určený na čerpanie pohonných hmôt pre kamióny. Priestor, na ktorom bola vybudovaná čerpacia stanica je veľmi malý. Ak jeden kamión čerpá PHM, pre druhý nie je vyhradený parkovací priestor, kde by mohol počkať, kým sa stojan uvoľní. Príchod kamiónov k čerpacej stanici sa realizuje podľa Poissonovho rozdelenia s intenzitou 4 kamióny za hodinu. Načerpanie PHM trvá v priemere 7,5 minúty. Doba obsluhy má exponenciálne rozdelenie. Priemerný zisk z obsluhy jedného kamióne je 3 €. Výška zisku je dostatočnou motiváciou pre majiteľa čerpacej stanice pokúsiť sa rozšíriť parkovací priestor. Na základe rokovania s majiteľmi pozemku okolo čerpacej stanice zistil, že týždenný poplatok za pozemok vyhradený na čakanie jedného kamióna je 170 €. Ak je čerpacia stanica otvorená 100 hodín týždenne, treba určiť, či je pre majiteľa čerpacej stanice efektívne vybudovať čakací priestor pre kamióny, ak áno, pre koľko kamiónov. PRÍKLAD 2 – Otvorený systém M/M/1 s vynútenou netrpezlivosťou

7. Predpoklady: • systém má s kanálov obsluhy • požiadavky prichádzajú z nekonečného zdroja • vstupný prúd je Poissonov s parametrom - • intenzita obsluhy 1 kanála (exponenciálne rozdelenie)- Otvorený systém M/M/s s čakaním

8.  K =  ∀ k • k = k .  k  s • k = s .  k > s • pk = [k / (k! k)] * p0 1k < s • pk = [k / (s! sk-s . k)] * p0 k ≥ s • Podmienka riešiteľnosti: •  s .  →+ •  =  / (k . ) < 1 • pk = [(sk . k)/ k!] * p0 k  s • pk = [(ss . k) / s!] * p0 k > s

9. p0pk = 1 •  [(sk . k) / k!] * p0 +  (ss / s!) * k . p0 • Označme: • A =  [(sk . k) / k!] + (ss / s!) * [s+1 / (1 - )] •  < 1, p0 = A-1 • A =  [(sk . k) / k!] + B, ak  < 1, • B = [1 / (1 - )] * [(s . )s / s!], ak  < 1

10. Do obchodu s dvoma pokladňami vstupuje za hodinu priemerne 15 zákazníkov. Obsluha jedného zákazníka trvá priemerne 7 minút. Zákazníci odchádzajú z predajne až vtedy, ak sú obslúžený, teda v predajni sa vytvára rad. Príklad- Otvorený systém M/M/s s čakaním

11. Výpočty: • Pravdepodobnosť, že nepracuje ani jedna pokladňa: • Pravdepodobnosť, že bude musieť čakať, je: • P (k > 2) = B*p0 = • 3. Priemerný počet zákazníkov v rade pri pokladni: • nf– =  / (1 - ) * P(k > 2) = • 4. Priemerný čas čakania zákazníka v rade: • tf– = nf– /  = • 5. Priemerný počet zákazníkov v obchode: • n– = nf– + s .  = • 6. Priemerný čas čakania zákazníka v obchode: • ts– = n– /  =

12. Predpoklady: • V zdroji je konečný počet jednotiek – m • Kanály sú usporiadané homogénne paralelne – s • Požiadavky sú trpezlivé, čakajú ľubovoľne dlho na obsluhu • Požiadavky sa po obslúžení opäť vracajú do zdroja Môžu nastať nasledovné prípady: • m  s – požiadavka je hneď obslúžená • m > s Uzavretý systém HO typu M/M/S s čakaním (bez strát)

13. k=. (m – k) 0≤ k < m • (t, t + t) k =  * (m – k).t •  • / s • (t, t + t) k = k * ( / s) * t •  =  /  • pk = [m! / (k! * (m-k)!)] * k * p0 1  k  s • pk = [m! / (s! * sk-s * (m-k)!)] * k * p0 s < k  m • p0 = [(pk / p0)]-1

14. Charakteristiky: Priemerná dĺžka radu: nf– = (k – s) * pk Priemerný počet požiadaviek v SHO: n– = (k * pk)  Priemerný počet voľných kanálov obsluhy: s– = (s – k) * pk  Koeficient prestoja požiadavky vo fronte: Kf = nf– / m  Koeficient prestoja požiadavky v systéme: Ks = n– / m  Koeficient prestoja kanála obsluhy: Kk = s– / s

15. Firma vlastní 8 tkáčskych strojov, ktoré sa zastavia v priemere každých 30 minút. Stroje opravujú 3 majstri a obslúžia za hodinu v priemere 4 stroje. Treba zhotoviť systém obsluhy. Postup: pk / p0 = [m! / (k! . (m – k)!)] * k 1  k  s pk / p0 = [m! / (s! * sk-s * (m-k)!)] * k s < k  m p0 = [(pk / p0)]-1 pk = (pk / p0) * p0 PRÍKLAD 4 - Uzavretý systém HO typu M/M/S s čakaním (bez strát)

16. Charakteristiky: • Efektívnosť práce - pravdepodobnosti odmientnutia požiadavky : pk = k * (1 / k!) * p0 p0 = (pk / p0) -1 pk / p0 = k * (1 / k!) • Stredná hodnota počtu obsadených kanálov: k– = k * (1 / (k – 1)!) * p0 =  k * k Systém HO so stratami (Erlangov systém)