EIIb-Teoremas de Energia - Problema de Aplicacion - Ejercicio N° 5

1. Deformaciones en la FlexiónProblema de Aplicación Resolución del Ejercicio N° 5 Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Bajo la acción de las cargas, la fibra neutra adopta una determinada curvatura La fibra más alejada experimenta un alargamiento total: de los triángulos semejantes OCEy OC’E’ se deduce que: • Conforme a la Ley de Hooke: que debe igualar a: (tensión normal en flexión) Introducción de donde: Consideremos una viga sometida a flexión, empotrada en un extremo y libre en el otro:

3. Radio de Curvatura • y por ser un ángulo pequeño será: y como para valores crecientes de zcorresponden valores decrecientes de habrá que afectar la expresión anterior con un signo menos (-), así: Introducción Tomando sobre la elástica dos puntos a y b. Las normales trazadas por estos puntos se cortan en C, verificándose:

4. dada la expresión: • será: • Esta doble integración nos permite calcular las pendientes y deflexiones de la viga en cualquier punto. • La dificultad radica en despejar las constantes de integración. Introducción • Esto se logra analizando las condiciones de apoyo y la deformación de la viga. Obtengamos las expresiones de las rotaciones y las flechas:

5. q • Para la viga simplemente apoyada de la figura, cargada con una carga uniformemente repartida se pide: A B L • Calcular la ecuación general de las rotaciones de las secciones, • Calcular la ecuación general de las flechas, • Calcular las rotaciones en los vínculos Ay B, • Calcular la flecha máxima, Enunciado • Verificar los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos. Veamos el siguiente ejemplo:

6. q • Calculamos las reacciones de vínculo RA y RB: A B L RA RB qL/2 Q • Trazamos los correspondientes diagramas de Momento (M) y Corte (Q): -qL/2 • El momento será función de la coordenada zconforme a la siguiente expresión: M Resolución Veamos el siguiente ejemplo: qL2/8

7. Resolución • Por simetría, la flecha máxima estará en el punto medio de la viga, por lo que la tangente trazada en este punto de la elástica tendrá pendiente nula, es decir: Por lo tanto será:

8. Resolución • e integrando resulta: • según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando z = 0 óz = L … y además:

9. Resolución Calculamos ahora A; B y Ymax

10. Resolución q TEOREMA I: “El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera Ay A’de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.” A B L • Trazamos la elástica δydefinimos los puntos Ay A’(correspondiente a la mitad de la luz entre apoyos); trazamos por ellos las correspondientes tangentes. δ A M • La rotación de la sección en A(A) resulta ser igual a la rotación relativa entre las tangentes trazadas por Ay A’ (AA’): A A’ AA’ qL2/8 Verificamos los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos:

11. Resolución q • El área (F) del diagrama de Momentos comprendida entre los punto Ay A’ será: A B L • con las siguientes características (de tablas): F δ A M A A’ AA’ • donde: qL2/8 Verificamos los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos:

12. Resolución q • y aplicando el Teorema I será: A B L F δ A M A A’ AA’ qL2/8 Verificamos los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos:

13. q TEOREMA II: “Dado dos puntos Ay A’pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de A’respecto a la tangente en Aes igual al momento estático con respecto a A’del área de momentos reducidos comprendida entre Ay A’.” A B L F • … y aplicando el Teorema II será: δ M A Resolución AA’ qL2/8 Verificamos los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos:

14. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

15. Muchas Gracias