NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL

1. NEDOLOČENI IN DOLOČENI INTEGRAL

2. 3.7. Nedoločeni integral Gaussova krivulja je graf funkcije µ ∈ IR - matematično upanje σ ∈ IR,σ > 0 - standardni odklon Kako izračunati ploščino med Gaussovo krivuljo in abscisno osjo? Splošno: kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika?

3. DEFINICIJA. Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f na intervalu I ⊆ Dfje tista funkcija F, za katero velja F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ I. Ker velja za poljubno konstanto C enakost (F(x) + C)’= F ’(x) = f(x), zapišemo nedoločeni integral integralski znak, f(x) integrand, x integracijska spremenljivka, dx diferencial integracijske spremenljivke

4. Elementarni nedoločeni integrali Funkcija f(x) Nedoločeni integral Konstantna funkcija 1 Potenčna funkcija Eksponentna funkcija Trigonometrične funkcije

5. Elementarni nedoločeni integrali Funkcija f(x) Nedoločeni integral

6. Lastnosti nedoločenega integrala IZREK. Če obstajata nedoločena integrala funkcij f in g, obstaja tudi nedoločeni integral njune vsote (oziroma razlike) in je enak vsoti (razliki) integralov POSLEDICA. Če obstajajo nedoločeni integrali funkcij f1, f2 . . . fn, obstaja tudi nedoločeni integral njihove vsote in velja

7. IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f, obstaja tudi nedoločeni integral funkcije C f, pri čemer je C poljubna konstanta in velja IZREK. Če obstaja nedoločeni integral funkcije f in če je x = x(t) odvedljiva funkcija, obstaja tudi nedoločeni integral funkcije f(x(t)) x’(t) in velja

8. Primer. Izračunajte dane integrale.

9. Metode integriranja Uvedba nove spremenljivke Če iskanega nedoločenega integrala ni v tabeli elementarnih integralov, poiščemo tako novo spremenljivko t (če obstaja), da najdemo integral med elementarnimi integrali. Nekaj primerov funkcij, ki jih lahko integriramo z uvedbo nove spremenljivke:

10. Primer. Izračunajte dane integrale.

11. Integriranje po delih (metoda ”per partes”) IZREK. Naj bosta funkciji u in v odvedljivi in naj obstaja eden od integralov in . Tedaj obstaja tudi drugi integral in velja Primeri funkcij, ki jih lahko integriramo po delih: pri čemer je p(x) polinom.

12. Primer. Izračunajte dani integral.

13. 3.8. Določeni integral Kako izračunati ploščino krivočrtno omejenega lika? Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] zvezna in pozitivna. Interval [a, b] razdelimo na n podintervalov Širine podintervalov so Naj bo ∆ širina največjega podintervala:

14. Na vsakem podintervalu si izberimo poljubno vrednost in zapišimo vsoto ploščin pravokotnikov je Riemannova ali integralska vsota. IZREK. Zaporedje Riemannovih vsot je konvergentno.

15. DEFINICIJA. Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je Oznake: a – spodnja meja določenega integrala, b – zgornja meja določenega integrala, [a, b] – integracijski interval.

16. Geometrijska interpretacija določenega integrala Določeni integral funkcije f na intervalu [a, b] je enak ploščini lika, omejenega s krivuljo y = f(x) in osjo x na intervalu od a do b. DEFINICIJA. Funkcija f je integrabilna na intervalu [a, b] natanko tedaj, ko obstaja določeni integral

17. Lastnosti določenega integrala Naj bo funkcija fintegrabilna na intervalu [a, b]. Tedaj velja 1. POSLEDICA. Če je ima funkcija f na intervalu [a, b] oba predznaka, je ploščina med krivuljo in osjo x enaka

18. 2. 3. Naj bo a < c < b. Tedaj velja (Posplošitev: točka c lahko leži tudi zunaj intervala [a, b].) 4. 5. Oznaka integracijske spremenljivke v določenem integralu je irelevantna:

19. IZREK O POPREČNI VREDNOSTI Če je funkcija f na na intervalu [a, b] integrabilna in je M natančna zgornja meja, m pa natančna spodnja meja funkcije f na intervalu [a, b], obstaja natanko določeno število , tako da velja Če je funkcija f na intervalu [a, b] zvezna, obstaja na tem intervalu vsaj eno število ξ ∈ [a, b], tako da je

20. Zveza med določenim in nedoločenim integralom Določeni integral kot funkcija zgornje meje Naj bo funkcija f na intervalu [a, b] integrabilna in naj bo x ∈ [a, b]. S predpisom je definirana funkcija F: [a, b] → IR (določeni integral je funkcija zgornje meje).

21. IZREK. Funkcija F je zvezna na intervalu [a, b]. IZREK. Če je funkcija f zvezna na intervalu [a, b], je funkcija F odvedljiva in velja F ’(x) = f(x) za vsak x ∈ [a, b]. IZREK. Newton – Liebnitzova formula POSLEDICA. Določeni integral obstaja pri vsaki zvezni funkciji. Primer. Izračunajte dani določeni integral. Rezultat geometrijsko interpretirajte.

22. 3.9. Uporaba določenega integrala3.9.1. Ploščina med krivuljama Predpostavke: • funkciji f in g naj bosta integrabilni, • naj bosta x1 in x2 rešitvi enačbe f(x) = g(x),pri tem pa naj bo x1 < x2, • naj bo f(x) > g(x) za vsak x ∈ [x1, x2]. Ploščina lika, ki ga oklepata krivulji y = f(x) in y = g(x) je tedaj enaka

23. Primer. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij in .

24. 3.9.2. Prostornina vrtenine Funkcija f naj bo integrabilna na intervalu [a, b ]. Krivuljo y = f(x) zavrtimo okrog osi x. Prostornina tako nastale vrtenine (rotacijskega telesa) je

25. Primer. Lik, ki ga omejujeta os x in graf funkcije na intervalu , zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.

26. Vprašanja, naloge • S primerom in sliko ponazorite izrek o povprečni vrednosti funkcije na danem intervalu. Kakšen je geometrijski pomen vrednosti ? 2. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujejo abscisna os in grafa funkcij in . Izračunano ploščino še ocenite s ploščino trikotnika, ki ima osnovnico na abscisni osi med temenoma danih krivulj in vrh v presečišču teh krivulj. Kolikšni sta absolutna in relativna napaka ocene? Krivulji, lik in trikotnik tudi skicirajte.

27. 3. Z določenim integralom izračunajte ploščino trikotnika s stranicami dolžine 3, 4 in 5. 4. Z določenim integralom izračunajte prostornino valja s polmerom dolžine 3 in višino dolžine 5.